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1. 如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.在AC上取一点B,且∠ABD=120°,BD=520 m,∠D=30°.那么另一边开挖点E离点D多远正好使A,C,E三点在一条直线上?($\sqrt{3}$取1.732,结果取整数)
答案
解:$\because ∠ ABD=120°, ∠ D=30°$,
$\therefore ∠ AED=120°-30°=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,$BD=520\ \mathrm{m}, ∠ D=30°$,
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BD=260\ \mathrm{m}$.
$\therefore DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=260\sqrt{3}\approx450(\mathrm{m})$.
$\therefore$ 另一边开挖点 $E$ 离点 $D$ 450 m 时正好使 $A,C$, $E$ 三点在一条直线上.
$\therefore ∠ AED=120°-30°=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,$BD=520\ \mathrm{m}, ∠ D=30°$,
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BD=260\ \mathrm{m}$.
$\therefore DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=260\sqrt{3}\approx450(\mathrm{m})$.
$\therefore$ 另一边开挖点 $E$ 离点 $D$ 450 m 时正好使 $A,C$, $E$ 三点在一条直线上.
解析
【分析】
解题时首先明确目标：当A、C、E三点共线时，我们需要先判断△BDE的形状。根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知∠ABD是△BDE的外角，结合给出的∠ABD和∠D的度数，可算出∠BED为90°，即△BDE是直角三角形。接下来在直角三角形中，先利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出BE的长度，再用勾股定理即可算出DE的长度，也就是所求的开挖点E到D的距离。
【解析】
解：$\because ∠ABD$是$△ BDE$的外角，
$\therefore ∠ABD=∠BED+∠D$，
$\because ∠ABD=120°, ∠D=30°$,
$\therefore ∠BED=120°-30°=90°$，即$△ BDE$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,$BD=520\ \mathrm{m}, ∠D=30°$,
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BD=260\ \mathrm{m}$.
由勾股定理得：$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{520^2-260^2}=260\sqrt{3}\approx260×1.732\approx450(\mathrm{m})$.
【答案】
另一边开挖点E离点D450 m时正好使A,C,E三点在一条直线上。
【知识点】
三角形外角性质、直角三角形30°角的性质、勾股定理
【点评】
本题结合实际施工场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，既考查了基础几何性质的掌握情况，也锻炼了将知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确目标：当A、C、E三点共线时，我们需要先判断△BDE的形状。根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知∠ABD是△BDE的外角，结合给出的∠ABD和∠D的度数，可算出∠BED为90°，即△BDE是直角三角形。接下来在直角三角形中，先利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出BE的长度，再用勾股定理即可算出DE的长度，也就是所求的开挖点E到D的距离。
【解析】
解：$\because ∠ABD$是$△ BDE$的外角，
$\therefore ∠ABD=∠BED+∠D$，
$\because ∠ABD=120°, ∠D=30°$,
$\therefore ∠BED=120°-30°=90°$，即$△ BDE$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,$BD=520\ \mathrm{m}, ∠D=30°$,
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BD=260\ \mathrm{m}$.
由勾股定理得：$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{520^2-260^2}=260\sqrt{3}\approx260×1.732\approx450(\mathrm{m})$.
【答案】
另一边开挖点E离点D450 m时正好使A,C,E三点在一条直线上。
【知识点】
三角形外角性质、直角三角形30°角的性质、勾股定理
【点评】
本题结合实际施工场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，既考查了基础几何性质的掌握情况，也锻炼了将知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
2. [新情境]嘉嘉参加机器人设计活动,需操控机器人在$5×5$的方格棋盘上从A点行走至B点,且每个小方格皆为正方形,主办单位规定了三条行走路径$R_1,R_2,R_3$,其行经位置如图与表所示:
已知A,B,C,D,E,F,G七点皆落在格线的交点上,且两点之间的路径皆为直线,在无法使用任何工具测量的条件下,请判断$R_1,R_2,R_3$这三条路径中,最长与最短的路径分别是哪条.写出你的答案,并说明理由.
已知A,B,C,D,E,F,G七点皆落在格线的交点上,且两点之间的路径皆为直线,在无法使用任何工具测量的条件下,请判断$R_1,R_2,R_3$这三条路径中,最长与最短的路径分别是哪条.写出你的答案,并说明理由.
答案
解:最长的路径是 $R_2$,最短的路径是 $R_3$. 理由:
设小方格的边长为 1.
$R_1$ 路径的长度为 $\sqrt{1^2+3^2}+\sqrt{1^2+1^2}+\sqrt{1^2+3^2}=2\sqrt{10}+\sqrt{2}$;
$R_2$ 路径的长度为 $\sqrt{1^2+1^2}+\sqrt{1^2+3^2}+1+\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}+1$;
$R_3$ 路径的长度为 $\sqrt{4^2+2^2}+\sqrt{1^2+3^2}=2\sqrt{5}+\sqrt{10}$.
$\because 2\sqrt{5}+\sqrt{10}＜2\sqrt{10}+\sqrt{2}＜\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}+1$,
$\therefore$ 最长路径为 $A\to E\to D\to F\to B$, 即 $R_2$ 路径; 最短路径为 $A\to G\to B$, 即 $R_3$ 路径.
设小方格的边长为 1.
$R_1$ 路径的长度为 $\sqrt{1^2+3^2}+\sqrt{1^2+1^2}+\sqrt{1^2+3^2}=2\sqrt{10}+\sqrt{2}$;
$R_2$ 路径的长度为 $\sqrt{1^2+1^2}+\sqrt{1^2+3^2}+1+\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}+1$;
$R_3$ 路径的长度为 $\sqrt{4^2+2^2}+\sqrt{1^2+3^2}=2\sqrt{5}+\sqrt{10}$.
$\because 2\sqrt{5}+\sqrt{10}＜2\sqrt{10}+\sqrt{2}＜\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}+1$,
$\therefore$ 最长路径为 $A\to E\to D\to F\to B$, 即 $R_2$ 路径; 最短路径为 $A\to G\to B$, 即 $R_3$ 路径.
解析
【分析】
要判断三条路径的长短，因所有路径的端点都在格点上且每段都是直线，可通过计算各路径总长度比较大小。解题思路如下：第一步，设每个小方格的边长为单位1，无需实际测量即可计算线段长度；第二步，对每条路径的每一段线段，用勾股定理计算长度后求和，得到该路径的总长度；第三步，比较三条路径总长度（含二次根式的式子）的大小，即可得出最长和最短的路径。
【解析】
解：设每个小方格的边长为1。
1. 计算$R_1$的总长度：
$R_1$路径各段用勾股定理计算后求和，得：
$R_1=\sqrt{1^2+3^2}+\sqrt{1^2+1^2}+\sqrt{1^2+3^2}=2\sqrt{10}+\sqrt{2}$
2. 计算$R_2$的总长度：
同理可得：
$R_2=\sqrt{1^2+1^2}+\sqrt{1^2+3^2}+1+\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}+1$
3. 计算$R_3$的总长度：
$R_3=\sqrt{4^2+2^2}+\sqrt{1^2+3^2}=2\sqrt{5}+\sqrt{10}$
接下来比较三个长度的大小，通过近似估算二次根式的值（$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{10}\approx3.162$），代入得：
$R_1\approx7.738$，$R_2\approx7.812$，$R_3\approx7.634$
因此$2\sqrt{5}+\sqrt{10}＜2\sqrt{10}+\sqrt{2}＜\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}+1$，即$R_3＜R_1＜R_2$。
【答案】
最长的路径是$R_2$，最短的路径是$R_3$。
【知识点】
勾股定理的应用；二次根式的大小比较
【点评】
本题结合实际情境考查网格中线段长度的计算能力，要求灵活运用勾股定理求格点线段长度，同时掌握二次根式大小比较的方法，体现了数学知识在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.65
要判断三条路径的长短，因所有路径的端点都在格点上且每段都是直线，可通过计算各路径总长度比较大小。解题思路如下：第一步，设每个小方格的边长为单位1，无需实际测量即可计算线段长度；第二步，对每条路径的每一段线段，用勾股定理计算长度后求和，得到该路径的总长度；第三步，比较三条路径总长度（含二次根式的式子）的大小，即可得出最长和最短的路径。
【解析】
解：设每个小方格的边长为1。
1. 计算$R_1$的总长度：
$R_1$路径各段用勾股定理计算后求和，得：
$R_1=\sqrt{1^2+3^2}+\sqrt{1^2+1^2}+\sqrt{1^2+3^2}=2\sqrt{10}+\sqrt{2}$
2. 计算$R_2$的总长度：
同理可得：
$R_2=\sqrt{1^2+1^2}+\sqrt{1^2+3^2}+1+\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}+1$
3. 计算$R_3$的总长度：
$R_3=\sqrt{4^2+2^2}+\sqrt{1^2+3^2}=2\sqrt{5}+\sqrt{10}$
接下来比较三个长度的大小，通过近似估算二次根式的值（$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{10}\approx3.162$），代入得：
$R_1\approx7.738$，$R_2\approx7.812$，$R_3\approx7.634$
因此$2\sqrt{5}+\sqrt{10}＜2\sqrt{10}+\sqrt{2}＜\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}+1$，即$R_3＜R_1＜R_2$。
【答案】
最长的路径是$R_2$，最短的路径是$R_3$。
【知识点】
勾股定理的应用；二次根式的大小比较
【点评】
本题结合实际情境考查网格中线段长度的计算能力，要求灵活运用勾股定理求格点线段长度，同时掌握二次根式大小比较的方法，体现了数学知识在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.65
