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15.傍晚,君仪同学去小区遛狗,她观察发现,自己站直身体时,牵绳的手离地面的高度$AB=1.3\ \mathrm{m}$,小狗的高度$CD=0.3\ \mathrm{m}$,小狗与君仪的距离$AC=2.4\ \mathrm{m}$.(绳子一直是直的)
(1)此时,牵狗绳$BD$的长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$;
(2)君仪将手上的小球扔至距自己$3.2\ \mathrm{m}$远的$M$处,若她站着不动,将牵狗绳放长至$3.5\ \mathrm{m}$,则小狗能否将小球捡回来?请说明理由.(假设小狗碰到小球就能将球捡回来)
(1)此时,牵狗绳$BD$的长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$;
(2)君仪将手上的小球扔至距自己$3.2\ \mathrm{m}$远的$M$处,若她站着不动,将牵狗绳放长至$3.5\ \mathrm{m}$,则小狗能否将小球捡回来?请说明理由.(假设小狗碰到小球就能将球捡回来)
答案
15.(1)2.6 (2)小狗能将小球捡回来.理由略.
解析
【分析】
(1) 求解BD长度时，可通过作辅助线构造直角三角形：过D作DE⊥AB于E，易知四边形ACDE为矩形，可得DE=AC、BE=AB-CD，再利用勾股定理计算直角三角形BED的斜边BD即可。
(2) 判断小狗能否捡到小球，需先计算牵绳长3.5m时小狗能到达的最大水平距离：竖直方向高度差始终为AB-CD=1m，结合勾股定理算出对应水平距离，再和M到君仪的3.2m比较，若水平距离≥3.2m则可以捡到小球。
【解析】
(1) 过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AB⊥AC，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴四边形ACDE是矩形，
∴DE=AC=2.4m，AE=CD=0.3m，
∴BE=AB-AE=1.3-0.3=1m。
在Rt△BED中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{1^2+2.4^2}=\sqrt{6.76}=2.6\ \mathrm{m}$。
(2) 小狗能将小球捡回来，理由如下：
设牵绳长3.5m时，小狗可到达的最大水平距离为$x\ \mathrm{m}$，此时竖直方向高度差仍为1m，由勾股定理得：
$x^2+1^2=3.5^2$
解得$x^2=12.25-1=11.25$。
∵$3.2^2=10.24$，$11.25＞10.24$，
∴$x＞3.2$，即小狗能到达的最大水平距离大于M点到君仪的距离，因此小狗能捡到小球。
【答案】
(1)2.6；(2)小狗能将小球捡回来
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，解题核心是通过构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形边长计算问题，考查学生将知识应用到实际的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解BD长度时，可通过作辅助线构造直角三角形：过D作DE⊥AB于E，易知四边形ACDE为矩形，可得DE=AC、BE=AB-CD，再利用勾股定理计算直角三角形BED的斜边BD即可。
(2) 判断小狗能否捡到小球，需先计算牵绳长3.5m时小狗能到达的最大水平距离：竖直方向高度差始终为AB-CD=1m，结合勾股定理算出对应水平距离，再和M到君仪的3.2m比较，若水平距离≥3.2m则可以捡到小球。
【解析】
(1) 过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AB⊥AC，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴四边形ACDE是矩形，
∴DE=AC=2.4m，AE=CD=0.3m，
∴BE=AB-AE=1.3-0.3=1m。
在Rt△BED中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{1^2+2.4^2}=\sqrt{6.76}=2.6\ \mathrm{m}$。
(2) 小狗能将小球捡回来，理由如下：
设牵绳长3.5m时，小狗可到达的最大水平距离为$x\ \mathrm{m}$，此时竖直方向高度差仍为1m，由勾股定理得：
$x^2+1^2=3.5^2$
解得$x^2=12.25-1=11.25$。
∵$3.2^2=10.24$，$11.25＞10.24$，
∴$x＞3.2$，即小狗能到达的最大水平距离大于M点到君仪的距离，因此小狗能捡到小球。
【答案】
(1)2.6；(2)小狗能将小球捡回来
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，解题核心是通过构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形边长计算问题，考查学生将知识应用到实际的能力。
【难度系数】
0.7
16. 如图,在由小正方形组成的网格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C,D,E都是小正方形的顶点.
(1)画出$△ ABC$关于$DE$对称的$△ A_1B_1C_1$;
(2)$△ ABC$的面积为________;
(3)若点$P$在$DE$上,求$△ ACP$周长的最小值.
(1)画出$△ ABC$关于$DE$对称的$△ A_1B_1C_1$;
(2)$△ ABC$的面积为________;
(3)若点$P$在$DE$上,求$△ ACP$周长的最小值.
答案
16.(1)如图
,$△ A_1B_1C_1$即为所求.(2)$△ ABC$的面积$=3×3-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×3=\frac{7}{2}.$
(3)如图
,连接$A_1C$交$DE$于点$P$,则此时$△ ACP$的周长最小.$\therefore AP+PC=A_1P+PC=A_1C=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}.$
$\because AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},$
$\therefore △ ACP$周长的最小值为$\sqrt{10}+\sqrt{58}.$
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于DE对称的△A₁B₁C₁，根据轴对称性质：对称轴垂直平分对应点的连线，只需分别找到A、B、C三点关于直线DE的对称点A₁、B₁、C₁，再顺次连接三个对称点即可。
(2) 网格内不规则三角形的面积计算适合用割补法：先求出包含△ABC的最小矩形的面积，再减去矩形内除△ABC外的三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
(3) △ACP的周长=AC+AP+PC，其中AC长度为定值，因此只需让AP+PC的值最小即可得到周长最小值。根据轴对称的性质，点A关于DE的对称点为A₁，因此AP=A₁P，AP+PC可转化为A₁P+PC，根据两点之间线段最短，当A₁、P、C三点共线时，A₁P+PC的值最小，最小值为A₁C的长度，最后用勾股定理计算AC和A₁C的长度求和即可。
【解析】
(1) 分别过点A、B、C作DE的垂线，在DE另一侧的垂线上截取与各点到DE距离相等的线段，得到对应对称点A₁、B₁、C₁，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到所求的△A₁B₁C₁。
(2) 用割补法计算：
包含△ABC的边长为3的正方形面积为$3×3=9$，
周围三个直角三角形的面积分别为$\frac{1}{2}×2×3=3$、$\frac{1}{2}×1×2=1$、$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，
因此$S_{△ ABC}=9-3-1-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。
(3) 由轴对称性质可得$AP=A_1P$，因此△ACP的周长$=AC+AP+PC=AC+A_1P+PC$，
AC为定值，当A₁、P、C三点共线时，$A_1P+PC=A_1C$，此时$AP+PC$取最小值，
根据勾股定理：$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$A_1C=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$，
因此△ACP周长的最小值为$\sqrt{10}+\sqrt{58}$。
【答案】
(1) 如图,△A₁B₁C₁即为所求。
(2) $\frac{7}{2}$
(3) $\sqrt{10}+\sqrt{58}$
【知识点】
轴对称的性质；割补法求面积；勾股定理
【点评】
本题综合考查了网格中的轴对称作图、不规则图形面积计算、最短路径问题，解题的关键是灵活运用轴对称性质转化线段，结合割补法、勾股定理进行计算，是轴对称与勾股定理结合的典型题型。
【难度系数】
0.65
(1) 要画出△ABC关于DE对称的△A₁B₁C₁，根据轴对称性质：对称轴垂直平分对应点的连线，只需分别找到A、B、C三点关于直线DE的对称点A₁、B₁、C₁，再顺次连接三个对称点即可。
(2) 网格内不规则三角形的面积计算适合用割补法：先求出包含△ABC的最小矩形的面积，再减去矩形内除△ABC外的三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
(3) △ACP的周长=AC+AP+PC，其中AC长度为定值，因此只需让AP+PC的值最小即可得到周长最小值。根据轴对称的性质，点A关于DE的对称点为A₁，因此AP=A₁P，AP+PC可转化为A₁P+PC，根据两点之间线段最短，当A₁、P、C三点共线时，A₁P+PC的值最小，最小值为A₁C的长度，最后用勾股定理计算AC和A₁C的长度求和即可。
【解析】
(1) 分别过点A、B、C作DE的垂线，在DE另一侧的垂线上截取与各点到DE距离相等的线段，得到对应对称点A₁、B₁、C₁，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到所求的△A₁B₁C₁。
(2) 用割补法计算：
包含△ABC的边长为3的正方形面积为$3×3=9$，
周围三个直角三角形的面积分别为$\frac{1}{2}×2×3=3$、$\frac{1}{2}×1×2=1$、$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，
因此$S_{△ ABC}=9-3-1-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。
(3) 由轴对称性质可得$AP=A_1P$，因此△ACP的周长$=AC+AP+PC=AC+A_1P+PC$，
AC为定值，当A₁、P、C三点共线时，$A_1P+PC=A_1C$，此时$AP+PC$取最小值，
根据勾股定理：$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$A_1C=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$，
因此△ACP周长的最小值为$\sqrt{10}+\sqrt{58}$。
【答案】
(1) 如图
,△A₁B₁C₁即为所求。(2) $\frac{7}{2}$
(3) $\sqrt{10}+\sqrt{58}$
【知识点】
轴对称的性质；割补法求面积；勾股定理
【点评】
本题综合考查了网格中的轴对称作图、不规则图形面积计算、最短路径问题，解题的关键是灵活运用轴对称性质转化线段，结合割补法、勾股定理进行计算，是轴对称与勾股定理结合的典型题型。
【难度系数】
0.65
