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三、用心做一做,显显自己的能力!(解答应写出具体步骤)
13. 已知一次函数 $y=(1-2m)x+m-1$($m$ 为常数,且 $m≠\frac{1}{2}$).
(1)若函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,求 $m$ 的取值范围;
(2)若函数的图象经过第二、三、四象限,求 $m$ 的取值范围.
13. 已知一次函数 $y=(1-2m)x+m-1$($m$ 为常数,且 $m≠\frac{1}{2}$).
(1)若函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,求 $m$ 的取值范围;
(2)若函数的图象经过第二、三、四象限,求 $m$ 的取值范围.
答案
13.(1)$m＜\frac{1}{2}$
(2)$\frac{1}{2}＜m＜1$
(2)$\frac{1}{2}＜m＜1$
解析
【分析】
本题考查一次函数的图象与性质，解题思路如下：首先明确一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$）中，$k$决定函数的增减性，$k$和$b$共同决定图象经过的象限。第(1)问中，$y$随$x$增大而增大对应$k＞0$，据此列不等式求解即可；第(2)问中，图象经过第二、三、四象限对应$k＜0$且$b＜0$，列不等式组求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$），当$k＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大。
本题中一次项系数$k=1-2m$，根据题意列不等式：
$1-2m＞0$
移项得：$-2m＞-1$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：
$m＜\frac{1}{2}$
(2) 对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$），若图象经过第二、三、四象限，则满足$k＜0$且$b＜0$。
本题中$k=1-2m$，常数项$b=m-1$，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}1-2m＜0 \\ m-1＜0 \end{cases}$
解第一个不等式：$1-2m＜0$，移项得$-2m＜-1$，解得$m＞\frac{1}{2}$
解第二个不等式：$m-1＜0$，解得$m＜1$
综上，不等式组的解集为$\frac{1}{2}＜m＜1$
【答案】
(1) $m＜\frac{1}{2}$
(2) $\frac{1}{2}＜m＜1$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式（组）
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考点是一次函数中$k$、$b$的取值对函数增减性、图象经过象限的影响，解题时只需根据题干条件对应列不等式（组）求解即可，属于常考基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的图象与性质，解题思路如下：首先明确一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$）中，$k$决定函数的增减性，$k$和$b$共同决定图象经过的象限。第(1)问中，$y$随$x$增大而增大对应$k＞0$，据此列不等式求解即可；第(2)问中，图象经过第二、三、四象限对应$k＜0$且$b＜0$，列不等式组求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$），当$k＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大。
本题中一次项系数$k=1-2m$，根据题意列不等式：
$1-2m＞0$
移项得：$-2m＞-1$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：
$m＜\frac{1}{2}$
(2) 对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$），若图象经过第二、三、四象限，则满足$k＜0$且$b＜0$。
本题中$k=1-2m$，常数项$b=m-1$，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}1-2m＜0 \\ m-1＜0 \end{cases}$
解第一个不等式：$1-2m＜0$，移项得$-2m＜-1$，解得$m＞\frac{1}{2}$
解第二个不等式：$m-1＜0$，解得$m＜1$
综上，不等式组的解集为$\frac{1}{2}＜m＜1$
【答案】
(1) $m＜\frac{1}{2}$
(2) $\frac{1}{2}＜m＜1$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式（组）
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考点是一次函数中$k$、$b$的取值对函数增减性、图象经过象限的影响，解题时只需根据题干条件对应列不等式（组）求解即可，属于常考基础题。
【难度系数】
0.8
14. 已知函数$y=(m-5)x^{m^2 - 24} + n - 4.$
(1)若它是一次函数,求$m$的值;
(2)若它是正比例函数,求$(m+n)^3$的值.
(1)若它是一次函数,求$m$的值;
(2)若它是正比例函数,求$(m+n)^3$的值.
答案
14.(1)$m=-5$
(2)$-1$
(2)$-1$
解析
【分析】
要解决这道题，需紧扣一次函数和正比例函数的定义列条件求解：
(1) 一次函数的定义是形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数，因此需要满足两个条件：$x$的次数为1，且$x$的系数不为0，据此列方程和不等式即可求出$m$的值；
(2) 正比例函数是特殊的一次函数，除了满足一次函数的所有条件外，还需要常数项为0，据此求出$n$的值后，再代入计算$(m+n)^3$即可。
【解析】
(1) 若函数是一次函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 24 = 1 \\m - 5 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程：$m^2 = 25$，得$m = 5$或$m = -5$
由第二个不等式得$m ≠ 5$
综上，$m = -5$
(2) 若函数是正比例函数，除满足一次函数的条件外，还需满足常数项为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 24 = 1 \\m - 5 ≠ 0 \\n - 4 = 0\end{cases}$
由(1)已得$m = -5$，解第三个等式得$n = 4$
则$m + n = -5 + 4 = -1$，因此$(m + n)^3 = (-1)^3 = -1$
【答案】
(1) $m=-5$；(2) $-1$
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义；代数式求值
【点评】
本题核心是对一次函数和正比例函数定义的应用，易错点是求解时容易忽略一次项系数不为0的限制条件，导致多解错误，牢记函数定义的限制条件即可准确解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需紧扣一次函数和正比例函数的定义列条件求解：
(1) 一次函数的定义是形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数，因此需要满足两个条件：$x$的次数为1，且$x$的系数不为0，据此列方程和不等式即可求出$m$的值；
(2) 正比例函数是特殊的一次函数，除了满足一次函数的所有条件外，还需要常数项为0，据此求出$n$的值后，再代入计算$(m+n)^3$即可。
【解析】
(1) 若函数是一次函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 24 = 1 \\m - 5 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程：$m^2 = 25$，得$m = 5$或$m = -5$
由第二个不等式得$m ≠ 5$
综上，$m = -5$
(2) 若函数是正比例函数，除满足一次函数的条件外，还需满足常数项为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 24 = 1 \\m - 5 ≠ 0 \\n - 4 = 0\end{cases}$
由(1)已得$m = -5$，解第三个等式得$n = 4$
则$m + n = -5 + 4 = -1$，因此$(m + n)^3 = (-1)^3 = -1$
【答案】
(1) $m=-5$；(2) $-1$
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义；代数式求值
【点评】
本题核心是对一次函数和正比例函数定义的应用，易错点是求解时容易忽略一次项系数不为0的限制条件，导致多解错误，牢记函数定义的限制条件即可准确解题。
【难度系数】
0.7
15.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=-x+b$的图象与正比例函数$y=2x$的图象交于点$A(a,4)$.
(1)求$a,b$的值;
(2)设一次函数$y=-x+b$的图象与$x$轴交于点$B$,求$△ AOB$的面积;
(3)直接写出不等式$-x+b＜2x$的解集.
(1)求$a,b$的值;
(2)设一次函数$y=-x+b$的图象与$x$轴交于点$B$,求$△ AOB$的面积;
(3)直接写出不等式$-x+b＜2x$的解集.
答案
15.(1)$a=2,b=6$
(2)$S_{△ AOB}=12$
(3)$x＞2$
(2)$S_{△ AOB}=12$
(3)$x＞2$
解析
【分析】
(1) 求a、b的值时，先利用点A在正比例函数图象上的特征，将A点坐标代入正比例函数解析式求出a，得到A点完整坐标后再代入一次函数解析式即可求出b；
(2) 求△AOB的面积，先求出一次函数与x轴交点B的坐标，得到OB的长度，再以OB为底，点A的纵坐标为高，代入三角形面积公式计算即可；
(3) 不等式$-x+b＜2x$的解集对应一次函数图象在正比例函数图象下方时x的取值范围，结合两函数交点的横坐标即可直接得出结果。
【解析】
(1)
∵点$A(a,4)$在正比例函数$y=2x$的图象上，
∴将$x=a$，$y=4$代入$y=2x$，得$4=2a$，解得$a=2$，
∴点A的坐标为$(2,4)$，
又
∵点A在一次函数$y=-x+b$的图象上，
将$x=2$，$y=4$代入$y=-x+b$，得$4=-2+b$，解得$b=6$；
(2) 由(1)得一次函数解析式为$y=-x+6$，
令$y=0$，得$0=-x+6$，解得$x=6$，
∴点B的坐标为$(6,0)$，即$OB=6$，
△AOB中OB边上的高为点A的纵坐标4，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OB × 高=\frac{1}{2} × 6 × 4=12$；
(3) 观察图象可知，当$x＞2$时，一次函数$y=-x+6$的图象在正比例函数$y=2x$图象的下方，对应$-x+b＜2x$，故不等式的解集为$x＞2$。
【答案】
(1) $a=2,b=6$
(2) $S_{△ AOB}=12$
(3) $x＞2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与不等式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，结合了代数计算与数形结合思想，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了利用函数图象解不等式的思路，属于一次函数章节的常规考题。
【难度系数】
0.7
(1) 求a、b的值时，先利用点A在正比例函数图象上的特征，将A点坐标代入正比例函数解析式求出a，得到A点完整坐标后再代入一次函数解析式即可求出b；
(2) 求△AOB的面积，先求出一次函数与x轴交点B的坐标，得到OB的长度，再以OB为底，点A的纵坐标为高，代入三角形面积公式计算即可；
(3) 不等式$-x+b＜2x$的解集对应一次函数图象在正比例函数图象下方时x的取值范围，结合两函数交点的横坐标即可直接得出结果。
【解析】
(1)
∵点$A(a,4)$在正比例函数$y=2x$的图象上，
∴将$x=a$，$y=4$代入$y=2x$，得$4=2a$，解得$a=2$，
∴点A的坐标为$(2,4)$，
又
∵点A在一次函数$y=-x+b$的图象上，
将$x=2$，$y=4$代入$y=-x+b$，得$4=-2+b$，解得$b=6$；
(2) 由(1)得一次函数解析式为$y=-x+6$，
令$y=0$，得$0=-x+6$，解得$x=6$，
∴点B的坐标为$(6,0)$，即$OB=6$，
△AOB中OB边上的高为点A的纵坐标4，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OB × 高=\frac{1}{2} × 6 × 4=12$；
(3) 观察图象可知，当$x＞2$时，一次函数$y=-x+6$的图象在正比例函数$y=2x$图象的下方，对应$-x+b＜2x$，故不等式的解集为$x＞2$。
【答案】
(1) $a=2,b=6$
(2) $S_{△ AOB}=12$
(3) $x＞2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与不等式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，结合了代数计算与数形结合思想，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了利用函数图象解不等式的思路，属于一次函数章节的常规考题。
【难度系数】
0.7
