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18. 如图1,在平面直角坐标系中,直线$y=2x+4$与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A,B$.经过点$C(4,0)$的直线与$y$轴相交于点$D$,与直线$AB$相交于点$E$,且$B$为$OD$的中点.
(1)求直线$CD$的解析式.
(2)如图2,纵坐标为$m$的点$M$在线段$AE$上(不与点$A,E$重合),过点$M$作$x$轴的平行线交$CD$于点$N$.
①设$MN$的长为$w$,求$w$关于$m$的函数解析式;
②在$x$轴上是否存在一点$P$,使得$△ PMN$为等腰直角三角形?若存在,求出符合条件的点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求直线$CD$的解析式.
(2)如图2,纵坐标为$m$的点$M$在线段$AE$上(不与点$A,E$重合),过点$M$作$x$轴的平行线交$CD$于点$N$.
①设$MN$的长为$w$,求$w$关于$m$的函数解析式;
②在$x$轴上是否存在一点$P$,使得$△ PMN$为等腰直角三角形?若存在,求出符合条件的点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
18.(1)直线CD的解析式为$y=-2x+8$.
(2)①
∵纵坐标为$m$的点M在线段AE上,
∴点M,N的坐标分别为$(\frac{m-4}{2},m)$,$(\frac{8-m}{2},m)$.联立直线AB和CD的表达式,得$2x+4=-2x+8$,解得$x=1$,
∴$E(1,6)$.
∴$w=(\frac{8-m}{2})-(\frac{m-4}{2})=-m+6(0＜m＜6)$.
②存在,理由如下:当$∠NMP$为直角时,$MN=MP=m$,即$-m+6=m$,解得$m=3$.
∴$M(-\frac{1}{2},3)$.
∴$P(-\frac{1}{2},0)$.
当$∠MNP$为直角时,同理可得$N(\frac{5}{2},3)$.
∴$P(\frac{5}{2},0)$.
当$∠MPN$为直角时,
∵点P在MN的中垂线上,且$MN// x$轴,
∴斜边MN的中线垂直于x轴.由直角三角形的中线定理,得$m=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}(-m+6)$,解得$m=2$.
∴点M,N的坐标分别为$(-1,2)$,$(3,2)$.
∴$P(1,0)$.
综上所述,点P的坐标为$(-\frac{1}{2},0)$或$(\frac{5}{2},0)$或$(1,0)$.
(2)①
∵纵坐标为$m$的点M在线段AE上,
∴点M,N的坐标分别为$(\frac{m-4}{2},m)$,$(\frac{8-m}{2},m)$.联立直线AB和CD的表达式,得$2x+4=-2x+8$,解得$x=1$,
∴$E(1,6)$.
∴$w=(\frac{8-m}{2})-(\frac{m-4}{2})=-m+6(0＜m＜6)$.
②存在,理由如下:当$∠NMP$为直角时,$MN=MP=m$,即$-m+6=m$,解得$m=3$.
∴$M(-\frac{1}{2},3)$.
∴$P(-\frac{1}{2},0)$.
当$∠MNP$为直角时,同理可得$N(\frac{5}{2},3)$.
∴$P(\frac{5}{2},0)$.
当$∠MPN$为直角时,
∵点P在MN的中垂线上,且$MN// x$轴,
∴斜边MN的中线垂直于x轴.由直角三角形的中线定理,得$m=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}(-m+6)$,解得$m=2$.
∴点M,N的坐标分别为$(-1,2)$,$(3,2)$.
∴$P(1,0)$.
综上所述,点P的坐标为$(-\frac{1}{2},0)$或$(\frac{5}{2},0)$或$(1,0)$.
解析
【分析】
(1) 求直线CD的解析式需要两个点的坐标，已知C点坐标，先通过直线AB解析式求出B点坐标，再利用B是OD中点得到D点坐标，最后用待定系数法即可求解。
(2) ① 点M、N纵坐标均为m，分别代入AB、CD的解析式，即可用含m的式子表示两点的横坐标，MN为平行于x轴的线段，长度等于两点横坐标的差；先求出交点E的坐标确定m的取值范围，就能得到w关于m的函数解析式。
② △PMN为等腰直角三角形需分三类讨论：直角顶点在M处、直角顶点在N处、直角顶点在P处，结合等腰直角三角形的边的性质列方程求解m，再推导对应P点坐标即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=2x+4$，令$x=0$得$y=4$，即$B(0,4)$。
∵B为OD中点，
∴$OD=2OB=8$，D在y轴正半轴，故$D(0,8)$。
设直线CD解析式为$y=kx+b$，将$C(4,0)$、$D(0,8)$代入得：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=8\end{cases}$
(2) ① 点M在AB上，纵坐标为m，令$2x+4=m$，得$x=\frac{m-4}{2}$，即$M(\frac{m-4}{2},m)$；
点N在CD上，纵坐标为m，令$-2x+8=m$，得$x=\frac{8-m}{2}$，即$N(\frac{8-m}{2},m)$。
联立AB、CD解析式$\begin{cases}y=2x+4\\y=-2x+8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}$，即$E(1,6)$。
∵M在线段AE上且不与A、E重合，A点坐标为$(-2,0)$，故$0＜m＜6$。
$w=\frac{8-m}{2}-\frac{m-4}{2}=-m+6$，即$w=-m+6(0＜m＜6)$。
② 存在，分三种情况讨论：
当$∠NMP=90°$时，$MN=MP=m$，即$-m+6=m$，解得$m=3$，此时$M(-\frac{1}{2},3)$，故$P(-\frac{1}{2},0)$；
当$∠MNP=90°$时，$MN=NP=m$，同理得$m=3$，此时$N(\frac{5}{2},3)$，故$P(\frac{5}{2},0)$；
当$∠MPN=90°$时，P在MN的中垂线上，且$m=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}(-m+6)$，解得$m=2$，此时$M(-1,2)$，$N(3,2)$，故$P(1,0)$。
【答案】
(1) 直线CD的解析式为$y=-2x+8$
(2) ① $w=-m+6(0＜m＜6)$；② 存在，点P的坐标为$(-\frac{1}{2},0)$或$(\frac{5}{2},0)$或$(1,0)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数动点问题，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，重点考察分类讨论思想和数形结合思想的应用，解题时需注意对等腰直角三角形直角顶点的分类，避免漏解，同时要关注动点的取值范围，保证结果符合题意。
【难度系数】
0.6
(1) 求直线CD的解析式需要两个点的坐标，已知C点坐标，先通过直线AB解析式求出B点坐标，再利用B是OD中点得到D点坐标，最后用待定系数法即可求解。
(2) ① 点M、N纵坐标均为m，分别代入AB、CD的解析式，即可用含m的式子表示两点的横坐标，MN为平行于x轴的线段，长度等于两点横坐标的差；先求出交点E的坐标确定m的取值范围，就能得到w关于m的函数解析式。
② △PMN为等腰直角三角形需分三类讨论：直角顶点在M处、直角顶点在N处、直角顶点在P处，结合等腰直角三角形的边的性质列方程求解m，再推导对应P点坐标即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=2x+4$，令$x=0$得$y=4$，即$B(0,4)$。
∵B为OD中点，
∴$OD=2OB=8$，D在y轴正半轴，故$D(0,8)$。
设直线CD解析式为$y=kx+b$，将$C(4,0)$、$D(0,8)$代入得：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=8\end{cases}$
(2) ① 点M在AB上，纵坐标为m，令$2x+4=m$，得$x=\frac{m-4}{2}$，即$M(\frac{m-4}{2},m)$；
点N在CD上，纵坐标为m，令$-2x+8=m$，得$x=\frac{8-m}{2}$，即$N(\frac{8-m}{2},m)$。
联立AB、CD解析式$\begin{cases}y=2x+4\\y=-2x+8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}$，即$E(1,6)$。
∵M在线段AE上且不与A、E重合，A点坐标为$(-2,0)$，故$0＜m＜6$。
$w=\frac{8-m}{2}-\frac{m-4}{2}=-m+6$，即$w=-m+6(0＜m＜6)$。
② 存在，分三种情况讨论：
当$∠NMP=90°$时，$MN=MP=m$，即$-m+6=m$，解得$m=3$，此时$M(-\frac{1}{2},3)$，故$P(-\frac{1}{2},0)$；
当$∠MNP=90°$时，$MN=NP=m$，同理得$m=3$，此时$N(\frac{5}{2},3)$，故$P(\frac{5}{2},0)$；
当$∠MPN=90°$时，P在MN的中垂线上，且$m=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}(-m+6)$，解得$m=2$，此时$M(-1,2)$，$N(3,2)$，故$P(1,0)$。
【答案】
(1) 直线CD的解析式为$y=-2x+8$
(2) ① $w=-m+6(0＜m＜6)$；② 存在，点P的坐标为$(-\frac{1}{2},0)$或$(\frac{5}{2},0)$或$(1,0)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数动点问题，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，重点考察分类讨论思想和数形结合思想的应用，解题时需注意对等腰直角三角形直角顶点的分类，避免漏解，同时要关注动点的取值范围，保证结果符合题意。
【难度系数】
0.6
