19. (1)定义:我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形.性质:垂美四边形对边的平方和相等,即$AB^2+CD^2=BC^2+AD^2$.请结合图1证明这个结论;

(2)【模型应用】如图2,在长方形$ABCD$中,$AB=6$,$P$是$AD$边上一点,且$AP=2PD$,$CP ⊥ BD$,求$AD$的长.

19.(1)$\because AC⊥BD$,
$\therefore ∠ AOD=∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=90°.$
由勾股定理得,$AB^2=AO^2+BO^2$,$CD^2=CO^2+DO^2$,$AD^2=AO^2+DO^2$,$BC^2=BO^2+CO^2$,
$\therefore AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2$,$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$,
$\therefore AB^2+CD^2=AD^2+BC^2.$
(2)连接$BP$,设$PD=x$,则$AP=2x$,$AD=BC=3x$,
$BP^2=AB^2+AP^2=6^2+(2x)^2=36+4x^2.$
$\because PC⊥BD$,$\therefore$ 由(1)得$BP^2+CD^2=BC^2+PD^2$,
$\therefore 36+4x^2+6^2=(3x)^2+x^2.$
化简得$x^2=12$,解得$x=2\sqrt{3}$或$x=-2\sqrt{3}$(舍).$\therefore AD=6\sqrt{3}.$

【分析】
（1）要证明垂美四边形对边的平方和相等，已知对角线互相垂直，可得对角线相交形成的4个角均为直角，可借助勾股定理分别表示出两组对边的平方和，通过对比即可证明结论。
（2）已知CP⊥BD，连接BP后，四边形BCDP的对角线互相垂直，符合垂美四边形的定义，可直接运用（1）的性质求解。设PD=x，根据AP=2PD表示出AP、AD的长度，再结合矩形的性质得到BC、CD的长度，将各边平方代入性质公式列方程，求解得到x的值后即可算出AD的长。
【解析】
(1) 已知四边形是垂美四边形，即$AC⊥BD$，
$\therefore ∠ AOD=∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=90°.$
由勾股定理得：
$AB^2=AO^2+BO^2$，$CD^2=CO^2+DO^2$，
$AD^2=AO^2+DO^2$，$BC^2=BO^2+CO^2$，
$\therefore AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2$，
$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$，
$\therefore AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$，性质得证。
(2) 连接$BP$，设$PD=x$，则$AP=2x$，$AD=BC=3x$，
在矩形ABCD中，CD=AB=6，
由勾股定理得$BP^2=AB^2+AP^2=6^2+(2x)^2=36+4x^2$，
$\because PC⊥BD$，即四边形BCDP为垂美四边形，
由(1)的性质得$BP^2+CD^2=BC^2+PD^2$，
代入得$36+4x^2+6^2=(3x)^2+x^2$，
化简得$x^2=12$，解得$x=2\sqrt{3}$或$x=-2\sqrt{3}$（边长为正，舍去），
$\therefore AD=3x=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AD=6\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理，新定义应用，矩形的性质
【点评】
本题分为新定义性质证明和实践应用两部分，既考查了基础的勾股定理运用和逻辑推导能力，也考查了对新知识的迁移运用能力，解题的关键是在第二问中主动构造垂美四边形，代入性质求解。
【难度系数】
0.6