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17. 如图,在$△ ABC$中,$AB=15$,$BC=14$,$AC=13$,求$△ ABC$的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
(1)作$AD ⊥ BC$于点$D$,设$BD=x$,用含$x$的代数式表示$CD=\_\_\_\_\_\_$;
(2)根据勾股定理,利用$AD$作为“桥梁”建立方程,并求出$x$的值;
(3)利用勾股定理求出$AD$的长,再计算三角形的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
(1)作$AD ⊥ BC$于点$D$,设$BD=x$,用含$x$的代数式表示$CD=\_\_\_\_\_\_$;
(2)根据勾股定理,利用$AD$作为“桥梁”建立方程,并求出$x$的值;
(3)利用勾股定理求出$AD$的长,再计算三角形的面积.
答案
17.(1)$14-x$ (2)$x=9$ (3)$S_{△ABC}=84$
解析
【分析】
要计算已知三边长的三角形的面积，我们可以通过作高把原三角形拆分为两个直角三角形，借助公共高作为相等关系列方程：首先根据BC的总长度用含x的式子表示CD，再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD的平方，令二者相等建立方程求出x的值，接着求出高AD的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 已知BC=14，BD=x，由CD=BC-BD可得，$CD=14-x$。
(2)
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形。
根据勾股定理，在$Rt△ ABD$中，$AD^2=AB^2-BD^2=15^2-x^2$；
在$Rt△ ACD$中，$AD^2=AC^2-CD^2=13^2-(14-x)^2$。
联立得方程：$15^2 - x^2 = 13^2 - (14-x)^2$
展开计算：
$225 - x^2 = 169 - (196 - 28x + x^2)$
$225 - x^2 = 169 - 196 + 28x - x^2$
消去两边的$-x^2$，得：$225 = -27 + 28x$
解得：$28x=252$，$x=9$。
(3) 将$x=9$代入$AD^2=15^2 - 9^2=225-81=144$，
∵AD为线段长度，取正值，
∴$AD=12$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 14 × 12=84$。
【答案】
(1)$14-x$ (2)$x=9$ (3)$S_{△ ABC}=84$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是已知三角形三边长求面积的典型题，通过作高将一般三角形转化为直角三角形，利用公共高建立方程求解，渗透了转化思想和方程思想，是几何计算中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
要计算已知三边长的三角形的面积，我们可以通过作高把原三角形拆分为两个直角三角形，借助公共高作为相等关系列方程：首先根据BC的总长度用含x的式子表示CD，再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD的平方，令二者相等建立方程求出x的值，接着求出高AD的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 已知BC=14，BD=x，由CD=BC-BD可得，$CD=14-x$。
(2)
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形。
根据勾股定理，在$Rt△ ABD$中，$AD^2=AB^2-BD^2=15^2-x^2$；
在$Rt△ ACD$中，$AD^2=AC^2-CD^2=13^2-(14-x)^2$。
联立得方程：$15^2 - x^2 = 13^2 - (14-x)^2$
展开计算：
$225 - x^2 = 169 - (196 - 28x + x^2)$
$225 - x^2 = 169 - 196 + 28x - x^2$
消去两边的$-x^2$，得：$225 = -27 + 28x$
解得：$28x=252$，$x=9$。
(3) 将$x=9$代入$AD^2=15^2 - 9^2=225-81=144$，
∵AD为线段长度，取正值，
∴$AD=12$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 14 × 12=84$。
【答案】
(1)$14-x$ (2)$x=9$ (3)$S_{△ ABC}=84$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是已知三角形三边长求面积的典型题，通过作高将一般三角形转化为直角三角形，利用公共高建立方程求解，渗透了转化思想和方程思想，是几何计算中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
18.【阅读材料】如图 1,在 $Rt△ ADC$ 中,$∠ C=90°,∠ D=22.5°$,求$\frac{AC}{CD}$的值；
解:在 $CD$ 上截取 $BC=AC$,则 $∠ ABC=∠ BAC=45°=2∠ D,\therefore AB=BD$.
设 $AC=a$,则 $BC=a,AB=BD=\sqrt{2}a$.
又 $\because CD=BD+CB=(\sqrt{2}+1)a,\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{a}{(\sqrt{2}+1)a}=\sqrt{2}-1$.
【实际运用】如图 2,在 $Rt△ ADC$ 中,$∠ C=90°,∠ D=15°$,求$\frac{AC}{CD}$的值.
解:在 $CD$ 上截取 $BC=AC$,则 $∠ ABC=∠ BAC=45°=2∠ D,\therefore AB=BD$.
设 $AC=a$,则 $BC=a,AB=BD=\sqrt{2}a$.
又 $\because CD=BD+CB=(\sqrt{2}+1)a,\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{a}{(\sqrt{2}+1)a}=\sqrt{2}-1$.
【实际运用】如图 2,在 $Rt△ ADC$ 中,$∠ C=90°,∠ D=15°$,求$\frac{AC}{CD}$的值.
答案
18.作AD的垂直平分线交CD于点B,则$BD=AB$,$\therefore ∠ D=∠ DAB=15°$,$\therefore ∠ ABC=∠ D+∠ DAB=30°$.$\because ∠ C=90°$,故设$AC=x$,则$AB=BD=2x$,$BC=\sqrt{3}x$,$\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{x}{(2+\sqrt{3})x}=2-\sqrt{3}.$
解析
【分析】
这是一道类比探究题，解题思路可参考阅读材料的方法，通过构造等腰三角形将15°的非特殊角转化为熟悉的30°特殊角，利用特殊直角三角形的边长关系求解比值。首先作AD的垂直平分线得到等腰△ABD，利用外角性质得到∠ABC=30°，再设AC的长度为x，结合30°直角三角形的性质和勾股定理表示出AB、BD、BC的长度，最后计算AC与CD的比值并化简即可。
【解析】
解：作AD的垂直平分线交CD于点B，连接AB。
根据线段垂直平分线的性质可得$BD=AB$，$\therefore ∠D=∠DAB=15°$。
根据三角形外角的性质，$∠ABC=∠D+∠DAB=15°+15°=30°$。
已知$∠C=90°$，设$AC=x$，
在$Rt△ABC$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，$\therefore AB=2AC=2x$，即$BD=AB=2x$。
由勾股定理可得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$。
$\therefore CD=BD+BC=2x+\sqrt{3}x=(2+\sqrt{3})x$，
$\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{x}{(2+\sqrt{3})x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于类比探究类问题，解题的关键是模仿材料中构造特殊角的思路，将非特殊角转化为熟悉的特殊角，结合特殊三角形的性质求解，能有效考查知识迁移能力和类比推理能力。
【难度系数】
0.6
这是一道类比探究题，解题思路可参考阅读材料的方法，通过构造等腰三角形将15°的非特殊角转化为熟悉的30°特殊角，利用特殊直角三角形的边长关系求解比值。首先作AD的垂直平分线得到等腰△ABD，利用外角性质得到∠ABC=30°，再设AC的长度为x，结合30°直角三角形的性质和勾股定理表示出AB、BD、BC的长度，最后计算AC与CD的比值并化简即可。
【解析】
解：作AD的垂直平分线交CD于点B，连接AB。
根据线段垂直平分线的性质可得$BD=AB$，$\therefore ∠D=∠DAB=15°$。
根据三角形外角的性质，$∠ABC=∠D+∠DAB=15°+15°=30°$。
已知$∠C=90°$，设$AC=x$，
在$Rt△ABC$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，$\therefore AB=2AC=2x$，即$BD=AB=2x$。
由勾股定理可得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$。
$\therefore CD=BD+BC=2x+\sqrt{3}x=(2+\sqrt{3})x$，
$\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{x}{(2+\sqrt{3})x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于类比探究类问题，解题的关键是模仿材料中构造特殊角的思路，将非特殊角转化为熟悉的特殊角，结合特殊三角形的性质求解，能有效考查知识迁移能力和类比推理能力。
【难度系数】
0.6
