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11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=45°,∠ A=75°,AB=\sqrt{6}$,则$BC=$______.
答案
11.$\sqrt{3}+1$
解析
【分析】
本题的三角形不是特殊直角三角形，我们可以通过作高将其转化为两个含特殊角的直角三角形求解。首先过点A作AD⊥BC于D，先在等腰Rt△ABD中利用勾股定理求出BD、AD的长度，再结合角度关系得到∠DAC=30°，在Rt△ADC中利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出DC的长度，最后将BD和DC相加即可得到BC的长度。
【解析】
过点A作$AD⊥ BC$，垂足为D。
1. 在$Rt△ ABD$中，$∠ B=45°$，$∠ ADB=90°$，因此$△ ABD$是等腰直角三角形，可得$AD=BD$。
根据勾股定理：$AD^2+BD^2=AB^2$，已知$AB=\sqrt{6}$，代入得$2BD^2=(\sqrt{6})^2=6$，解得$BD=\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根），因此$AD=BD=\sqrt{3}$。
2. 计算角度：$∠ BAD=45°$，已知$∠ BAC=75°$，因此$∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=75°-45°=30°$。
3. 在$Rt△ ADC$中，$∠ DAC=30°$，根据“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$DC=\frac{1}{2}AC$。
设$DC=x$，则$AC=2x$，根据勾股定理：$AD^2+DC^2=AC^2$，代入$AD=\sqrt{3}$得：
$(\sqrt{3})^2 + x^2=(2x)^2$
$3+x^2=4x^2$
$3x^2=3$
解得$x=1$（边长为正，舍去负根），即$DC=1$。
4. 因此$BC=BD+DC=\sqrt{3}+1$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
勾股定理，特殊直角三角形性质，三角形角度计算
【点评】
本题考查斜三角形的边长求解，解题关键是通过作高构造含特殊角的直角三角形，将未知边拆分为两个直角三角形的边分别计算，体现了转化的数学思想，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
本题的三角形不是特殊直角三角形，我们可以通过作高将其转化为两个含特殊角的直角三角形求解。首先过点A作AD⊥BC于D，先在等腰Rt△ABD中利用勾股定理求出BD、AD的长度，再结合角度关系得到∠DAC=30°，在Rt△ADC中利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出DC的长度，最后将BD和DC相加即可得到BC的长度。
【解析】
过点A作$AD⊥ BC$，垂足为D。
1. 在$Rt△ ABD$中，$∠ B=45°$，$∠ ADB=90°$，因此$△ ABD$是等腰直角三角形，可得$AD=BD$。
根据勾股定理：$AD^2+BD^2=AB^2$，已知$AB=\sqrt{6}$，代入得$2BD^2=(\sqrt{6})^2=6$，解得$BD=\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根），因此$AD=BD=\sqrt{3}$。
2. 计算角度：$∠ BAD=45°$，已知$∠ BAC=75°$，因此$∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=75°-45°=30°$。
3. 在$Rt△ ADC$中，$∠ DAC=30°$，根据“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$DC=\frac{1}{2}AC$。
设$DC=x$，则$AC=2x$，根据勾股定理：$AD^2+DC^2=AC^2$，代入$AD=\sqrt{3}$得：
$(\sqrt{3})^2 + x^2=(2x)^2$
$3+x^2=4x^2$
$3x^2=3$
解得$x=1$（边长为正，舍去负根），即$DC=1$。
4. 因此$BC=BD+DC=\sqrt{3}+1$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
勾股定理，特殊直角三角形性质，三角形角度计算
【点评】
本题考查斜三角形的边长求解，解题关键是通过作高构造含特殊角的直角三角形，将未知边拆分为两个直角三角形的边分别计算，体现了转化的数学思想，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
12.如图,在四边形ABCD中,若$AB=3,BC=4,CD=5,DA=5\sqrt{2}$,且$∠ ABC=90°$,则四边形ABCD的面积等于$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
12.18.5
解析
【分析】
我们可以通过连接辅助线AC求解：首先已知∠ABC=90°，以及AB、BC的长度，可先用勾股定理算出AC的长度，同时计算出直角三角形ABC的面积；再将AC的长度代入三角形ACD的边长关系中，用勾股定理的逆定理判断三角形ACD是否为直角三角形，若为直角三角形即可算出其面积，两个三角形的面积之和就是四边形ABCD的面积。
【解析】
解：连接AC，
∵ $∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
∴ 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$，
∴ $AC=5$（线段长度为正），
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
在$△ ACD$中，$AC=5$，$CD=5$，$DA=5\sqrt{2}$，
∴ $AC^2+CD^2=5^2+5^2=25+25=50$，
$AD^2=(5\sqrt{2})^2=25×2=50$，
∴ $AC^2+CD^2=AD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD=90°$，
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×5×5=12.5$，
∴ 四边形$ABCD$的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=6+12.5=18.5$。
【答案】
18.5
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积计算
【点评】
本题是不规则四边形面积计算的典型题，通过连接对角线将四边形拆分为两个三角形，结合勾股定理及逆定理判断直角三角形，分别求面积后求和即可，这种拆分法是求解不规则多边形面积的常用方法。
【难度系数】
0.75
我们可以通过连接辅助线AC求解：首先已知∠ABC=90°，以及AB、BC的长度，可先用勾股定理算出AC的长度，同时计算出直角三角形ABC的面积；再将AC的长度代入三角形ACD的边长关系中，用勾股定理的逆定理判断三角形ACD是否为直角三角形，若为直角三角形即可算出其面积，两个三角形的面积之和就是四边形ABCD的面积。
【解析】
解：连接AC，
∵ $∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
∴ 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$，
∴ $AC=5$（线段长度为正），
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
在$△ ACD$中，$AC=5$，$CD=5$，$DA=5\sqrt{2}$，
∴ $AC^2+CD^2=5^2+5^2=25+25=50$，
$AD^2=(5\sqrt{2})^2=25×2=50$，
∴ $AC^2+CD^2=AD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD=90°$，
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×5×5=12.5$，
∴ 四边形$ABCD$的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=6+12.5=18.5$。
【答案】
18.5
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积计算
【点评】
本题是不规则四边形面积计算的典型题，通过连接对角线将四边形拆分为两个三角形，结合勾股定理及逆定理判断直角三角形，分别求面积后求和即可，这种拆分法是求解不规则多边形面积的常用方法。
【难度系数】
0.75
三、用心做一做,显显自己的能力!(解答应写出具体步骤)
13.在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,小正方形的顶点称为格点.
(1)请在网格中画出格点三角形$ABC$,使$AB=2\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{13}$,$AC=\sqrt{17}$;
(2)求$△ ABC$的面积.
13.在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,小正方形的顶点称为格点.
(1)请在网格中画出格点三角形$ABC$,使$AB=2\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{13}$,$AC=\sqrt{17}$;
(2)求$△ ABC$的面积.
答案
13.(1)如图
,$△ ABC$即为所求作(位置不唯一)(2)$S_{△ABC}=3×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×4=5.$
解析
【分析】
(1)要作符合边长要求的格点三角形，需结合勾股定理构造对应长度的线段：线段长度为$\sqrt{a^2+b^2}$时，可将其作为直角边分别为$a$、$b$的直角三角形的斜边。先计算各边长的平方：$(2\sqrt{2})^2=8=2^2+2^2$，因此$AB$可由直角边为2、2的直角三角形得到；$(\sqrt{13})^2=13=2^2+3^2$，因此$BC$可由直角边为2、3的直角三角形得到；$(\sqrt{17})^2=17=1^2+4^2$，因此$AC$可由直角边为1、4的直角三角形得到，据此在网格中确定三个格点连接即可。
(2)格点中不规则三角形的面积通常用割补法求解，将三角形补为规则的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到$△ ABC$的面积。
【解析】
(1)根据勾股定理构造线段：
①取两个格点$A$、$B$，两点水平方向相差2格、竖直方向相差2格，此时$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，符合要求；
②从$B$点出发取格点$C$，两点水平方向相差3格、竖直方向相差2格，此时$BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，符合要求；
③验证$AC$：$A$到$C$水平方向相差4格、竖直方向相差1格，$AC=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，满足所有边长要求，连接三点即得到所求$△ ABC$，位置不唯一。
(2)用割补法计算面积：
将$△ ABC$补入长为4、宽为3的矩形中，先计算矩形面积为$3×4=12$；
再计算$△ ABC$周围三个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×2×2=2$，$S_2=\frac{1}{2}×2×3=3$，$S_3=\frac{1}{2}×1×4=2$；
因此$△ ABC$的面积为矩形面积减去三个直角三角形的面积，即$S_{△ ABC}=12-2-3-2=5$。
【答案】
(1)如图，$△ ABC$即为所求作(位置不唯一)
(2)$S_{△ABC}=5$
【知识点】
勾股定理；格点作图；割补法求面积
【点评】
本题是网格类常见题型，核心考查勾股定理的实际应用和格点图形面积的计算方法，其中割补法是求解格点不规则图形面积的常用技巧，掌握该方法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
(1)要作符合边长要求的格点三角形，需结合勾股定理构造对应长度的线段：线段长度为$\sqrt{a^2+b^2}$时，可将其作为直角边分别为$a$、$b$的直角三角形的斜边。先计算各边长的平方：$(2\sqrt{2})^2=8=2^2+2^2$，因此$AB$可由直角边为2、2的直角三角形得到；$(\sqrt{13})^2=13=2^2+3^2$，因此$BC$可由直角边为2、3的直角三角形得到；$(\sqrt{17})^2=17=1^2+4^2$，因此$AC$可由直角边为1、4的直角三角形得到，据此在网格中确定三个格点连接即可。
(2)格点中不规则三角形的面积通常用割补法求解，将三角形补为规则的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到$△ ABC$的面积。
【解析】
(1)根据勾股定理构造线段：
①取两个格点$A$、$B$，两点水平方向相差2格、竖直方向相差2格，此时$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，符合要求；
②从$B$点出发取格点$C$，两点水平方向相差3格、竖直方向相差2格，此时$BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，符合要求；
③验证$AC$：$A$到$C$水平方向相差4格、竖直方向相差1格，$AC=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，满足所有边长要求，连接三点即得到所求$△ ABC$，位置不唯一。
(2)用割补法计算面积：
将$△ ABC$补入长为4、宽为3的矩形中，先计算矩形面积为$3×4=12$；
再计算$△ ABC$周围三个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×2×2=2$，$S_2=\frac{1}{2}×2×3=3$，$S_3=\frac{1}{2}×1×4=2$；
因此$△ ABC$的面积为矩形面积减去三个直角三角形的面积，即$S_{△ ABC}=12-2-3-2=5$。
【答案】
(1)如图
，$△ ABC$即为所求作(位置不唯一)(2)$S_{△ABC}=5$
【知识点】
勾股定理；格点作图；割补法求面积
【点评】
本题是网格类常见题型，核心考查勾股定理的实际应用和格点图形面积的计算方法，其中割补法是求解格点不规则图形面积的常用技巧，掌握该方法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
14. 如图,在$△ ABC$中,$AC=21$,$BC=13$,$D$是$AC$边上一点,$BD=12$,$AD=16$.
(1)求证:$BD ⊥ AC$;
(2)若$E$是边$AB$上的动点,求线段$DE$的最小值.
(1)求证:$BD ⊥ AC$;
(2)若$E$是边$AB$上的动点,求线段$DE$的最小值.
答案
14.(1)略 (2)线段DE的最小值为9.6.
解析
【分析】
(1)要证明$BD⊥ AC$，可先求出$CD$的长度，再利用勾股定理的逆定理验证$△ BDC$为直角三角形，且直角顶点为$D$即可得证。(2)根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，可知当$DE⊥ AB$时，$DE$长度最小，此时借助直角三角形$ABD$的两种面积计算方式，用等积法即可求出$DE$的最小值。
【解析】
(1)证明：$\because AC=21$，$AD=16$
$\therefore CD=AC-AD=21-16=5$
在$△ BDC$中，$BD=12$，$CD=5$，$BC=13$
$\because BD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，$BC^2=13^2=169$
$\therefore BD^2+CD^2=BC^2$
$\therefore △ BDC$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$
$\therefore BD⊥ AC$
(2)解：根据垂线段最短的性质，当$DE⊥ AB$时，线段$DE$的长度最小。
由(1)得$∠ ADB=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=16$，$BD=12$
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20$
$△ ABD$的面积可表示为$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AD· BD=\frac{1}{2}· AB· DE$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×16×12=\frac{1}{2}×20× DE$
解得$DE=\frac{16×12}{20}=9.6$
即线段$DE$的最小值为$9.6$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$9.6$
【知识点】
勾股定理的逆定理，垂线段最短，等积法求高
【点评】
本题侧重考查勾股定理相关的应用，解题关键是熟练掌握用勾股定理逆定理判断直角的方法，明确垂线段最短是求线段最小值的常用思路，结合等积法可快速求解直角三角形斜边上的高。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$BD⊥ AC$，可先求出$CD$的长度，再利用勾股定理的逆定理验证$△ BDC$为直角三角形，且直角顶点为$D$即可得证。(2)根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，可知当$DE⊥ AB$时，$DE$长度最小，此时借助直角三角形$ABD$的两种面积计算方式，用等积法即可求出$DE$的最小值。
【解析】
(1)证明：$\because AC=21$，$AD=16$
$\therefore CD=AC-AD=21-16=5$
在$△ BDC$中，$BD=12$，$CD=5$，$BC=13$
$\because BD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，$BC^2=13^2=169$
$\therefore BD^2+CD^2=BC^2$
$\therefore △ BDC$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$
$\therefore BD⊥ AC$
(2)解：根据垂线段最短的性质，当$DE⊥ AB$时，线段$DE$的长度最小。
由(1)得$∠ ADB=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=16$，$BD=12$
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20$
$△ ABD$的面积可表示为$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AD· BD=\frac{1}{2}· AB· DE$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×16×12=\frac{1}{2}×20× DE$
解得$DE=\frac{16×12}{20}=9.6$
即线段$DE$的最小值为$9.6$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$9.6$
【知识点】
勾股定理的逆定理，垂线段最短，等积法求高
【点评】
本题侧重考查勾股定理相关的应用，解题关键是熟练掌握用勾股定理逆定理判断直角的方法，明确垂线段最短是求线段最小值的常用思路，结合等积法可快速求解直角三角形斜边上的高。
【难度系数】
0.7
