1. 如图,数轴上点 A 所表示的数为 1,点 B,C,D 是 4×4 的正方形网格上的格点,以点 A 为圆心,AD 长为半径画圆交数轴于 P,Q 两点,则点 P 所表示的数为()

A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}-1$
C.$\sqrt{10}+1$
D.$2\sqrt{10}$

1.C

【分析】
要确定点P表示的数，首先需要求出圆的半径AD的长度，因为AP和AD都是圆A的半径，二者长度相等。我们可以借助网格的格点特征，用勾股定理计算AD的长度，再结合点A在数轴上表示的数为1、点P在点A右侧的位置特征，就能求出P点对应的数值。
【解析】
观察网格可得：点A到点D的水平距离为1个单位长度，垂直距离为3个单位长度。
根据勾股定理，$AD=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
因为AP、AD都是圆A的半径，所以$AP=AD=\sqrt{10}$。
已知数轴上点A表示的数为1，且点P在点A的右侧，因此点P表示的数为$1+\sqrt{10}$，即$\sqrt{10}+1$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，圆的半径相等，数轴与实数的对应关系
【点评】
本题是结合网格、数轴、圆的性质的基础综合题，核心考察勾股定理的实际应用，解题的关键是先求出圆的半径长度，再结合数轴上点的位置关系计算对应数值，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

2. 如图，AC 是电线杆的一根拉线，测得 $ BC = 4 \, \mathrm{m} $，$ ∠ ACB = 60° $，则 AB 的长为
（）

A.$ 8 \, \mathrm{m} $
B.$ 4\sqrt{3} \, \mathrm{m} $
C.$ 6 \, \mathrm{m} $
D.$ 2\sqrt{3} \, \mathrm{m} $

2.B

【分析】首先观察图形可知AB垂直于地面BC，因此△ABC是直角三角形，∠B=90°。题目已知∠ACB的邻边BC的长度和∠ACB的度数，要求∠ACB的对边AB的长度，可利用锐角三角函数中正切的定义求解：正切值等于角的对边与邻边的比值，代入已知数值和60°的三角函数值即可算出AB的长度。
【解析】
解：由题意得AB⊥BC，即∠ABC=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，BC=4m，
根据正切的定义：$\tan∠ ACB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AB}{BC}$
因此$AB=BC·\tan60°$
又因为$\tan60°=\sqrt{3}$，代入得：
$AB=4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
故选B。
【答案】B
【知识点】解直角三角形；特殊角的三角函数值
【点评】本题属于基础题，解题的关键是先判断出三角形为直角三角形，再结合特殊角的三角函数值列式计算即可得到所求边长。
【难度系数】0.8

3. 如图,把一张长方形纸片沿对角线折叠,若$BC=9,CD=3$,则阴影部分的面积为
()

A.7.5
B.8
C.8.5
D.9

3.A

【分析】
首先根据折叠的性质可得折叠前后对应角相等，即∠EBD=∠CBD；再结合长方形对边平行的性质，可推出∠EBD=∠ADB，得到FB=FD的等腰三角形关系。接下来设FD的长度为未知数，利用Rt△ABF的勾股定理列方程求出FD的长度，最后以FD为底、CD为高计算阴影部分三角形的面积即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=9，AB=CD=3，AD//BC，∠A=90°，
由折叠的性质可得：△BED≌△BCD，
∴∠EBD=∠CBD，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠EBD=∠ADB，即FB=FD，
设FD=x，则FB=x，AF=AD-FD=9-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$AB^2+AF^2=FB^2$，代入数据得：
$3^2+(9-x)^2=x^2$，
展开计算：$9+81-18x+x^2=x^2$，
整理得：$18x=90$，解得$x=5$，
阴影部分为△BFD，它的底FD=5，高为CD=3，
∴阴影部分面积$S=\frac{1}{2}× FD× CD=\frac{1}{2}×5×3=7.5$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；平行线的性质
【点评】
本题是典型的几何折叠类题型，解题的核心是利用折叠和平行线的性质得到等腰三角形，再通过勾股定理列方程求解边长，考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

4.在平面直角坐标系中,将一块直角三角板按如图所示的方式放置,已知$∠ ACB=90°,∠ A=∠ OCB=30°,B(0,1)$,则点$A$的坐标为 （）

A.$(\sqrt{3}+1,3)$
B.$(3\sqrt{2},2)$
C.$(3,2\sqrt{3})$
D.$(2\sqrt{3},3)$

4.D

【分析】要求点A的坐标，可过点A向x轴作垂线，将横、纵坐标转化为对应线段的长度求解。首先根据B点坐标得到OB的长度，结合Rt△OBC中30°角的性质求出BC、OC的长度；再根据直角三角板中∠A=30°的特点，求出AC的长度；最后通过角度计算得到Rt△ACD中30°的角，利用勾股定理求出AD、CD的长度，相加得到横坐标对应的OD长度即可。
【解析】过点A作AD⊥x轴，垂足为D。
1. 在Rt△OBC中，∠BOC=90°，∠OCB=30°，B(0,1)，故OB=1。
根据30°角所对直角边是斜边的一半，得$BC=2OB=2$。
由勾股定理得：$OC=\sqrt{BC^2-OB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
2. 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，
同理得$AB=2BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
3. 计算角度：$∠ ACD=180°-∠ ACB-∠ OCB=180°-90°-30°=60°$，
在Rt△ACD中，$∠ CAD=90°-60°=30°$，
故$CD=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$。
横坐标对应$OD=OC+CD=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，纵坐标对应$AD=3$，即$A(2\sqrt{3},3)$。
【答案】D
【知识点】直角三角形性质，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】本题是几何与坐标系结合的典型题型，通过作辅助线将坐标问题转化为线段长度计算问题，核心考查直角三角形30°角的性质和勾股定理的应用，解题时要注意角度之间的关系推导，避免角度计算错误。
【难度系数】0.7

5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，
若$S_1+S_2+S_3=19$，则$S_2$的值是 （）

A.$\dfrac{19}{3}$
B.6
C.$\dfrac{19}{4}$
D.7

5.A

【分析】
我们可以先设八个全等直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，结合正方形边长与a、b、c的关系，分别用含a、b、c的式子表示三个正方形的面积，再结合勾股定理和已知的三个面积之和的条件，通过整式化简即可求出$S_2$的值。
【解析】
设每个全等直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，斜边长为c。
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
三个正方形的面积分别为：
正方形ABCD的边长为$a+b$，故$S_1=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
正方形EFGH的边长为c，故$S_2=c^2=a^2+b^2$；
正方形MNKT的边长为$b-a$，故$S_3=(b-a)^2=b^2-2ab+a^2$。
将三个面积相加：
$S_1+S_2+S_3=(a^2+2ab+b^2)+(a^2+b^2)+(a^2-2ab+b^2)=3a^2+3b^2=3(a^2+b^2)=3S_2$
已知$S_1+S_2+S_3=19$，代入得$3S_2=19$，解得$S_2=\frac{19}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，整式化简
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查勾股定理的应用与数形结合思想，解题的关键是找到三个正方形面积和中间正方形面积的数量关系，计算过程简单，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7