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6. 如图,四边形ABFE、四边形AJKC、四边形BCIH分别是以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边为一边的正方形,过点C作AB的垂线,交AB于点D,交FE于点G,连接HA,CF.给出下列结论:
①$△ ABH≌△ FBC$;②$S_{\mathrm{正方形}BCIH}=2S_{△ ABH}$;③$S_{\mathrm{长方形}BFGD}=2S_{△ ABH}$;④$BD^2+AD^2+CD^2=BF^2$.
结论正确的是 （
A.②③④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
①$△ ABH≌△ FBC$;②$S_{\mathrm{正方形}BCIH}=2S_{△ ABH}$;③$S_{\mathrm{长方形}BFGD}=2S_{△ ABH}$;④$BD^2+AD^2+CD^2=BF^2$.
结论正确的是 （
C
）A.②③④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
答案
6.C
解析
【分析】
本题可结合正方形性质、全等三角形判定、面积等量转化、勾股定理逐一验证每个结论：1. 验证①时，利用正方形边相等、内角为90°的性质找全等条件，用SAS判定三角形全等；2. 验证②时，利用平行线间距离相等推出两个三角形面积相等，再结合正方形与三角形的面积数量关系判断；3. 验证③时，先由全等得两个三角形面积相等，再推导三角形和对应长方形的面积关系即可；4. 验证④时，结合勾股定理变形左边式子，和右边BF²对比判断正误。
【解析】
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ ACB=90°$，四边形ABFE、AJKC、BCIH均为正方形，逐一分析结论：
1. 验证结论①：
∵ 正方形ABFE中$AB=FB$，$∠ ABF=90°$；正方形BCIH中$BH=BC$，$∠ CBH=90°$
∴ $∠ ABH=∠ ABC+∠ CBH=∠ ABC+90°$，$∠ FBC=∠ ABC+∠ ABF=∠ ABC+90°$，即$∠ ABH=∠ FBC$
在$△ ABH$和$△ FBC$中：
$\begin{cases}AB=FB\\∠ ABH=∠ FBC\\BH=BC\end{cases}$
∴ $△ ABH≌△ FBC(\mathrm{SAS})$，故①正确。
2. 验证结论②：
∵ $∠ ACB=∠ CBH=90°$，
∴ $AC// BH$
∴ $△ ABH$和$△ CBH$同底$BH$，且高相等（平行线间距离相等），故$S_{△ ABH}=S_{△ CBH}$
∵ $S_{△ CBH}=\frac{1}{2}× BC× BH=\frac{1}{2}BC^2$（$BC=BH$），$S_{\mathrm{正方形}BCIH}=BC^2$
∴ $S_{\mathrm{正方形}BCIH}=2S_{△ CBH}=2S_{△ ABH}$，故②正确。
3. 验证结论③：
由①得$△ ABH≌△ FBC$，
∴ $S_{△ ABH}=S_{△ FBC}$
∵ 正方形ABFE中$FB⊥ AB$，又$CG⊥ AB$，
∴ $FB// DG$
∴ $△ FBC$以$FB$为底时，高等于$BD$的长度，故$S_{△ FBC}=\frac{1}{2}× FB× BD$
∵ $S_{\mathrm{长方形}BFGD}=FB× BD$
∴ $S_{\mathrm{长方形}BFGD}=2S_{△ FBC}=2S_{△ ABH}$，故③正确。
4. 验证结论④：
∵ $BF=AB$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$AB^2=AC^2+BC^2$
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中：$BD^2+CD^2=BC^2$；在$\mathrm{Rt}△ ACD$中：$AD^2+CD^2=AC^2$
∴ $BD^2+AD^2+CD^2=(BC^2-CD^2)+(AC^2-CD^2)+CD^2=AC^2+BC^2-CD^2=AB^2-CD^2=BF^2-CD^2≠ BF^2$，故④错误。
综上，正确结论为①②③，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何基础性质的应用，解题关键是熟练掌握全等判定、正方形性质和勾股定理，灵活运用同底等高面积相等的技巧做等量转化，逐个判断结论即可。
【难度系数】
0.65
本题可结合正方形性质、全等三角形判定、面积等量转化、勾股定理逐一验证每个结论：1. 验证①时，利用正方形边相等、内角为90°的性质找全等条件，用SAS判定三角形全等；2. 验证②时，利用平行线间距离相等推出两个三角形面积相等，再结合正方形与三角形的面积数量关系判断；3. 验证③时，先由全等得两个三角形面积相等，再推导三角形和对应长方形的面积关系即可；4. 验证④时，结合勾股定理变形左边式子，和右边BF²对比判断正误。
【解析】
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ ACB=90°$，四边形ABFE、AJKC、BCIH均为正方形，逐一分析结论：
1. 验证结论①：
∵ 正方形ABFE中$AB=FB$，$∠ ABF=90°$；正方形BCIH中$BH=BC$，$∠ CBH=90°$
∴ $∠ ABH=∠ ABC+∠ CBH=∠ ABC+90°$，$∠ FBC=∠ ABC+∠ ABF=∠ ABC+90°$，即$∠ ABH=∠ FBC$
在$△ ABH$和$△ FBC$中：
$\begin{cases}AB=FB\\∠ ABH=∠ FBC\\BH=BC\end{cases}$
∴ $△ ABH≌△ FBC(\mathrm{SAS})$，故①正确。
2. 验证结论②：
∵ $∠ ACB=∠ CBH=90°$，
∴ $AC// BH$
∴ $△ ABH$和$△ CBH$同底$BH$，且高相等（平行线间距离相等），故$S_{△ ABH}=S_{△ CBH}$
∵ $S_{△ CBH}=\frac{1}{2}× BC× BH=\frac{1}{2}BC^2$（$BC=BH$），$S_{\mathrm{正方形}BCIH}=BC^2$
∴ $S_{\mathrm{正方形}BCIH}=2S_{△ CBH}=2S_{△ ABH}$，故②正确。
3. 验证结论③：
由①得$△ ABH≌△ FBC$，
∴ $S_{△ ABH}=S_{△ FBC}$
∵ 正方形ABFE中$FB⊥ AB$，又$CG⊥ AB$，
∴ $FB// DG$
∴ $△ FBC$以$FB$为底时，高等于$BD$的长度，故$S_{△ FBC}=\frac{1}{2}× FB× BD$
∵ $S_{\mathrm{长方形}BFGD}=FB× BD$
∴ $S_{\mathrm{长方形}BFGD}=2S_{△ FBC}=2S_{△ ABH}$，故③正确。
4. 验证结论④：
∵ $BF=AB$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$AB^2=AC^2+BC^2$
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中：$BD^2+CD^2=BC^2$；在$\mathrm{Rt}△ ACD$中：$AD^2+CD^2=AC^2$
∴ $BD^2+AD^2+CD^2=(BC^2-CD^2)+(AC^2-CD^2)+CD^2=AC^2+BC^2-CD^2=AB^2-CD^2=BF^2-CD^2≠ BF^2$，故④错误。
综上，正确结论为①②③，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何基础性质的应用，解题关键是熟练掌握全等判定、正方形性质和勾股定理，灵活运用同底等高面积相等的技巧做等量转化，逐个判断结论即可。
【难度系数】
0.65
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BD$是$AC$边上的高,若$DC=1$,则$BC=\_\_\_\_\_\_$.
答案
7.$\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知AC长度和DC长度，可先计算出AD的长度；又因为BD是AC边上的高，所以△ABD和△BCD都为直角三角形，我们可以先在Rt△ABD中用勾股定理求出BD的长度，再在Rt△BCD中用勾股定理求出BC的长度。
【解析】
解：
∵$AC=5$，$DC=1$
∴$AD=AC-DC=5-1=4$
∵BD是AC边上的高
∴$∠ ADB=∠ CDB=90°$，即$△ ABD$和$△ BCD$均为直角三角形
在$Rt△ ABD$中，$AB=5$，$AD=4$，根据勾股定理可得：
$BD^2=AB^2-AD^2=5^2-4^2=25-16=9$
∴$BD=3$（线段长度为正，舍去负根）
在$Rt△ BCD$中，$BD=3$，$DC=1$，根据勾股定理可得：
$BC^2=BD^2+DC^2=3^2+1^2=9+1=10$
∴$BC=\sqrt{10}$（线段长度为正，舍去负根）
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
勾股定理，三角形高的定义，线段和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查勾股定理在直角三角形中的应用，解题关键是先求出AD的长度，再两次运用勾股定理逐步求解，计算难度较低，熟悉勾股定理的使用条件即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：已知AC长度和DC长度，可先计算出AD的长度；又因为BD是AC边上的高，所以△ABD和△BCD都为直角三角形，我们可以先在Rt△ABD中用勾股定理求出BD的长度，再在Rt△BCD中用勾股定理求出BC的长度。
【解析】
解：
∵$AC=5$，$DC=1$
∴$AD=AC-DC=5-1=4$
∵BD是AC边上的高
∴$∠ ADB=∠ CDB=90°$，即$△ ABD$和$△ BCD$均为直角三角形
在$Rt△ ABD$中，$AB=5$，$AD=4$，根据勾股定理可得：
$BD^2=AB^2-AD^2=5^2-4^2=25-16=9$
∴$BD=3$（线段长度为正，舍去负根）
在$Rt△ BCD$中，$BD=3$，$DC=1$，根据勾股定理可得：
$BC^2=BD^2+DC^2=3^2+1^2=9+1=10$
∴$BC=\sqrt{10}$（线段长度为正，舍去负根）
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
勾股定理，三角形高的定义，线段和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查勾股定理在直角三角形中的应用，解题关键是先求出AD的长度，再两次运用勾股定理逐步求解，计算难度较低，熟悉勾股定理的使用条件即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
8.如图,两个正方形的面积分别是64和49,则AC的长为
17
.答案
8.17
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：已知两个正方形的面积，可先根据正方形面积和边长的关系求出两个正方形的边长；接下来观察线段AC的位置，可将AC放在一个直角三角形中计算，该直角三角形的竖直直角边等于大正方形的边长，水平直角边是两个正方形的边长之和；最后利用勾股定理即可求出斜边AC的长度。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方
∴面积为64的正方形边长为$\sqrt{64}=8$，面积为49的正方形边长为$\sqrt{49}=7$
观察图形可得：AC是直角三角形的斜边，该直角三角形的两条直角边长度分别为：
竖直方向直角边长度为8，水平方向直角边长度为$8+7=15$
根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），可得：
$AC=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$
【答案】
17
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，算术平方根运算
【点评】
本题属于基础几何计算类题型，解题关键是结合图形构造合适的直角三角形，将待求线段转化为直角三角形的斜边进行计算，只要掌握正方形面积公式和勾股定理即可顺利求解，注意计算过程不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：已知两个正方形的面积，可先根据正方形面积和边长的关系求出两个正方形的边长；接下来观察线段AC的位置，可将AC放在一个直角三角形中计算，该直角三角形的竖直直角边等于大正方形的边长，水平直角边是两个正方形的边长之和；最后利用勾股定理即可求出斜边AC的长度。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方
∴面积为64的正方形边长为$\sqrt{64}=8$，面积为49的正方形边长为$\sqrt{49}=7$
观察图形可得：AC是直角三角形的斜边，该直角三角形的两条直角边长度分别为：
竖直方向直角边长度为8，水平方向直角边长度为$8+7=15$
根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），可得：
$AC=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$
【答案】
17
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，算术平方根运算
【点评】
本题属于基础几何计算类题型，解题关键是结合图形构造合适的直角三角形，将待求线段转化为直角三角形的斜边进行计算，只要掌握正方形面积公式和勾股定理即可顺利求解，注意计算过程不要出错。
【难度系数】
0.8
9.如图，$∠ BAC=135°$，$∠ B=30°$，$AC=2\sqrt{2}$，则$AB$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
9.$2\sqrt{3}-2$
解析
【分析】
要求AB的长，已知角均为特殊角（135°、30°），可通过作辅助线构造直角三角形求解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于D，此时∠CAD=180°-135°=45°，即可得到等腰直角三角形ACD和含30°角的直角三角形BCD，先在等腰Rt△ACD中求出CD和AD的长度，再在Rt△BCD中求出BD的长度，最后用BD减AD即可得到AB的长。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D。
∵∠BAC=135°，
∴∠CAD=180°-∠BAC=45°，
∴Rt△ACD为等腰直角三角形，即AD=CD。
在Rt△ACD中，AC=2√2，由勾股定理得：
$AD^2+CD^2=AC^2$，即$2AD^2=(2\sqrt{2})^2=8$，
解得AD=CD=2（边长为正，舍去负解）。
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴BC=2CD=4，
由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
∴$AB=BD-AD=2\sqrt{3}-2$。
【答案】
$2\sqrt{3}-2$
【知识点】
勾股定理、等腰直角三角形性质、含30°角直角三角形性质
【点评】
本题是斜三角形求边长的常规题型，解题核心是通过作高将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，将未知边长拆解为直角三角形边长的差求解，解题时要注意钝角三角形的高可能落在边的延长线上，避免辅助线构造错误。
【难度系数】
0.6
要求AB的长，已知角均为特殊角（135°、30°），可通过作辅助线构造直角三角形求解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于D，此时∠CAD=180°-135°=45°，即可得到等腰直角三角形ACD和含30°角的直角三角形BCD，先在等腰Rt△ACD中求出CD和AD的长度，再在Rt△BCD中求出BD的长度，最后用BD减AD即可得到AB的长。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D。
∵∠BAC=135°，
∴∠CAD=180°-∠BAC=45°，
∴Rt△ACD为等腰直角三角形，即AD=CD。
在Rt△ACD中，AC=2√2，由勾股定理得：
$AD^2+CD^2=AC^2$，即$2AD^2=(2\sqrt{2})^2=8$，
解得AD=CD=2（边长为正，舍去负解）。
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴BC=2CD=4，
由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
∴$AB=BD-AD=2\sqrt{3}-2$。
【答案】
$2\sqrt{3}-2$
【知识点】
勾股定理、等腰直角三角形性质、含30°角直角三角形性质
【点评】
本题是斜三角形求边长的常规题型，解题核心是通过作高将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，将未知边长拆解为直角三角形边长的差求解，解题时要注意钝角三角形的高可能落在边的延长线上，避免辅助线构造错误。
【难度系数】
0.6
10. 如图1,有一长方体容器,长、宽均为4,高为16,里面盛有水,水面高为10.若沿底面一棱进行旋转倾斜,倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示.若倾斜容器使水恰好可倒出容器,则 CD 的长为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
10.$4\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题的核心是抓住倾斜前后水的体积不变。首先先计算容器内水的体积，倾斜后水恰好可倒出时，容器内空的部分为直三棱柱，可先求出空的部分的体积，再结合垂直于主视图方向的棱长求出主视图中空的直角三角形的面积，进而算出该直角三角形的另一条直角边长度，最后用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
解：首先计算容器内水的体积：
$V_{水}=长×宽×水面高=4×4×10=160$
容器的总体积为：
$V_{总}=4×4×16=256$
倾斜后水的体积不变，此时空的部分体积为：
$V_{空}=V_{总}-V_{水}=256-160=96$
空的部分是直三棱柱，垂直于主视图方向的棱长为4，因此主视图中空的直角三角形的面积为：
$S=V_{空}÷4=96÷4=24$
设该直角三角形的另一条直角边长为$x$，已知一条直角边为4，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×4×x=24$
解得$x=12$
在直角三角形中，两条直角边分别为4和12，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$
【答案】
$4\sqrt{10}$
【知识点】
长方体体积计算，勾股定理，等积变换
【点评】
本题将立体图形的体积计算和平面几何的勾股定理结合，解题的关键是抓住水的体积不变，把立体问题转化为平面图形的面积问题求解，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题的核心是抓住倾斜前后水的体积不变。首先先计算容器内水的体积，倾斜后水恰好可倒出时，容器内空的部分为直三棱柱，可先求出空的部分的体积，再结合垂直于主视图方向的棱长求出主视图中空的直角三角形的面积，进而算出该直角三角形的另一条直角边长度，最后用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
解：首先计算容器内水的体积：
$V_{水}=长×宽×水面高=4×4×10=160$
容器的总体积为：
$V_{总}=4×4×16=256$
倾斜后水的体积不变，此时空的部分体积为：
$V_{空}=V_{总}-V_{水}=256-160=96$
空的部分是直三棱柱，垂直于主视图方向的棱长为4，因此主视图中空的直角三角形的面积为：
$S=V_{空}÷4=96÷4=24$
设该直角三角形的另一条直角边长为$x$，已知一条直角边为4，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×4×x=24$
解得$x=12$
在直角三角形中，两条直角边分别为4和12，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$
【答案】
$4\sqrt{10}$
【知识点】
长方体体积计算，勾股定理，等积变换
【点评】
本题将立体图形的体积计算和平面几何的勾股定理结合，解题的关键是抓住水的体积不变，把立体问题转化为平面图形的面积问题求解，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
