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7.如图,直线AB,CD相交于点O,∠1−∠2=50°,则∠2=
65°
,∠BOD=115°
.答案
7.65°,115°
解析
【分析】
首先观察图形，直线AB、CD相交于点O，可得∠1与∠2是邻补角，根据邻补角的性质，二者之和为180°，结合题目给出的∠1-∠2=50°，将这两个角度关系联立，即可求出∠2的度数；再根据对顶角相等的性质，∠BOD与∠1是对顶角，就能求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴ ∠1和∠2互为邻补角，即$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，
又
∵ $∠ 1 - ∠ 2 = 50°$，
将两式相加得：$2∠ 1 = 230°$，解得$∠ 1 = 115°$，
把$∠ 1=115°$代入$∠ 1 - ∠ 2 =50°$，得$115° - ∠ 2 = 50°$，解得$∠ 2 = 65°$。
∵ ∠BOD与∠1是对顶角，根据对顶角相等，
∴ $∠ BOD = ∠ 1 = 115°$。
【答案】
$65°$，$115°$
【知识点】
邻补角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于相交线相关的基础计算题，核心是识别相交线形成的邻补角和对顶角，利用其角度性质建立等量关系，通过简单的代数运算即可求解，是几何角度计算的基础题型。
【难度系数】
0.85
首先观察图形，直线AB、CD相交于点O，可得∠1与∠2是邻补角，根据邻补角的性质，二者之和为180°，结合题目给出的∠1-∠2=50°，将这两个角度关系联立，即可求出∠2的度数；再根据对顶角相等的性质，∠BOD与∠1是对顶角，就能求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴ ∠1和∠2互为邻补角，即$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，
又
∵ $∠ 1 - ∠ 2 = 50°$，
将两式相加得：$2∠ 1 = 230°$，解得$∠ 1 = 115°$，
把$∠ 1=115°$代入$∠ 1 - ∠ 2 =50°$，得$115° - ∠ 2 = 50°$，解得$∠ 2 = 65°$。
∵ ∠BOD与∠1是对顶角，根据对顶角相等，
∴ $∠ BOD = ∠ 1 = 115°$。
【答案】
$65°$，$115°$
【知识点】
邻补角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于相交线相关的基础计算题，核心是识别相交线形成的邻补角和对顶角，利用其角度性质建立等量关系，通过简单的代数运算即可求解，是几何角度计算的基础题型。
【难度系数】
0.85
8.若∠1与∠2是对顶角，且∠1+∠2=140°，则∠1的补角是
110
°.答案
8.110
解析
【分析】
解题时首先回忆对顶角的性质：对顶角相等，结合已知∠1+∠2=140°，就可以先求出∠1的度数；再根据补角的定义：互为补角的两个角之和为180°，用180°减去∠1的度数就能得到∠1的补角的度数。
【解析】
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2（对顶角相等），
又
∵∠1+∠2=140°，
∴2∠1=140°，
解得∠1=70°，
根据补角的定义，∠1的补角=180°-∠1=180°-70°=110°。
【答案】
110
【知识点】
对顶角的性质；补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要熟练掌握对顶角的性质和补角的定义，按照逻辑逐步计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆对顶角的性质：对顶角相等，结合已知∠1+∠2=140°，就可以先求出∠1的度数；再根据补角的定义：互为补角的两个角之和为180°，用180°减去∠1的度数就能得到∠1的补角的度数。
【解析】
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2（对顶角相等），
又
∵∠1+∠2=140°，
∴2∠1=140°，
解得∠1=70°，
根据补角的定义，∠1的补角=180°-∠1=180°-70°=110°。
【答案】
110
【知识点】
对顶角的性质；补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要熟练掌握对顶角的性质和补角的定义，按照逻辑逐步计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.9
9.如图,在直线 MN 的异侧有 A,B 两点,按要求画图取点,并注明画图取点的依据.
(1)在直线 MN 上取一点 C,使线段 AC 最短.依据是
(2)在直线 MN 上取一点 D,使线段 AD+BD 最短.依据是
(1)在直线 MN 上取一点 C,使线段 AC 最短.依据是
垂线段最短
.(2)在直线 MN 上取一点 D,使线段 AD+BD 最短.依据是
两点之间,线段最短
.答案
9.图略 (1)垂线段最短 (2)两点之间,线段最短
解析
【分析】
(1) 要找到直线MN上使线段AC最短的点C，根据点到直线的连线的长度规律，直线外一点到直线的所有连线中，垂线段长度最短，因此只需过点A向直线MN作垂线，垂足即为所求点C。
(2) 要找到直线MN上使AD+BD最短的点D，A、B在直线MN异侧，要让两段线段和最小，根据两点之间的连线规律，两点之间线段最短，因此连接A、B两点，连线与直线MN的交点即为所求点D，此时AD+BD的和等于AB的长度，是最小值。
【解析】
(1) 作图：过点A作AC⊥MN，垂足为点C，点C即为所求。依据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称为垂线段最短。
(2) 作图：连接AB，线段AB与直线MN的交点即为点D，点D即为所求。依据：两点的所有连线中，线段最短，简称为两点之间，线段最短。
（作图规范即可，图略）
【答案】
图略 (1)垂线段最短 (2)两点之间，线段最短
【知识点】
1. 垂线段的性质 2. 线段的基本性质
【点评】
本题是基础的几何作图应用题，主要考查两类最短路径相关性质的实际应用，解题时需准确区分两种最短情况的适用场景，结合对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
(1) 要找到直线MN上使线段AC最短的点C，根据点到直线的连线的长度规律，直线外一点到直线的所有连线中，垂线段长度最短，因此只需过点A向直线MN作垂线，垂足即为所求点C。
(2) 要找到直线MN上使AD+BD最短的点D，A、B在直线MN异侧，要让两段线段和最小，根据两点之间的连线规律，两点之间线段最短，因此连接A、B两点，连线与直线MN的交点即为所求点D，此时AD+BD的和等于AB的长度，是最小值。
【解析】
(1) 作图：过点A作AC⊥MN，垂足为点C，点C即为所求。依据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称为垂线段最短。
(2) 作图：连接AB，线段AB与直线MN的交点即为点D，点D即为所求。依据：两点的所有连线中，线段最短，简称为两点之间，线段最短。
（作图规范即可，图略）
【答案】
图略 (1)垂线段最短 (2)两点之间，线段最短
【知识点】
1. 垂线段的性质 2. 线段的基本性质
【点评】
本题是基础的几何作图应用题，主要考查两类最短路径相关性质的实际应用，解题时需准确区分两种最短情况的适用场景，结合对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
10.如图,将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF.已知BE=4,AG=3,AC=7,则图中阴影部分的面积为
22
.答案
10.22
解析
【分析】
本题可利用平移的性质求解。首先，平移前后的两个图形全等，面积相等、对应边相等。观察图形可知，阴影部分的面积等于△ABC的面积减去公共部分△EGC的面积，而△ABC和平移得到的△DEF面积相等，因此阴影部分面积可转化为梯形GCFE的面积，只需求出梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式即可求解。
【解析】
∵ 直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF
∴ △ABC≌△DEF，可得AC=EF=7，平移距离BE=CF=4，且$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$
∵ $S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{△ EGC}$，$S_{梯形GCFE}=S_{△ DEF}-S_{△ EGC}$
∴ $S_{阴影}=S_{梯形GCFE}$
又
∵ AG=3，
∴ $GC=AC-AG=7-3=4$
根据梯形面积公式：$S_{梯形}=\frac{(上底+下底)×高}{2}$
代入数据得：$S_{阴影}=\frac{(GC + EF)× CF}{2}=\frac{(4+7)×4}{2}=22$
【答案】
22
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算，面积转化法
【点评】
本题核心是利用平移的性质实现面积的转化，将无法直接计算的阴影部分面积转化为规则的梯形面积计算，体现了几何中的转化思想，掌握平移的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
本题可利用平移的性质求解。首先，平移前后的两个图形全等，面积相等、对应边相等。观察图形可知，阴影部分的面积等于△ABC的面积减去公共部分△EGC的面积，而△ABC和平移得到的△DEF面积相等，因此阴影部分面积可转化为梯形GCFE的面积，只需求出梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式即可求解。
【解析】
∵ 直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF
∴ △ABC≌△DEF，可得AC=EF=7，平移距离BE=CF=4，且$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$
∵ $S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{△ EGC}$，$S_{梯形GCFE}=S_{△ DEF}-S_{△ EGC}$
∴ $S_{阴影}=S_{梯形GCFE}$
又
∵ AG=3，
∴ $GC=AC-AG=7-3=4$
根据梯形面积公式：$S_{梯形}=\frac{(上底+下底)×高}{2}$
代入数据得：$S_{阴影}=\frac{(GC + EF)× CF}{2}=\frac{(4+7)×4}{2}=22$
【答案】
22
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算，面积转化法
【点评】
本题核心是利用平移的性质实现面积的转化，将无法直接计算的阴影部分面积转化为规则的梯形面积计算，体现了几何中的转化思想，掌握平移的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
11.如图,已知 DA 是$∠BDF$的平分线,$∠3=∠4$.若$∠1=40°,∠2=140°$,则$∠CBD$的度数为________.
答案
11.70°
解析
【分析】
解题时先从已知的∠1和∠2的度数入手，先利用邻补角的性质求出∠BDC的度数，通过同位角相等证明AE//FC；再结合对顶角相等得到∠BDF的度数，利用角平分线的定义求出∠ADF的度数，根据平行线的内错角相等得到∠4的度数，结合已知∠3=∠4得到∠3的度数；再根据平行线的内错角相等得到∠EBC的度数，最后利用平角的性质即可计算出∠CBD的度数。
【解析】
解：
1. 求∠BDC的度数：
∵∠2=140°，∠BDC与∠2互为邻补角
∴∠BDC=180°-∠2=180°-140°=40°
2. 证明$AE// FC$：
∵∠1=40°，
∴∠1=∠BDC
∴$AE// FC$（同位角相等，两直线平行）
3. 求∠ADF的度数：
∵∠BDF与∠2互为对顶角
∴∠BDF=∠2=140°
∵DA是∠BDF的平分线
∴$∠ ADF=\frac{1}{2}∠ BDF=\frac{1}{2}×140°=70°$
4. 求∠3的度数：
∵$AE// FC$
∴∠4=∠ADF=70°（两直线平行，内错角相等）
∵∠3=∠4
∴∠3=70°
5. 求∠EBC的度数：
∵$AE// FC$
∴∠EBC=∠3=70°（两直线平行，内错角相等）
6. 计算∠CBD的度数：
∵点B在直线AE上，∠1+∠CBD+∠EBC=180°（平角的定义）
∴∠CBD=180°-∠1-∠EBC=180°-40°-70°=70°
【答案】
$70°$
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 邻补角与对顶角的性质
【点评】
本题综合考查了平行线、角平分线以及基础角度计算的相关知识，解题的关键是先通过角度的等量关系判定平行线，再利用平行线的性质完成角度的转换，逐步推导得到所求角的度数，需要学生熟练掌握角度相关的基础性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的∠1和∠2的度数入手，先利用邻补角的性质求出∠BDC的度数，通过同位角相等证明AE//FC；再结合对顶角相等得到∠BDF的度数，利用角平分线的定义求出∠ADF的度数，根据平行线的内错角相等得到∠4的度数，结合已知∠3=∠4得到∠3的度数；再根据平行线的内错角相等得到∠EBC的度数，最后利用平角的性质即可计算出∠CBD的度数。
【解析】
解：
1. 求∠BDC的度数：
∵∠2=140°，∠BDC与∠2互为邻补角
∴∠BDC=180°-∠2=180°-140°=40°
2. 证明$AE// FC$：
∵∠1=40°，
∴∠1=∠BDC
∴$AE// FC$（同位角相等，两直线平行）
3. 求∠ADF的度数：
∵∠BDF与∠2互为对顶角
∴∠BDF=∠2=140°
∵DA是∠BDF的平分线
∴$∠ ADF=\frac{1}{2}∠ BDF=\frac{1}{2}×140°=70°$
4. 求∠3的度数：
∵$AE// FC$
∴∠4=∠ADF=70°（两直线平行，内错角相等）
∵∠3=∠4
∴∠3=70°
5. 求∠EBC的度数：
∵$AE// FC$
∴∠EBC=∠3=70°（两直线平行，内错角相等）
6. 计算∠CBD的度数：
∵点B在直线AE上，∠1+∠CBD+∠EBC=180°（平角的定义）
∴∠CBD=180°-∠1-∠EBC=180°-40°-70°=70°
【答案】
$70°$
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 邻补角与对顶角的性质
【点评】
本题综合考查了平行线、角平分线以及基础角度计算的相关知识，解题的关键是先通过角度的等量关系判定平行线，再利用平行线的性质完成角度的转换，逐步推导得到所求角的度数，需要学生熟练掌握角度相关的基础性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
12.共享单车为市民的绿色出行提供了便利.图1是某品牌共享单车的实物平面图,图2是其部分结构示意图,其中$AB// ED$,$∠ ABC=115°$,$∠ EDC=135°$,则$∠ BCD$的度数为________.
答案
12.110°
解析
【分析】
这是平行线背景下的角度计算问题，属于常见的“拐点”类题型。解题思路如下：已知AB//ED，待求角∠BCD位于两条平行线之间的拐点C处，直接无法用平行线性质计算，因此需要过拐点C作AB的平行线，根据平行公理的推论，这条辅助线也和ED平行，即可将∠BCD拆分为两个分别与AB、ED相关的同旁内角，再利用“两直线平行，同旁内角互补”分别计算两个拆分角的度数，相加即可得到∠BCD的度数。
【解析】
过点C作CF//AB，
∵AB//ED，CF//AB，
∴CF//ED（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵AB//CF，
∴∠ABC + ∠BCF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠ABC=115°，
∴∠BCF = 180° - 115° = 65°。
∵CF//ED，
∴∠EDC + ∠DCF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠EDC=135°，
∴∠DCF = 180° - 135° = 45°。
∴∠BCD = ∠BCF + ∠DCF = 65° + 45° = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
平行线的性质，平行公理的推论，角度和差计算
【点评】
本题是平行线拐点问题的典型考法，解题核心是过拐点作已知平行线的辅助线构造同旁内角，将未知角转化为可利用已知条件计算的角，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
这是平行线背景下的角度计算问题，属于常见的“拐点”类题型。解题思路如下：已知AB//ED，待求角∠BCD位于两条平行线之间的拐点C处，直接无法用平行线性质计算，因此需要过拐点C作AB的平行线，根据平行公理的推论，这条辅助线也和ED平行，即可将∠BCD拆分为两个分别与AB、ED相关的同旁内角，再利用“两直线平行，同旁内角互补”分别计算两个拆分角的度数，相加即可得到∠BCD的度数。
【解析】
过点C作CF//AB，
∵AB//ED，CF//AB，
∴CF//ED（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵AB//CF，
∴∠ABC + ∠BCF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠ABC=115°，
∴∠BCF = 180° - 115° = 65°。
∵CF//ED，
∴∠EDC + ∠DCF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠EDC=135°，
∴∠DCF = 180° - 135° = 45°。
∴∠BCD = ∠BCF + ∠DCF = 65° + 45° = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
平行线的性质，平行公理的推论，角度和差计算
【点评】
本题是平行线拐点问题的典型考法，解题核心是过拐点作已知平行线的辅助线构造同旁内角，将未知角转化为可利用已知条件计算的角，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
三、用心做一做，显显自己的能力！（解答应写出具体步骤）
13. 如图，在三角形DBF中，$DE ⊥ BF$，且DE平分$∠ BDF$，点A是线段BD延长线上的一点，点C在线段EF上，连接AC交DF于点M，$∠ A=\frac{1}{2}∠ BDF$。
求证：$AC ⊥ BF$。
请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据。
证明：∵ DE平分$∠ BDF$，
∴ $∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BDF$(①______).
∵ $∠ A=\frac{1}{2}∠ BDF$，
∴ $∠ A=$②______（③______）.
∴ $AC//$④______（⑤______）.
∴ $∠ ACB=∠ DEB$(⑥______).
∵ $DE ⊥ BF$，
∴ $∠ DEB=90°$(⑦______).
∴ $∠ ACB=$⑧______.
∴ $AC ⊥ BF$.
13. 如图，在三角形DBF中，$DE ⊥ BF$，且DE平分$∠ BDF$，点A是线段BD延长线上的一点，点C在线段EF上，连接AC交DF于点M，$∠ A=\frac{1}{2}∠ BDF$。
求证：$AC ⊥ BF$。
请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据。
证明：∵ DE平分$∠ BDF$，
∴ $∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BDF$(①______).
∵ $∠ A=\frac{1}{2}∠ BDF$，
∴ $∠ A=$②______（③______）.
∴ $AC//$④______（⑤______）.
∴ $∠ ACB=∠ DEB$(⑥______).
∵ $DE ⊥ BF$，
∴ $∠ DEB=90°$(⑦______).
∴ $∠ ACB=$⑧______.
∴ $AC ⊥ BF$.
答案
①角平分线的定义 ②∠BDE ③等量代换 ④DE ⑤同位角相等,两直线平行 ⑥两直线平行,同位角相等 ⑦垂直的定义 ⑧90°
解析
【分析】
这是一道几何证明补全题，解题时需结合已知条件，依次调用相关几何定义、定理推导：首先根据角平分线的定义得到角的倍分关系，再结合已知∠A和∠BDF的倍分关系，通过等量代换得到相等的同位角，进而判定两条直线平行，再利用平行线的性质得到对应角相等，最后结合垂直的定义完成证明，每一步匹配对应的推理依据即可。
【解析】
我们按证明流程逐步推导：
1. 已知DE平分∠BDF，根据角平分线的定义，可得出$∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BDF$，因此①为角平分线的定义；
2. 已知$∠ A=\frac{1}{2}∠ BDF$，对比上一步结论，可得$∠ A=∠ BDE$，该结论通过等量代换得到，因此②为$∠ BDE$，③为等量代换；
3. $∠ A$和$∠ BDE$是直线AC、DE被直线AB所截形成的同位角，同位角相等可推出两直线平行，即$AC// DE$，因此④为DE，⑤为同位角相等，两直线平行；
4. 两直线平行，同位角相等，因此$∠ ACB$和$∠ DEB$这组同位角相等，故⑥为两直线平行，同位角相等；
5. 已知$DE⊥ BF$，根据垂直的定义可得$∠ DEB=90°$，因此⑦为垂直的定义；
6. 结合上一步结论，通过等量代换得$∠ ACB=90°$，因此⑧为$90°$，最终可推出$AC⊥ BF$。
【答案】
①角平分线的定义 ②∠BDE ③等量代换 ④DE ⑤同位角相等,两直线平行 ⑥两直线平行,同位角相等 ⑦垂直的定义 ⑧90°
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题是几何推理的基础题型，重点考查对基础几何定义、定理的理解和应用，解题时需要理清角之间的数量关系和位置关系，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是一道几何证明补全题，解题时需结合已知条件，依次调用相关几何定义、定理推导：首先根据角平分线的定义得到角的倍分关系，再结合已知∠A和∠BDF的倍分关系，通过等量代换得到相等的同位角，进而判定两条直线平行，再利用平行线的性质得到对应角相等，最后结合垂直的定义完成证明，每一步匹配对应的推理依据即可。
【解析】
我们按证明流程逐步推导：
1. 已知DE平分∠BDF，根据角平分线的定义，可得出$∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BDF$，因此①为角平分线的定义；
2. 已知$∠ A=\frac{1}{2}∠ BDF$，对比上一步结论，可得$∠ A=∠ BDE$，该结论通过等量代换得到，因此②为$∠ BDE$，③为等量代换；
3. $∠ A$和$∠ BDE$是直线AC、DE被直线AB所截形成的同位角，同位角相等可推出两直线平行，即$AC// DE$，因此④为DE，⑤为同位角相等，两直线平行；
4. 两直线平行，同位角相等，因此$∠ ACB$和$∠ DEB$这组同位角相等，故⑥为两直线平行，同位角相等；
5. 已知$DE⊥ BF$，根据垂直的定义可得$∠ DEB=90°$，因此⑦为垂直的定义；
6. 结合上一步结论，通过等量代换得$∠ ACB=90°$，因此⑧为$90°$，最终可推出$AC⊥ BF$。
【答案】
①角平分线的定义 ②∠BDE ③等量代换 ④DE ⑤同位角相等,两直线平行 ⑥两直线平行,同位角相等 ⑦垂直的定义 ⑧90°
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题是几何推理的基础题型，重点考查对基础几何定义、定理的理解和应用，解题时需要理清角之间的数量关系和位置关系，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
