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6. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC=13$,把$△ ABC$放在平面直角坐标系$xOy$中,且点$A,B$的坐标分别为$(2,0)$,$(12,0)$,将$△ ABC$沿$x$轴向左平移,当点$C$落在直线$y=-x+8$上时,线段$AC$扫过的面积为 （
A.66
B.108
C.132
D.162
C
）A.66
B.108
C.132
D.162
答案
6.C
解析
【分析】
解题可分三步思考：①先求点C的坐标：已知AC=BC，△ABC是等腰三角形，AB在x轴上，先求AB中点得到C的横坐标，再用勾股定理计算C的纵坐标；②再求平移距离：沿x轴平移时点的纵坐标不变，将C的纵坐标代入直线解析式，求出平移后C的横坐标，即可算出平移的单位长度；③最后计算扫过的面积：线段AC平移扫过的图形是平行四边形，底为平移距离，高为C点的纵坐标，用底乘高即可得结果。
【解析】
1. 求点C的坐标
已知A$(2,0)$，B$(12,0)$，则$AB=12-2=10$，AB中点的横坐标为$\frac{2+12}{2}=7$。
因为$AC=BC=13$，△ABC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一可知，点C在AB的垂直平分线上，即C的横坐标为7。
过C作$CD⊥AB$于D，则$AD=5$，在$Rt△ACD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，即点C坐标为$(7,12)$。
2. 求平移距离
△ABC沿x轴向左平移时，点C纵坐标不变，始终为12。将$y=12$代入$y=-x+8$得：
$12=-x+8$，解得$x=-4$，即平移后C点坐标为$(-4,12)$。
平移距离为$7-(-4)=11$个单位长度。
3. 计算扫过的面积
线段AC扫过的图形为平行四边形，底为平移距离11，高为C点纵坐标12，面积为：
$11×12=132$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，一次函数的性质，平移的性质
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、一次函数和平移的相关知识，解题核心是掌握平移过程中点的坐标变化规律，准确求出平移距离后结合平行四边形面积公式计算即可。
【难度系数】
0.6
解题可分三步思考：①先求点C的坐标：已知AC=BC，△ABC是等腰三角形，AB在x轴上，先求AB中点得到C的横坐标，再用勾股定理计算C的纵坐标；②再求平移距离：沿x轴平移时点的纵坐标不变，将C的纵坐标代入直线解析式，求出平移后C的横坐标，即可算出平移的单位长度；③最后计算扫过的面积：线段AC平移扫过的图形是平行四边形，底为平移距离，高为C点的纵坐标，用底乘高即可得结果。
【解析】
1. 求点C的坐标
已知A$(2,0)$，B$(12,0)$，则$AB=12-2=10$，AB中点的横坐标为$\frac{2+12}{2}=7$。
因为$AC=BC=13$，△ABC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一可知，点C在AB的垂直平分线上，即C的横坐标为7。
过C作$CD⊥AB$于D，则$AD=5$，在$Rt△ACD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，即点C坐标为$(7,12)$。
2. 求平移距离
△ABC沿x轴向左平移时，点C纵坐标不变，始终为12。将$y=12$代入$y=-x+8$得：
$12=-x+8$，解得$x=-4$，即平移后C点坐标为$(-4,12)$。
平移距离为$7-(-4)=11$个单位长度。
3. 计算扫过的面积
线段AC扫过的图形为平行四边形，底为平移距离11，高为C点纵坐标12，面积为：
$11×12=132$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，一次函数的性质，平移的性质
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、一次函数和平移的相关知识，解题核心是掌握平移过程中点的坐标变化规律，准确求出平移距离后结合平行四边形面积公式计算即可。
【难度系数】
0.6
二、细心填一填,试试自己的身手!(请将答案填在对应题号的空位上)
7.直线$y=ax-b$如图所示,则关于$x$的方程$ax-b=1$的解是
7.直线$y=ax-b$如图所示,则关于$x$的方程$ax-b=1$的解是
$x=4$
.答案
7.$x=4$
解析
【分析】
本题可根据一次函数与一元一次方程的关系求解。首先明确：方程$ax-b=1$的解，就是一次函数$y=ax-b$的函数值$y=1$时对应的自变量$x$的取值，接下来观察函数图象，找到$y=1$时对应的横坐标数值，就是该方程的解。
【解析】
关于$x$的方程$ax-b=1$的解，对应一次函数$y=ax-b$中函数值$y=1$时$x$的取值。
观察图象可得，当$y=1$时，对应的$x$的值为4，因此方程$ax-b=1$的解是$x=4$。
【答案】
$x=4$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的联系；一次函数图象的应用
【点评】
本题是一次函数与一元一次方程结合的基础题，解题核心是理解一元一次方程的解与对应一次函数图象上点的横坐标的对应关系，结合图象直接读取数值即可快速得到答案，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.8
本题可根据一次函数与一元一次方程的关系求解。首先明确：方程$ax-b=1$的解，就是一次函数$y=ax-b$的函数值$y=1$时对应的自变量$x$的取值，接下来观察函数图象，找到$y=1$时对应的横坐标数值，就是该方程的解。
【解析】
关于$x$的方程$ax-b=1$的解，对应一次函数$y=ax-b$中函数值$y=1$时$x$的取值。
观察图象可得，当$y=1$时，对应的$x$的值为4，因此方程$ax-b=1$的解是$x=4$。
【答案】
$x=4$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的联系；一次函数图象的应用
【点评】
本题是一次函数与一元一次方程结合的基础题，解题核心是理解一元一次方程的解与对应一次函数图象上点的横坐标的对应关系，结合图象直接读取数值即可快速得到答案，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.8
8. 点$A(a,y_1)$，$B(a+2,y_2)$是一次函数$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k≠0$）的图象上的两点，且$y_1 - y_2 = -6$，则$k$的值为________。
答案
8.3
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一次函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。我们可以先将A、B两点的坐标分别代入一次函数表达式，得到y₁、y₂的代数式，再结合已知条件y₁-y₂=-6，将两个代数式作差，此时参数a和b都会被消去，仅剩下关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点$A(a,y_1)$，$B(a+2,y_2)$在一次函数$y=kx+b$的图象上
∴将两点坐标分别代入解析式可得：
$y_1 = ka + b$ ①
$y_2 = k(a+2) + b$ ②
用①式减去②式得：
$y_1 - y_2 = ka + b - [k(a+2) + b]$
化简右侧式子：
$ka + b - ka - 2k - b = -2k$
结合已知$y_1 - y_2 = -6$，代入得：
$-2k = -6$
解得$k=3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征、代数式化简、解一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题核心是利用函数图象上的点满足函数解析式的性质，代入作差消去无关参数后即可求解，计算时注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确一次函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。我们可以先将A、B两点的坐标分别代入一次函数表达式，得到y₁、y₂的代数式，再结合已知条件y₁-y₂=-6，将两个代数式作差，此时参数a和b都会被消去，仅剩下关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点$A(a,y_1)$，$B(a+2,y_2)$在一次函数$y=kx+b$的图象上
∴将两点坐标分别代入解析式可得：
$y_1 = ka + b$ ①
$y_2 = k(a+2) + b$ ②
用①式减去②式得：
$y_1 - y_2 = ka + b - [k(a+2) + b]$
化简右侧式子：
$ka + b - ka - 2k - b = -2k$
结合已知$y_1 - y_2 = -6$，代入得：
$-2k = -6$
解得$k=3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征、代数式化简、解一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题核心是利用函数图象上的点满足函数解析式的性质，代入作差消去无关参数后即可求解，计算时注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
9. 已知一次函数$y_1=kx-2k$（$k$是常数）和$y_2=-x+1$.若无论$x$取何值，总有$y_1＞y_2$，则$k$的值是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
9.$-1$
解析
【分析】
解题可从两个符合八年级知识的思路切入：
1. 图像思路：两个一次函数的图像是直线，若无论x取何值$y_1$都大于$y_2$，说明两直线没有交点（平行），否则相交时交点处$y_1=y_2$，两侧大小关系相反不符合要求。两直线平行则一次项系数相等，求出k后验证即可。
2. 不等式思路：将$y_1＞y_2$代入表达式整理为含x的不等式，由于一次式的值随x变化，不可能恒正，只有x的系数为0且常数项为正时不等式恒成立，据此求k验证即可。
【解析】
解：由题意，无论x取何值都有$y_1＞y_2$，即$kx - 2k ＞ -x + 1$对任意x恒成立。
方法1（图像法）：
一次函数图像为直线，若$y_1$恒大于$y_2$，说明两直线平行无交点，
一次函数$y=ax+b$中，两直线平行则一次项系数相等，
$y_2=-x+1$的一次项系数为-1，因此$y_1$的一次项系数$k=-1$。
代入验证：$k=-1$时，$y_1=-x - 2×(-1) = -x + 2$，
显然对任意x，$-x+2 ＞ -x+1$恒成立，符合要求。
方法2（不等式法）：
将不等式$kx - 2k ＞ -x + 1$移项合并同类项，得：
$(k + 1)x ＞ 2k + 1$
若$k+1≠0$，左边是关于x的一次式，值随x变化，不可能对所有x都满足大于右边的要求，
因此只有$k+1=0$，即$k=-1$，
代入验证：左边=$0×x=0$，右边=$2×(-1)+1=-1$，$0 ＞ -1$恒成立，符合要求。
【答案】
$-1$
【知识点】
一次函数图像性质，不等式恒成立，两直线平行条件
【点评】
本题是一次函数与不等式的综合题，解题关键是准确理解“无论x取何值都成立”的含义，两种解题思路都紧扣“x的系数为0”这一核心条件，能有效考察对一次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题可从两个符合八年级知识的思路切入：
1. 图像思路：两个一次函数的图像是直线，若无论x取何值$y_1$都大于$y_2$，说明两直线没有交点（平行），否则相交时交点处$y_1=y_2$，两侧大小关系相反不符合要求。两直线平行则一次项系数相等，求出k后验证即可。
2. 不等式思路：将$y_1＞y_2$代入表达式整理为含x的不等式，由于一次式的值随x变化，不可能恒正，只有x的系数为0且常数项为正时不等式恒成立，据此求k验证即可。
【解析】
解：由题意，无论x取何值都有$y_1＞y_2$，即$kx - 2k ＞ -x + 1$对任意x恒成立。
方法1（图像法）：
一次函数图像为直线，若$y_1$恒大于$y_2$，说明两直线平行无交点，
一次函数$y=ax+b$中，两直线平行则一次项系数相等，
$y_2=-x+1$的一次项系数为-1，因此$y_1$的一次项系数$k=-1$。
代入验证：$k=-1$时，$y_1=-x - 2×(-1) = -x + 2$，
显然对任意x，$-x+2 ＞ -x+1$恒成立，符合要求。
方法2（不等式法）：
将不等式$kx - 2k ＞ -x + 1$移项合并同类项，得：
$(k + 1)x ＞ 2k + 1$
若$k+1≠0$，左边是关于x的一次式，值随x变化，不可能对所有x都满足大于右边的要求，
因此只有$k+1=0$，即$k=-1$，
代入验证：左边=$0×x=0$，右边=$2×(-1)+1=-1$，$0 ＞ -1$恒成立，符合要求。
【答案】
$-1$
【知识点】
一次函数图像性质，不等式恒成立，两直线平行条件
【点评】
本题是一次函数与不等式的综合题，解题关键是准确理解“无论x取何值都成立”的含义，两种解题思路都紧扣“x的系数为0”这一核心条件，能有效考察对一次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
10. 为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：每户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过 $16 \ \mathrm{m}^3$ 时，使用费为每立方米1.3元；超过 $16 \ \mathrm{m}^3$ 时，超过部分的使用费为每立方米2.0元. 污水处理费为每立方米1.2元. 设某户每月用水量为 $x \ \mathrm{m}^3$，应缴水费 $y$ 元，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为
$\underline{\hspace{5cm}}$.
$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
10.$y=\begin{cases}2.5x(0≤ x≤16),\\3.2x-11.2(x＞16)\end{cases}$
解析
【分析】
这是分段计费类的函数应用题，解题时需要根据用水量是否超过16m³分两种情况讨论：首先明确水费由使用费和污水处理费两部分组成，污水处理费统一为1.2元/m³，使用费分两档收费。第一步先判断x的取值范围，第二步分别对应不同的收费标准计算总水费，第三步整理得到函数表达式，同时注意标注自变量的取值范围。
【解析】
分两种情况计算应缴水费：
1. 当每月用水量$0≤ x≤16$时，使用费为1.3元/m³，污水处理费为1.2元/m³，每立方米总费用为$1.3+1.2=2.5$元，因此：
$y=(1.3+1.2)x=2.5x$
2. 当每月用水量$x＞16$时，前16m³按2.5元/m³收费，超过16m³的部分为$(x-16)$m³，这部分使用费为2.0元/m³，加污水处理费后每立方米费用为$2.0+1.2=3.2$元，因此：
$y=16×2.5 + 3.2(x-16)=40 + 3.2x - 51.2=3.2x -11.2$
综上可得y与x的函数表达式。
【答案】
$y=\begin{cases}2.5x(0≤ x≤16)\\3.2x-11.2(x＞16)\end{cases}$
【知识点】
分段函数，列函数解析式，实际问题的函数应用
【点评】
本题属于常见的生活类分段计费题型，解题核心是准确区分不同收费区间对应的计费标准，分情况计算后整理为分段函数，要注意不要遗漏自变量的取值范围，这是此类题目的易错点。
【难度系数】
0.7
这是分段计费类的函数应用题，解题时需要根据用水量是否超过16m³分两种情况讨论：首先明确水费由使用费和污水处理费两部分组成，污水处理费统一为1.2元/m³，使用费分两档收费。第一步先判断x的取值范围，第二步分别对应不同的收费标准计算总水费，第三步整理得到函数表达式，同时注意标注自变量的取值范围。
【解析】
分两种情况计算应缴水费：
1. 当每月用水量$0≤ x≤16$时，使用费为1.3元/m³，污水处理费为1.2元/m³，每立方米总费用为$1.3+1.2=2.5$元，因此：
$y=(1.3+1.2)x=2.5x$
2. 当每月用水量$x＞16$时，前16m³按2.5元/m³收费，超过16m³的部分为$(x-16)$m³，这部分使用费为2.0元/m³，加污水处理费后每立方米费用为$2.0+1.2=3.2$元，因此：
$y=16×2.5 + 3.2(x-16)=40 + 3.2x - 51.2=3.2x -11.2$
综上可得y与x的函数表达式。
【答案】
$y=\begin{cases}2.5x(0≤ x≤16)\\3.2x-11.2(x＞16)\end{cases}$
【知识点】
分段函数，列函数解析式，实际问题的函数应用
【点评】
本题属于常见的生活类分段计费题型，解题核心是准确区分不同收费区间对应的计费标准，分情况计算后整理为分段函数，要注意不要遗漏自变量的取值范围，这是此类题目的易错点。
【难度系数】
0.7
11.将二元一次方程$2x - y = 4$表示的直线向上平移6个单位长度，则平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为________.
答案
11.1
解析
【分析】
解题思路如下：首先，我们需要将给定的二元一次方程转化为一次函数的斜截式（y=kx+b形式），方便应用平移规律；其次，根据直线“向上平移n个单位，函数值整体加n”的平移规则，得到平移后的函数解析式；接着求出平移后的直线与x轴、y轴的交点坐标，它与坐标轴围成的封闭图形是直角三角形，两条直角边的长度就是两个交点到原点的距离；最后代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程化为斜截式
对$2x - y = 4$移项可得：$y = 2x - 4$
第二步：求平移后的直线解析式
直线向上平移6个单位，根据“上加下减”的平移规律，给常数项加6，得平移后的解析式：
$y = 2x - 4 + 6 = 2x + 2$
第三步：求平移后直线与坐标轴的交点
① 求与x轴交点：令$y=0$，代入得$0=2x+2$，解得$x=-1$，即交点为$(-1,0)$，该点到原点的距离为$|-1|=1$
② 求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=2×0 + 2=2$，即交点为$(0,2)$，该点到原点的距离为$2$
第四步：计算封闭图形面积
平移后的直线与坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边长分别为1和2，面积为：
$S=\frac{1}{2}×1×2=1$
【答案】
1
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题核心是一次函数平移性质的应用，易错点在于平移时容易混淆“上加下减”的适用对象，以及计算面积时忘记对横截距取绝对值，掌握一次函数的基本性质和几何意义就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，我们需要将给定的二元一次方程转化为一次函数的斜截式（y=kx+b形式），方便应用平移规律；其次，根据直线“向上平移n个单位，函数值整体加n”的平移规则，得到平移后的函数解析式；接着求出平移后的直线与x轴、y轴的交点坐标，它与坐标轴围成的封闭图形是直角三角形，两条直角边的长度就是两个交点到原点的距离；最后代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程化为斜截式
对$2x - y = 4$移项可得：$y = 2x - 4$
第二步：求平移后的直线解析式
直线向上平移6个单位，根据“上加下减”的平移规律，给常数项加6，得平移后的解析式：
$y = 2x - 4 + 6 = 2x + 2$
第三步：求平移后直线与坐标轴的交点
① 求与x轴交点：令$y=0$，代入得$0=2x+2$，解得$x=-1$，即交点为$(-1,0)$，该点到原点的距离为$|-1|=1$
② 求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=2×0 + 2=2$，即交点为$(0,2)$，该点到原点的距离为$2$
第四步：计算封闭图形面积
平移后的直线与坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边长分别为1和2，面积为：
$S=\frac{1}{2}×1×2=1$
【答案】
1
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题核心是一次函数平移性质的应用，易错点在于平移时容易混淆“上加下减”的适用对象，以及计算面积时忘记对横截距取绝对值，掌握一次函数的基本性质和几何意义就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
12.如图,函数$y=-\dfrac{5}{12}x+5$的图象分别与$x$轴、$y$轴交于点$A,B,∠ OBA$的平分线$BC$与$x$轴交于点$C$,则点$C$的坐标为________.
答案
12.$(\frac{10}{3},0)$
解析
【分析】
解题时首先求出一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标，结合勾股定理得到AB的长度；再利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得到点C到OB和AB的距离相等；最后通过面积法列方程求出OC的长度，即可得到点C的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于函数$y=-\dfrac{5}{12}x+5$，
当$x=0$时，$y=5$，因此点$B$坐标为$(0,5)$，$OB=5$；
当$y=0$时，$0=-\dfrac{5}{12}x+5$，解得$x=12$，因此点$A$坐标为$(12,0)$，$OA=12$。
2. 求AB的长度：
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
3. 利用角平分线性质列方程求解：
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，
因为$BC$平分$∠ OBA$，$CO⊥ OB$，$CD⊥ AB$，根据角平分线的性质可得$CO=CD$。
设点$C$的坐标为$(c,0)$，则$OC=c$，$CD=c$，$AC=OA-OC=12-c$。
$△ ABC$的面积有两种计算方式：
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AC× OB$，同时$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AB× CD$，
因此列等式：$\dfrac{1}{2}×(12-c)×5=\dfrac{1}{2}×13× c$，
两边同乘2化简得：$5(12-c)=13c$，
解得：$c=\dfrac{10}{3}$。
【答案】
$(\dfrac{10}{3},0)$
【知识点】
一次函数交点求法，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题结合一次函数与几何性质综合考查，解题的核心是先确定直线与坐标轴的交点坐标，再灵活运用角平分线的性质结合面积法求解线段长度，难度适中，侧重对基础知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时首先求出一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标，结合勾股定理得到AB的长度；再利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得到点C到OB和AB的距离相等；最后通过面积法列方程求出OC的长度，即可得到点C的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于函数$y=-\dfrac{5}{12}x+5$，
当$x=0$时，$y=5$，因此点$B$坐标为$(0,5)$，$OB=5$；
当$y=0$时，$0=-\dfrac{5}{12}x+5$，解得$x=12$，因此点$A$坐标为$(12,0)$，$OA=12$。
2. 求AB的长度：
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
3. 利用角平分线性质列方程求解：
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，
因为$BC$平分$∠ OBA$，$CO⊥ OB$，$CD⊥ AB$，根据角平分线的性质可得$CO=CD$。
设点$C$的坐标为$(c,0)$，则$OC=c$，$CD=c$，$AC=OA-OC=12-c$。
$△ ABC$的面积有两种计算方式：
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AC× OB$，同时$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AB× CD$，
因此列等式：$\dfrac{1}{2}×(12-c)×5=\dfrac{1}{2}×13× c$，
两边同乘2化简得：$5(12-c)=13c$，
解得：$c=\dfrac{10}{3}$。
【答案】
$(\dfrac{10}{3},0)$
【知识点】
一次函数交点求法，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题结合一次函数与几何性质综合考查，解题的核心是先确定直线与坐标轴的交点坐标，再灵活运用角平分线的性质结合面积法求解线段长度，难度适中，侧重对基础知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
