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20. 如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,且 OA = OB,另有两点 C(a,b)和 D(b,-a)(a,b 均大于 0).
(1)连接 OD,CD,如图 1,求证:∠ODC = 45°;
(2)连接 CO,CB,CA,如图 2,若 CB = 2,CO = 4,CA = 6,求∠OCB 的度数;
(3)若点 E 在线段 OA 上,如图 3,且 AE = 2,CE = 5,AC = $\sqrt{41}$,动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从点 E 出发沿射线 EO 方向运动,运动时间为 t s,在点 P 的运动过程中,△APC 能否成为等腰三角形? 若能,求出 t 的值;若不能,请说明理由.
第 20 题图
(1)连接 OD,CD,如图 1,求证:∠ODC = 45°;
(2)连接 CO,CB,CA,如图 2,若 CB = 2,CO = 4,CA = 6,求∠OCB 的度数;
(3)若点 E 在线段 OA 上,如图 3,且 AE = 2,CE = 5,AC = $\sqrt{41}$,动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从点 E 出发沿射线 EO 方向运动,运动时间为 t s,在点 P 的运动过程中,△APC 能否成为等腰三角形? 若能,求出 t 的值;若不能,请说明理由.
第 20 题图
答案
20.(1)证明:连接OC,分别过点C,D向x轴作垂线,垂足分别为M,N.
$\because C(a,b),D(b,-a)(a,b均大于0),$
$\therefore OM=DN=a,CM=ON=b. \therefore △ OCM≌△ ODN(SAS),\therefore ∠ COM=∠ ODN.$
$\because ∠ DON+∠ ODN=90°,\therefore ∠ COM+∠ DON=90°$,即$∠ COD=90°.$
$\because OC=OD=\sqrt{a^2+b^2},\therefore △ COD$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ ODC=45°.$
(2)连接$AD$.$\because ∠ BOA=∠ COD=90°$,$\therefore ∠ BOC=∠ AOD$.在$△ OCB$和$△ ODA$中,
$\begin{cases}OB=AO,\\∠ BOC=∠ AOD,\\OC=OD,\end{cases}$$\therefore △ OCB≌△ ODA(SAS),\therefore AD=BC=2,∠ OCB=∠ ODA.$
$\because OC=OD=4,\therefore CD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}.\because AD^2+CD^2=4+32=36,AC^2=36,$
$\therefore AD^2+CD^2=AC^2,\therefore ∠ ADC=90°,\therefore ∠ OCB=∠ ODA=90°+45°=135°.$
(3)$△ APC$能成为等腰三角形,理由:过点$C$作$CF⊥OA$于点$F$.
设$EF=x$,则$CF^2=CE^2-EF^2=5^2-x^2=25-x^2$.又$\because CF^2=AC^2-AF^2$,$\therefore CF^2=41-(2+x)^2$,$\therefore 25-x^2=41-(2+x)^2$,解得$x=3$.$\therefore EF=3,CF=4.$
①当$AP=PC$时,$PC=AP=2+2t$.$\because AF=5$,$\therefore PF=5-(2+2t)=-2t+3$.由$PF^2+CF^2=PC^2$,得$(3-2t)^2+4^2=(2+2t)^2$,解得$t=\frac{21}{20}$;
②当$AP=AC$时,$2+2t=\sqrt{41}$,解得$t=\frac{\sqrt{41}-2}{2}$;
③当$AC=PC$时,$AP=2AF$,即$2+2t=10$,解得$t=4$.
综上所述,当$t=\frac{21}{20}$或$t=\frac{\sqrt{41}-2}{2}$或$t=4$时,$△ APC$是等腰三角形.
$\because C(a,b),D(b,-a)(a,b均大于0),$
$\therefore OM=DN=a,CM=ON=b. \therefore △ OCM≌△ ODN(SAS),\therefore ∠ COM=∠ ODN.$
$\because ∠ DON+∠ ODN=90°,\therefore ∠ COM+∠ DON=90°$,即$∠ COD=90°.$
$\because OC=OD=\sqrt{a^2+b^2},\therefore △ COD$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ ODC=45°.$
(2)连接$AD$.$\because ∠ BOA=∠ COD=90°$,$\therefore ∠ BOC=∠ AOD$.在$△ OCB$和$△ ODA$中,
$\begin{cases}OB=AO,\\∠ BOC=∠ AOD,\\OC=OD,\end{cases}$$\therefore △ OCB≌△ ODA(SAS),\therefore AD=BC=2,∠ OCB=∠ ODA.$
$\because OC=OD=4,\therefore CD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}.\because AD^2+CD^2=4+32=36,AC^2=36,$
$\therefore AD^2+CD^2=AC^2,\therefore ∠ ADC=90°,\therefore ∠ OCB=∠ ODA=90°+45°=135°.$
(3)$△ APC$能成为等腰三角形,理由:过点$C$作$CF⊥OA$于点$F$.
设$EF=x$,则$CF^2=CE^2-EF^2=5^2-x^2=25-x^2$.又$\because CF^2=AC^2-AF^2$,$\therefore CF^2=41-(2+x)^2$,$\therefore 25-x^2=41-(2+x)^2$,解得$x=3$.$\therefore EF=3,CF=4.$
①当$AP=PC$时,$PC=AP=2+2t$.$\because AF=5$,$\therefore PF=5-(2+2t)=-2t+3$.由$PF^2+CF^2=PC^2$,得$(3-2t)^2+4^2=(2+2t)^2$,解得$t=\frac{21}{20}$;
②当$AP=AC$时,$2+2t=\sqrt{41}$,解得$t=\frac{\sqrt{41}-2}{2}$;
③当$AC=PC$时,$AP=2AF$,即$2+2t=10$,解得$t=4$.
综上所述,当$t=\frac{21}{20}$或$t=\frac{\sqrt{41}-2}{2}$或$t=4$时,$△ APC$是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 要证∠ODC=45°，可先证明△COD是等腰直角三角形。结合C、D的坐标，作x轴垂线构造全等三角形，证明OC=OD且∠COD=90°即可推导结论。
(2) 要求∠OCB的度数，可通过全等转化线段和角：利用OA=OB、OC=OD及等角的余角相等证明△OCB≌△ODA，将CB转化为AD，再结合勾股定理逆定理判断△ADC为直角三角形，结合等腰直角三角形的角度即可求出∠OCB。
(3) 要判断△APC能否为等腰三角形，先通过勾股定理求出点C到x轴的距离CF及EF的长度，再分三种情况讨论：①AP=PC；②AP=AC；③AC=PC，分别根据勾股定理或等腰三角形性质列方程求解t即可。
【解析】
(1) 证明：连接OC，分别过点C、D向x轴作垂线，垂足分别为M、N。
∵ $C(a,b),D(b,-a)$（a,b均大于0），
∴ $OM=DN=a,CM=ON=b$，又$∠OMC=∠DNO=90°$，
∴ $△ OCM≌△ ODN(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠COM=∠ODN$。
∵ $∠DON+∠ODN=90°$，
∴ $∠COM+∠DON=90°$，即$∠COD=90°$。
∵ $OC=OD=\sqrt{a^2+b^2}$，
∴ $△ COD$是等腰直角三角形，
∴ $∠ODC=45°$。
(2) 解：连接AD。
∵ $∠BOA=∠COD=90°$，
∴ $∠BOA - ∠AOC = ∠COD - ∠AOC$，即$∠BOC=∠AOD$。
在$△ OCB$和$△ ODA$中：
$\begin{cases} OB=AO \\ ∠BOC=∠AOD \\ OC=OD \end{cases}$
∴ $△ OCB≌△ ODA(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD=BC=2,∠OCB=∠ODA$。
∵ $OC=OD=4,∠COD=90°$，
∴ $CD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
∵ $AD^2+CD^2=2^2+(4\sqrt{2})^2=36,AC^2=6^2=36$，
∴ $AD^2+CD^2=AC^2$，
∴ $∠ADC=90°$。
∵ $△ COD$是等腰直角三角形，$∠ODC=45°$，
∴ $∠OCB=∠ODA=∠ADC+∠ODC=90°+45°=135°$。
(3) 解：$△ APC$能成为等腰三角形，理由如下：
过点C作$CF⊥OA$于点F。
设$EF=x$，则$AF=AE+EF=2+x$，
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$CF^2=CE^2-EF^2=5^2-x^2=25-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ CAF$中，$CF^2=AC^2-AF^2=41-(2+x)^2$，
∴ $25-x^2=41-(2+x)^2$，解得$x=3$，
∴ $EF=3,CF=4,AF=5$。
动点P从E出发沿射线EO方向运动，速度为2单位/秒，运动时间为t s，则$PE=2t$，$AP=AE+PE=2+2t$。
分三种情况讨论：
① 当$AP=PC$时，$PC=2+2t$，$PF=AF-AP=3-2t$，
在$\mathrm{Rt}△ PCF$中，由勾股定理得$PF^2+CF^2=PC^2$，
即$(3-2t)^2+4^2=(2+2t)^2$，解得$t=\frac{21}{20}$；
② 当$AP=AC$时，$2+2t=\sqrt{41}$，解得$t=\frac{\sqrt{41}-2}{2}$；
③ 当$AC=PC$时，由等腰三角形三线合一得$AP=2AF=10$，
∴ $2+2t=10$，解得$t=4$。
【答案】
(1) 证明成立，$\boldsymbol{∠ODC=45°}$；
(2) $\boldsymbol{∠OCB=135°}$；
(3) 能，t的值为$\boldsymbol{\frac{21}{20}}$、$\boldsymbol{\frac{\sqrt{41}-2}{2}}$、$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
全等三角形判定与性质，勾股定理，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是坐标与几何结合的综合题，难度逐层递进，第一问为后两问做铺垫，考查了全等三角形的构造与应用，第二问利用全等转化线段和角，结合勾股定理逆定理求角度，第三问考查分类讨论思想，需注意等腰三角形三种情况的完整讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
(1) 要证∠ODC=45°，可先证明△COD是等腰直角三角形。结合C、D的坐标，作x轴垂线构造全等三角形，证明OC=OD且∠COD=90°即可推导结论。
(2) 要求∠OCB的度数，可通过全等转化线段和角：利用OA=OB、OC=OD及等角的余角相等证明△OCB≌△ODA，将CB转化为AD，再结合勾股定理逆定理判断△ADC为直角三角形，结合等腰直角三角形的角度即可求出∠OCB。
(3) 要判断△APC能否为等腰三角形，先通过勾股定理求出点C到x轴的距离CF及EF的长度，再分三种情况讨论：①AP=PC；②AP=AC；③AC=PC，分别根据勾股定理或等腰三角形性质列方程求解t即可。
【解析】
(1) 证明：连接OC，分别过点C、D向x轴作垂线，垂足分别为M、N。
∵ $C(a,b),D(b,-a)$（a,b均大于0），
∴ $OM=DN=a,CM=ON=b$，又$∠OMC=∠DNO=90°$，
∴ $△ OCM≌△ ODN(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠COM=∠ODN$。
∵ $∠DON+∠ODN=90°$，
∴ $∠COM+∠DON=90°$，即$∠COD=90°$。
∵ $OC=OD=\sqrt{a^2+b^2}$，
∴ $△ COD$是等腰直角三角形，
∴ $∠ODC=45°$。
(2) 解：连接AD。
∵ $∠BOA=∠COD=90°$，
∴ $∠BOA - ∠AOC = ∠COD - ∠AOC$，即$∠BOC=∠AOD$。
在$△ OCB$和$△ ODA$中：
$\begin{cases} OB=AO \\ ∠BOC=∠AOD \\ OC=OD \end{cases}$
∴ $△ OCB≌△ ODA(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD=BC=2,∠OCB=∠ODA$。
∵ $OC=OD=4,∠COD=90°$，
∴ $CD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
∵ $AD^2+CD^2=2^2+(4\sqrt{2})^2=36,AC^2=6^2=36$，
∴ $AD^2+CD^2=AC^2$，
∴ $∠ADC=90°$。
∵ $△ COD$是等腰直角三角形，$∠ODC=45°$，
∴ $∠OCB=∠ODA=∠ADC+∠ODC=90°+45°=135°$。
(3) 解：$△ APC$能成为等腰三角形，理由如下：
过点C作$CF⊥OA$于点F。
设$EF=x$，则$AF=AE+EF=2+x$，
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$CF^2=CE^2-EF^2=5^2-x^2=25-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ CAF$中，$CF^2=AC^2-AF^2=41-(2+x)^2$，
∴ $25-x^2=41-(2+x)^2$，解得$x=3$，
∴ $EF=3,CF=4,AF=5$。
动点P从E出发沿射线EO方向运动，速度为2单位/秒，运动时间为t s，则$PE=2t$，$AP=AE+PE=2+2t$。
分三种情况讨论：
① 当$AP=PC$时，$PC=2+2t$，$PF=AF-AP=3-2t$，
在$\mathrm{Rt}△ PCF$中，由勾股定理得$PF^2+CF^2=PC^2$，
即$(3-2t)^2+4^2=(2+2t)^2$，解得$t=\frac{21}{20}$；
② 当$AP=AC$时，$2+2t=\sqrt{41}$，解得$t=\frac{\sqrt{41}-2}{2}$；
③ 当$AC=PC$时，由等腰三角形三线合一得$AP=2AF=10$，
∴ $2+2t=10$，解得$t=4$。
【答案】
(1) 证明成立，$\boldsymbol{∠ODC=45°}$；
(2) $\boldsymbol{∠OCB=135°}$；
(3) 能，t的值为$\boldsymbol{\frac{21}{20}}$、$\boldsymbol{\frac{\sqrt{41}-2}{2}}$、$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
全等三角形判定与性质，勾股定理，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是坐标与几何结合的综合题，难度逐层递进，第一问为后两问做铺垫，考查了全等三角形的构造与应用，第二问利用全等转化线段和角，结合勾股定理逆定理求角度，第三问考查分类讨论思想，需注意等腰三角形三种情况的完整讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
