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三、解答题
1. 如图,在4×4的正方形网格中,每个小格的顶点叫作格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数.
(2)在图②中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数.
(3)在图③中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.
1. 如图,在4×4的正方形网格中,每个小格的顶点叫作格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数.
(2)在图②中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数.
(3)在图③中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.
答案
1.（答案不唯一）
(1) 作图参考
(2) 作图参考
(3) 作图参考
解析
【分析】
我们先假设每个小正方形的边长为1，结合勾股定理、勾股定理的逆定理，以及有理数、无理数的特征来构造符合要求的直角三角形：
1. 第(1)问要求三边长都是有理数，可选取常见的整数勾股数，比如3、4、5，直接构造两条直角边为3和4，斜边为5的直角三角形即可；
2. 第(2)问要求一边长为有理数，另外两边为无理数，可先确定一条有理数长度的边（比如长度为4的边），再通过勾股定理计算得到另外两条无理数长度的边，最后验证三边满足勾股定理逆定理即可；
3. 第(3)问要求三边长都是无理数，可通过勾股定理计算得到三个均为非完全平方数开方的边长，再验证三边满足勾股定理逆定理，对应连接格点即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
(1) 取两条直角边长度分别为3、4，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$，3、4、5均为有理数，符合要求，在图①中连接对应格点作图即可。
(2) 取斜边长为4（有理数），两条直角边长度均为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$（无理数），验证：$(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=8+8=16=4^2$，满足直角三角形的条件，在图②中连接对应格点作图即可。
(3) 取两条直角边长度分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三个边长均为无理数，验证：$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=5+5=10=(\sqrt{10})^2$，满足直角三角形的条件，在图③中连接对应格点作图即可。
注：本题作图方法不唯一，只要满足对应要求即可。
【答案】
1.（答案不唯一）
(1) 作图参考
(2) 作图参考
(3) 作图参考
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，无理数的概念
【点评】
本题属于网格开放类作图题，核心考查勾股定理及逆定理的灵活应用，解题时可先通过计算确定符合要求的边长，再验证是否满足直角三角形的条件，即可快速完成作图。
【难度系数】
0.7
我们先假设每个小正方形的边长为1，结合勾股定理、勾股定理的逆定理，以及有理数、无理数的特征来构造符合要求的直角三角形：
1. 第(1)问要求三边长都是有理数，可选取常见的整数勾股数，比如3、4、5，直接构造两条直角边为3和4，斜边为5的直角三角形即可；
2. 第(2)问要求一边长为有理数，另外两边为无理数，可先确定一条有理数长度的边（比如长度为4的边），再通过勾股定理计算得到另外两条无理数长度的边，最后验证三边满足勾股定理逆定理即可；
3. 第(3)问要求三边长都是无理数，可通过勾股定理计算得到三个均为非完全平方数开方的边长，再验证三边满足勾股定理逆定理，对应连接格点即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
(1) 取两条直角边长度分别为3、4，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$，3、4、5均为有理数，符合要求，在图①中连接对应格点作图即可。
(2) 取斜边长为4（有理数），两条直角边长度均为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$（无理数），验证：$(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=8+8=16=4^2$，满足直角三角形的条件，在图②中连接对应格点作图即可。
(3) 取两条直角边长度分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三个边长均为无理数，验证：$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=5+5=10=(\sqrt{10})^2$，满足直角三角形的条件，在图③中连接对应格点作图即可。
注：本题作图方法不唯一，只要满足对应要求即可。
【答案】
1.（答案不唯一）
(1) 作图参考
(2) 作图参考
(3) 作图参考
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，无理数的概念
【点评】
本题属于网格开放类作图题，核心考查勾股定理及逆定理的灵活应用，解题时可先通过计算确定符合要求的边长，再验证是否满足直角三角形的条件，即可快速完成作图。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$中,$AC=6$,$AB=8$,$BC=10$,$AD$是$BC$边上的高.
(1)求证:$△ ABC$是直角三角形.
(2)求$AD$的长.
(1)求证:$△ ABC$是直角三角形.
(2)求$AD$的长.
答案
2. (1)证明:
∵ AC=6,AB=8,BC=10,
∴ AC²=36,AB²=64,BC²=100.
∴ AC²+AB²=BC².
∴ ∠BAC=90°.
∴ △ABC是直角三角形.
(2)解:
∵ $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB · AC=\dfrac{1}{2}BC · AD$,
∴ $AD=\dfrac{AB · AC}{BC}=\dfrac{24}{5}$.
∵ AC=6,AB=8,BC=10,
∴ AC²=36,AB²=64,BC²=100.
∴ AC²+AB²=BC².
∴ ∠BAC=90°.
∴ △ABC是直角三角形.
(2)解:
∵ $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB · AC=\dfrac{1}{2}BC · AD$,
∴ $AD=\dfrac{AB · AC}{BC}=\dfrac{24}{5}$.
解析
【分析】
（1）要证明△ABC是直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。已知三边长度，先分别计算三边的平方，验证是否满足AC²+AB²=BC²即可完成证明。
（2）求AD的长可采用等面积法：同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高计算，直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两种计算方式得到的面积相等，列等式即可求出AD的长度。
【解析】
(1)证明：
∵ AC=6，AB=8，BC=10，
∴ AC²=36，AB²=64，BC²=100，
∴ AC²+AB²=36+64=100=BC²，
∴ ∠BAC=90°，
∴ △ABC是直角三角形。
(2)解：
∵ $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB · AC=\dfrac{1}{2}BC · AD$，
∴ 约去$\frac{1}{2}$后代入数值可得：
$AD=\dfrac{AB · AC}{BC}=\dfrac{8×6}{10}=\dfrac{48}{10}=\dfrac{24}{5}$。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形，证明成立；
(2) $AD=\dfrac{24}{5}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题属于几何基础题型，分别考查了直角三角形的判定和斜边上高的求解，解题的核心是熟练掌握勾股定理逆定理的应用，以及灵活用等面积法建立等式求解未知线段。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△ABC是直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。已知三边长度，先分别计算三边的平方，验证是否满足AC²+AB²=BC²即可完成证明。
（2）求AD的长可采用等面积法：同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高计算，直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两种计算方式得到的面积相等，列等式即可求出AD的长度。
【解析】
(1)证明：
∵ AC=6，AB=8，BC=10，
∴ AC²=36，AB²=64，BC²=100，
∴ AC²+AB²=36+64=100=BC²，
∴ ∠BAC=90°，
∴ △ABC是直角三角形。
(2)解：
∵ $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB · AC=\dfrac{1}{2}BC · AD$，
∴ 约去$\frac{1}{2}$后代入数值可得：
$AD=\dfrac{AB · AC}{BC}=\dfrac{8×6}{10}=\dfrac{48}{10}=\dfrac{24}{5}$。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形，证明成立；
(2) $AD=\dfrac{24}{5}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题属于几何基础题型，分别考查了直角三角形的判定和斜边上高的求解，解题的核心是熟练掌握勾股定理逆定理的应用，以及灵活用等面积法建立等式求解未知线段。
【难度系数】
0.8
四、趣味题
如图,我国古代数学中有这样一道数学题:有一棵树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根缠绕而上,缠绕7周到达树顶,请问这根藤条有多长?(注:树可以看成圆柱;树粗3尺,指的是圆柱底面圆周长为3尺.1丈=10尺,1米=3尺)
如图,我国古代数学中有这样一道数学题:有一棵树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根缠绕而上,缠绕7周到达树顶,请问这根藤条有多长?(注:树可以看成圆柱;树粗3尺,指的是圆柱底面圆周长为3尺.1丈=10尺,1米=3尺)
答案
解:将树干的侧面包括藤条一次展开,可以得到如图所示的图形,显然 $AB = C_7D_7 = 20$ 尺,$BC_1 = 3$ 尺,
$BC_7 = 21$ 尺.
在 $Rt△ BC_7D_7$ 中,
∵ $∠ BC_7D_7 = 90°$,
∴ $BD_7^2 = BC_7^2 + C_7D_7^2$.
即 $BD_7^2 = 21^2 + 20^2$.
∴ $BD_7 = 29$ 尺.
∴ 这根藤条长 29 尺.
参考图
解析
【分析】
要计算缠绕在圆柱上的藤条长度，需先将立体问题转化为平面问题求解：圆柱侧面展开后是长方形，藤条缠绕圆柱7周，展开后对应的水平长度就是7倍的圆柱底面周长，竖直长度等于树的高度，此时藤条的长度对应展开后长方形的对角线长度，可利用勾股定理计算该对角线长度，即藤条总长度。解题时先统一单位，再分别求出展开后直角三角形的两条直角边长度，最后代入勾股公式计算即可。
【解析】
首先统一单位：树高2丈=2×10=20尺。
将圆柱侧面沿高展开得到长方形，长方形的宽为树的高度20尺；藤条缠绕7周，因此长方形的长=7×底面周长=7×3=21尺。
此时藤条的长度对应展开后直角三角形的斜边长，在$Rt△ BC_7D_7$中，$∠ BC_7D_7 = 90°$，两条直角边分别为$BC_7=21$尺，$C_7D_7=20$尺。
根据勾股定理可得：$BD_7^2 = BC_7^2 + C_7D_7^2$
代入数值计算：$BD_7^2=21^2+20^2=441+400=841$
开平方得：$BD_7=\sqrt{841}=29$（尺）
【答案】
这根藤条长29尺。
参考图
【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理应用
【点评】
本题是古代经典数学问题，核心是运用转化思想将立体图形的长度问题转化为平面直角三角形的边长计算问题，解题关键是准确找到缠绕周数和展开后长方形边长的对应关系，能很好地锻炼空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
要计算缠绕在圆柱上的藤条长度，需先将立体问题转化为平面问题求解：圆柱侧面展开后是长方形，藤条缠绕圆柱7周，展开后对应的水平长度就是7倍的圆柱底面周长，竖直长度等于树的高度，此时藤条的长度对应展开后长方形的对角线长度，可利用勾股定理计算该对角线长度，即藤条总长度。解题时先统一单位，再分别求出展开后直角三角形的两条直角边长度，最后代入勾股公式计算即可。
【解析】
首先统一单位：树高2丈=2×10=20尺。
将圆柱侧面沿高展开得到长方形，长方形的宽为树的高度20尺；藤条缠绕7周，因此长方形的长=7×底面周长=7×3=21尺。
此时藤条的长度对应展开后直角三角形的斜边长，在$Rt△ BC_7D_7$中，$∠ BC_7D_7 = 90°$，两条直角边分别为$BC_7=21$尺，$C_7D_7=20$尺。
根据勾股定理可得：$BD_7^2 = BC_7^2 + C_7D_7^2$
代入数值计算：$BD_7^2=21^2+20^2=441+400=841$
开平方得：$BD_7=\sqrt{841}=29$（尺）
【答案】
这根藤条长29尺。
参考图
【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理应用
【点评】
本题是古代经典数学问题，核心是运用转化思想将立体图形的长度问题转化为平面直角三角形的边长计算问题，解题关键是准确找到缠绕周数和展开后长方形边长的对应关系，能很好地锻炼空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
