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1. 一个多边形的外角和是内角和的$\frac{1}{4}$,则这个多边形的边数为 （
A.7
B.8
C.9
D.10
D
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心知识点：一是任意多边形的外角和恒为$360°$，与边数无关；二是$n$边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为大于等于3的整数）。题目给出外角和是内角和的$\frac{1}{4}$，我们可以先根据外角和的定值求出对应内角和的大小，再代入内角和公式列方程求解边数$n$即可。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$。
1. 由任意多边形外角和的性质可知，该多边形外角和为$360°$。
2. 根据题意“外角和是内角和的$\frac{1}{4}$”，可得该多边形内角和为：$360° ÷ \frac{1}{4}=1440°$。
3. 结合$n$边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=1440°$
方程两边同时除以$180°$得：$n-2=8$
解得：$n=10$
因此这个多边形的边数为10。
【答案】
D
【知识点】
多边形外角和定理，多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形性质的基础应用题，解题的关键是牢记多边形外角和为固定的$360°$，再结合内角和公式建立等量关系求解，计算量小，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心知识点：一是任意多边形的外角和恒为$360°$，与边数无关；二是$n$边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为大于等于3的整数）。题目给出外角和是内角和的$\frac{1}{4}$，我们可以先根据外角和的定值求出对应内角和的大小，再代入内角和公式列方程求解边数$n$即可。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$。
1. 由任意多边形外角和的性质可知，该多边形外角和为$360°$。
2. 根据题意“外角和是内角和的$\frac{1}{4}$”，可得该多边形内角和为：$360° ÷ \frac{1}{4}=1440°$。
3. 结合$n$边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=1440°$
方程两边同时除以$180°$得：$n-2=8$
解得：$n=10$
因此这个多边形的边数为10。
【答案】
D
【知识点】
多边形外角和定理，多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形性质的基础应用题，解题的关键是牢记多边形外角和为固定的$360°$，再结合内角和公式建立等量关系求解，计算量小，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
2. [2023·开封二模]下列条件中能判定一个平行四边形为矩形的是 （
①对角线互相平分 ②对角线互相垂直 ③对角线相等 ④一组邻边相等 ⑤一个角为直角
A.①④
B.②④
C.①②
D.③⑤
D
）①对角线互相平分 ②对角线互相垂直 ③对角线相等 ④一组邻边相等 ⑤一个角为直角
A.①④
B.②④
C.①②
D.③⑤
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先要明确我们需要找的是能让平行四边形成为矩形的附加条件，先回忆矩形的判定定理：在平行四边形的基础上，要么有一个内角是直角，要么对角线相等，即可判定为矩形。同时要注意区分矩形和菱形的判定条件，避免混淆，接下来逐一核对每个给出的条件即可。
【解析】
本题的前提是图形已经是平行四边形，只需添加条件判定其为矩形，逐一分析条件：
① 对角线互相平分是所有平行四边形都具备的性质，无法判定是矩形，不符合要求；
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，不符合要求；
③ 根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，符合要求；
④ 一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，不符合要求；
⑤ 根据矩形判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，符合要求。
因此符合要求的条件是③⑤，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；特殊平行四边形判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查矩形与菱形判定定理的区别，需要学生熟练掌握各类特殊平行四边形的性质和判定方法，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确我们需要找的是能让平行四边形成为矩形的附加条件，先回忆矩形的判定定理：在平行四边形的基础上，要么有一个内角是直角，要么对角线相等，即可判定为矩形。同时要注意区分矩形和菱形的判定条件，避免混淆，接下来逐一核对每个给出的条件即可。
【解析】
本题的前提是图形已经是平行四边形，只需添加条件判定其为矩形，逐一分析条件：
① 对角线互相平分是所有平行四边形都具备的性质，无法判定是矩形，不符合要求；
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，不符合要求；
③ 根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，符合要求；
④ 一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，不符合要求；
⑤ 根据矩形判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，符合要求。
因此符合要求的条件是③⑤，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；特殊平行四边形判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查矩形与菱形判定定理的区别，需要学生熟练掌握各类特殊平行四边形的性质和判定方法，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
3. [2025·河南]如图所示,有一个六边形零件,利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数,则所量内角的度数为 (
A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
C
)A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：零件的一条边与量角器的水平底边重合，另一条边的延长线对应量角器的刻度，因此量角器直接测出的是所求内角的邻补角。首先正确读出邻补角的度数，再根据邻补角之和为180°，用180°减去邻补角的度数就能得到零件内角的度数。
【解析】
观察量角器可得，所求内角的邻补角度数为60°，
根据邻补角的性质，两个邻补角的和为180°，
因此该零件内角的度数为：$180° - 60° = 120°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
量角器的读数，邻补角的性质
【点评】
本题结合实际场景考查角度的计算，需要同学们掌握量角器的正确读数方法，理解邻补角的和为180°的性质，易错点为读数时混淆量角器的内外圈刻度。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：零件的一条边与量角器的水平底边重合，另一条边的延长线对应量角器的刻度，因此量角器直接测出的是所求内角的邻补角。首先正确读出邻补角的度数，再根据邻补角之和为180°，用180°减去邻补角的度数就能得到零件内角的度数。
【解析】
观察量角器可得，所求内角的邻补角度数为60°，
根据邻补角的性质，两个邻补角的和为180°，
因此该零件内角的度数为：$180° - 60° = 120°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
量角器的读数，邻补角的性质
【点评】
本题结合实际场景考查角度的计算，需要同学们掌握量角器的正确读数方法，理解邻补角的和为180°的性质，易错点为读数时混淆量角器的内外圈刻度。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 在四边形$ABCD$中，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BD=4.5\ \mathrm{cm}$，$E,F,G,H$分别是边$AB,BC,CD,DA$的中点，则四边形$EFGH$的周长为________。
1. 在四边形$ABCD$中，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BD=4.5\ \mathrm{cm}$，$E,F,G,H$分别是边$AB,BC,CD,DA$的中点，则四边形$EFGH$的周长为________。
答案
1. 8.5 cm
解析
【分析】
解题时首先抓住四边形各边均取中点的条件，联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。我们可以把四边形EFGH的四条边分别看作原四边形被对角线分割出的4个三角形的中位线，将四边形EFGH的边长转化为原四边形AC、BD两条对角线长度的一半，再求和就能得到周长。
【解析】
解：
∵E、F分别是AB、BC的中点
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$
同理可证$GH=\frac{1}{2}AC=2\ \mathrm{cm}$
∵H、E分别是AD、AB的中点
∴EH是△ABD的中位线，$EH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4.5=2.25\ \mathrm{cm}$
同理可证$FG=\frac{1}{2}BD=2.25\ \mathrm{cm}$
∴四边形EFGH的周长为$EF+FG+GH+EH=2+2.25+2+2.25=8.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
8.5 cm
【知识点】
三角形中位线定理，中点四边形性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是通过三角形中位线定理建立中点四边形边长和原四边形对角线长度的关联，不需要复杂的边长推导，熟练掌握中位线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住四边形各边均取中点的条件，联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。我们可以把四边形EFGH的四条边分别看作原四边形被对角线分割出的4个三角形的中位线，将四边形EFGH的边长转化为原四边形AC、BD两条对角线长度的一半，再求和就能得到周长。
【解析】
解：
∵E、F分别是AB、BC的中点
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$
同理可证$GH=\frac{1}{2}AC=2\ \mathrm{cm}$
∵H、E分别是AD、AB的中点
∴EH是△ABD的中位线，$EH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4.5=2.25\ \mathrm{cm}$
同理可证$FG=\frac{1}{2}BD=2.25\ \mathrm{cm}$
∴四边形EFGH的周长为$EF+FG+GH+EH=2+2.25+2+2.25=8.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
8.5 cm
【知识点】
三角形中位线定理，中点四边形性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是通过三角形中位线定理建立中点四边形边长和原四边形对角线长度的关联，不需要复杂的边长推导，熟练掌握中位线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在平行四边形ABCD中,DB=DC,若∠C=70°,AE⊥BD于点E,则∠DAE=
20
度.答案
2. 20
解析
【分析】
解题时首先根据已知DB=DC，利用等腰三角形等边对等角的性质求出∠DBC的度数；再结合平行四边形对边平行的性质，得到内错角∠ADB与∠DBC相等；最后在直角三角形AED中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
1. 已知DB=DC，∠C=70°，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠DBC=∠C=70°。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC（平行四边形对边平行），根据两直线平行，内错角相等，可得∠ADB=∠DBC=70°。
3. 因为AE⊥BD，所以∠AED=90°，在Rt△AED中，直角三角形两锐角互余，因此∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了多个常见几何图形的性质，解题关键是通过平行线的性质沟通已知角和待求角所在三角形的内角关系，计算过程简单，只要熟悉相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知DB=DC，利用等腰三角形等边对等角的性质求出∠DBC的度数；再结合平行四边形对边平行的性质，得到内错角∠ADB与∠DBC相等；最后在直角三角形AED中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
1. 已知DB=DC，∠C=70°，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠DBC=∠C=70°。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC（平行四边形对边平行），根据两直线平行，内错角相等，可得∠ADB=∠DBC=70°。
3. 因为AE⊥BD，所以∠AED=90°，在Rt△AED中，直角三角形两锐角互余，因此∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了多个常见几何图形的性质，解题关键是通过平行线的性质沟通已知角和待求角所在三角形的内角关系，计算过程简单，只要熟悉相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形.
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形.
答案
证明:$\because AB=CD,AD=BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}BD.$
又$\because OA=OD,\therefore AC=BD.$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形.
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}BD.$
又$\because OA=OD,\therefore AC=BD.$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形.
解析
【分析】
解题时先从已知的两组对边相等的条件入手：第一步，根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可先证明四边形ABCD是平行四边形；第二步，结合平行四边形对角线互相平分的性质，得到OA与AC、OD与BD的数量关系，结合已知OA=OD，可推导出平行四边形的对角线AC=BD；第三步，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，即可完成证明。
【解析】
证明:$\because AB=CD,AD=BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}BD.$
又$\because OA=OD,\therefore AC=BD.$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形.
【答案】
证明:$\because AB=CD,AD=BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}BD.$
又$\because OA=OD,\therefore AC=BD.$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形.
【知识点】
平行四边形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题，核心考查平行四边形、矩形的判定定理及平行四边形的性质，解题逻辑清晰固定，只要熟练掌握相关定理即可顺利推导。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的两组对边相等的条件入手：第一步，根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可先证明四边形ABCD是平行四边形；第二步，结合平行四边形对角线互相平分的性质，得到OA与AC、OD与BD的数量关系，结合已知OA=OD，可推导出平行四边形的对角线AC=BD；第三步，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，即可完成证明。
【解析】
证明:$\because AB=CD,AD=BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}BD.$
又$\because OA=OD,\therefore AC=BD.$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形.
【答案】
证明:$\because AB=CD,AD=BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}BD.$
又$\because OA=OD,\therefore AC=BD.$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形.
【知识点】
平行四边形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题，核心考查平行四边形、矩形的判定定理及平行四边形的性质，解题逻辑清晰固定，只要熟练掌握相关定理即可顺利推导。
【难度系数】
0.8
四、趣味题
如图是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形,则图中的平行四边形共有
如图是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形,则图中的平行四边形共有
21
个.答案
21
解析
【分析】
要准确数出图中平行四边形的个数，需采用分类计数的方法，避免重复和遗漏。我们可以先按平行四边形边的方向分为三类，每一类中再按“组成平行四边形的正三角形个数”分层计数，最后汇总所有类别的数量即可得到总数。
【解析】
我们按平行四边形的边的方向分三类计数：
1. 由2个全等正三角形拼成的最小平行四边形，每一种边的方向下有4个，共3种方向，数量为 $3×4=12$ 个；
2. 由4个全等正三角形拼成的中等平行四边形，每一种边的方向下有2个，共3种方向，数量为 $3×2=6$ 个；
3. 由6个全等正三角形拼成的最大平行四边形，每一种边的方向下有1个，共3种方向，数量为 $3×1=3$ 个；
将三类数量相加得到总个数：$12+6+3=21$ 个。
【答案】
21
【知识点】
平行四边形的判定、分类计数法
【点评】
本题侧重考查有序计数的逻辑思维，解题核心是确定合理的分类标准，避免计数时出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.6
要准确数出图中平行四边形的个数，需采用分类计数的方法，避免重复和遗漏。我们可以先按平行四边形边的方向分为三类，每一类中再按“组成平行四边形的正三角形个数”分层计数，最后汇总所有类别的数量即可得到总数。
【解析】
我们按平行四边形的边的方向分三类计数：
1. 由2个全等正三角形拼成的最小平行四边形，每一种边的方向下有4个，共3种方向，数量为 $3×4=12$ 个；
2. 由4个全等正三角形拼成的中等平行四边形，每一种边的方向下有2个，共3种方向，数量为 $3×2=6$ 个；
3. 由6个全等正三角形拼成的最大平行四边形，每一种边的方向下有1个，共3种方向，数量为 $3×1=3$ 个；
将三类数量相加得到总个数：$12+6+3=21$ 个。
【答案】
21
【知识点】
平行四边形的判定、分类计数法
【点评】
本题侧重考查有序计数的逻辑思维，解题核心是确定合理的分类标准，避免计数时出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.6
