16.如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(6,0),B(0,2),P$是直线$y=-x-1$上一点,$∠ABP=45°$,求点$P$的坐标.

16.点P的坐标为$(3,-4)$.提示:过点A作$AC⊥AB$交射线BP于点C,作$CD⊥OA$于点D.先可求点C的坐标为$(4,-6)$,再求得直线BC的函数解析式为$y=-2x+2$.再根据方程组$\begin{cases}y=-2x+2,\\y=-x+1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3,\\y=-4.\end{cases}$
∴点P的坐标为$(3,-4)$.

【分析】
遇到坐标系中含45°角的问题，可通过构造等腰直角三角形转化条件。本题先过点A作AB的垂线交射线BP于点C，得到等腰Rt△ABC，再通过作x轴的垂线证明三角形全等，求出点C的坐标；接着利用B、C两点坐标求出直线BP的函数解析式，最后联立直线BP和已知直线$y=-x-1$的解析式，解方程组即可得到点P的坐标。
【解析】
解：过点A作$AC⊥AB$交射线BP于点C，过点C作$CD⊥x$轴于点D。
$\because AC⊥AB$，$\therefore ∠BAC=90°$，
又$\because ∠ABP=45°$，$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，$AB=AC$。
$\because ∠AOB=∠BAC=90°$，
$\therefore ∠ABO + ∠OAB = 90°$，$∠CAD + ∠OAB = 90°$，
$\therefore ∠ABO = ∠CAD$。
在$△ AOB$和$△ CDA$中：
$\begin{cases}∠AOB=∠CDA=90° \\∠ABO=∠CAD \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ CDA$（AAS）。
已知$A(6,0)$，$B(0,2)$，则$OA=6$，$OB=2$，
由全等可得：$AD=OB=2$，$CD=OA=6$，
$\therefore OD=OA - AD=6-2=4$，
$\because$ 点C在第四象限，$\therefore C$的坐标为$(4,-6)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$B(0,2)$、$C(4,-6)$代入解析式：
$\begin{cases}b=2 \\4k + b = -6\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-2 \\b=2\end{cases}$
$\therefore$ 直线BC的解析式为$y=-2x+2$。
$\because$ 点P是直线BC与直线$y=-x-1$的交点，联立解析式：
$\begin{cases}y=-2x+2 \\y=-x-1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=3 \\y=-4\end{cases}$
【答案】
$(3,-4)$
【知识点】
全等三角形判定与性质，一次函数解析式求解，一次函数交点计算
【点评】
本题将几何角度条件与一次函数知识结合，解题关键是利用45°角构造等腰直角三角形和全等三角形，将角度条件转化为线段长度关系求出未知点坐标，再通过代数运算求交点，很好地考查了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.3

17. 为保障师生健康，某校定期对教室以喷洒药物的方式进行消毒. 在消毒过程中，封闭教室内空气中的含药量$y(\mathrm{mg/m}^3)$与药物在空气中的持续时间$x(\mathrm{min})$的函数关系如图所示.
(1)①药物喷洒后空气中的含药量$y$关于药物在空气中的持续时间$x$的函数表达式为________；
②空气中的含药量首次达到$7.5\ \mathrm{mg/m}^3$时，已经喷洒了多长时间？
(2)如果室内空气中的含药量不低于$5\ \mathrm{mg/m}^3$且持续时间不少于$20\ \mathrm{min}$，才能达到有效消毒的效果，试说明此次消毒是否有效.
(3)若后续药物挥发的速率不变，则喷洒药物后经过多长时间，空气中无药物残留？

17.(1)①$y=\begin{cases}2x(0≤ x≤5),\\-0.2x+11(x＞5).\end{cases}$
②当$y=7.5$时,$2x=7.5$,解得$x=3.75$,
∴当空气中的含药量首次达到$7.5\ \mathrm{mg/m}^3$时,已经喷洒药物$3.75\ \mathrm{min}$了.
(2)当$0≤ x≤5$时,令$y=5$,$2x=5$,解得$x=2.5$;当$x＞5$时,令$y=5$,$-0.2x+11=5$,解得$x=30$.所以空气中药物含量不低于$5\ \mathrm{mg/m}^3$持续的时间为$30-2.5=27.5(\mathrm{min})$.因为$27.5\ \mathrm{min}＞20\ \mathrm{min}$,所以此次消毒有效.
(3)当$y=0$时,$-0.2x+11=0$,解得$x=55$.故喷洒药物$55\ \mathrm{min}$后,空气中无药物残留.

【分析】
本题是一次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图像可知，含药量的变化分两个阶段：①0≤x≤5时，含药量随时间上升，是正比例函数，可利用待定系数法代入点(5,10)求解析式；②x＞5时，含药量随时间下降，是一次函数，代入(5,10)和(15,8)即可求解析式。然后根据各小问的要求，将对应的函数值代入对应阶段的解析式，求解自变量即可：求首次达到7.5mg/m³的时间，属于上升阶段，代入正比例函数计算；判断消毒是否有效，需要分别求出两段中y=5对应的x值，计算两个x的差值得到持续时间，再和20min比较；求无残留的时间，即令下降段函数y=0，求解x即可。
【解析】
(1)①分两段求函数解析式：
当$0≤ x≤5$时，设$y=kx$，将点$(5,10)$代入得：$10=5k$，解得$k=2$，故$y=2x$；
当$x＞5$时，设$y=ax+b$，将$(5,10)$、$(15,8)$代入得方程组：
$\begin{cases}5a+b=10\\15a+b=8\end{cases}$，两式相减得$10a=-2$，解得$a=-0.2$，代入$5a+b=10$得$b=11$，故$y=-0.2x+11$。
综上，函数表达式为$\boldsymbol{y=\begin{cases}2x(0≤ x≤5)\\-0.2x+11(x＞5)\end{cases}}$。
②首次达到$7.5\ \mathrm{mg/m^3}$属于上升阶段，代入$y=2x$：
令$y=7.5$，得$2x=7.5$，解得$x=3.75$。
(2)分别求两段中$y=5$对应的$x$值：
当$0≤ x≤5$时，令$2x=5$，解得$x=2.5$；
当$x＞5$时，令$-0.2x+11=5$，解得$x=30$。
含药量不低于$5\ \mathrm{mg/m^3}$的持续时间为$30-2.5=27.5(\mathrm{min})$，$27.5＞20$，故此次消毒有效。
(3)无药物残留即$y=0$，代入下降段解析式：
令$-0.2x+11=0$，解得$x=55$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=\begin{cases}2x(0≤ x≤5)\\-0.2x+11(x＞5)\end{cases}}$；②已经喷洒了$\boldsymbol{3.75\ \mathrm{min}}$；
(2)此次消毒有效；
(3)喷洒药物后经过$\boldsymbol{55\ \mathrm{min}}$，空气中无药物残留。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，分段函数应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的消毒场景命题，考查学生的读图能力和应用一次函数解决实际问题的能力，解题核心是根据图像分段确定函数解析式，再结合需求代入函数值或自变量求解，解题时要注意不同分段的自变量取值范围，避免代入错误。
【难度系数】
0.7