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17. 如图，已知$∠ 1+∠ ABC=180°$，请你从下面三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题.
①$BE$是$∠ ABC$的平分线；②$∠ E=∠ 2$；③$DF// AB$.
你选择的条件是________，结论是________（填序号）.请加以证明.
①$BE$是$∠ ABC$的平分线；②$∠ E=∠ 2$；③$DF// AB$.
你选择的条件是________，结论是________（填序号）.请加以证明.
答案
①②,③(答案不唯一) 证明:由角平分线定义得到$∠2=∠CBE$,因此$∠CBE=∠E$,所以$AE//BC$,所以$∠A+∠ABC=180°$,结合已知得$∠A=∠1$,所以$DF//AB$.
解析
【分析】
本题为开放性几何题，我们可选择①②作为题设，③作为结论推导。解题思路：首先借助角平分线的定义得到∠2与∠CBE相等，结合已知∠E=∠2等量代换得到内错角相等，判定AE//BC；再根据平行线的性质得到∠A与∠ABC互补，结合题目给出的∠1+∠ABC=180°，利用同角的补角相等得到∠A=∠1，最后根据同位角相等判定两直线平行，即可证得DF//AB。
【解析】
选择条件①②，结论③，证明如下：
∵BE是∠ABC的平分线（已知）
∴∠2=∠CBE（角平分线的定义）
又
∵∠E=∠2（已知）
∴∠E=∠CBE（等量代换）
∴AE//BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠1+∠ABC=180°（已知）
∴∠A=∠1（同角的补角相等）
∴DF//AB（同位角相等，两直线平行）
（注：也可选择其他合理组合，均为真命题）
【答案】
①②；③（答案不唯一）
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于开放性命题，考查基础几何定理的综合应用，解题时需要准确区分平行线的判定和性质，按照逻辑逐步推导即可，注意书写证明过程时步骤要完整规范。
【难度系数】
0.7
本题为开放性几何题，我们可选择①②作为题设，③作为结论推导。解题思路：首先借助角平分线的定义得到∠2与∠CBE相等，结合已知∠E=∠2等量代换得到内错角相等，判定AE//BC；再根据平行线的性质得到∠A与∠ABC互补，结合题目给出的∠1+∠ABC=180°，利用同角的补角相等得到∠A=∠1，最后根据同位角相等判定两直线平行，即可证得DF//AB。
【解析】
选择条件①②，结论③，证明如下：
∵BE是∠ABC的平分线（已知）
∴∠2=∠CBE（角平分线的定义）
又
∵∠E=∠2（已知）
∴∠E=∠CBE（等量代换）
∴AE//BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠1+∠ABC=180°（已知）
∴∠A=∠1（同角的补角相等）
∴DF//AB（同位角相等，两直线平行）
（注：也可选择其他合理组合，均为真命题）
【答案】
①②；③（答案不唯一）
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于开放性命题，考查基础几何定理的综合应用，解题时需要准确区分平行线的判定和性质，按照逻辑逐步推导即可，注意书写证明过程时步骤要完整规范。
【难度系数】
0.7
18.如图，AD平分$∠BAC$交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，$∠BDA+∠CEG=180^{\circ }.$
(1)AD与EF平行吗？请说明理由；
(2)若点H在FE的延长线上，且$∠EDH=∠C$，则$∠F$与$∠H$相等吗？请说明理由.
(1)AD与EF平行吗？请说明理由；
(2)若点H在FE的延长线上，且$∠EDH=∠C$，则$∠F$与$∠H$相等吗？请说明理由.
答案
(1)$AD// EF$. 理由: $\because ∠BDA+∠CEG=180°,∠BEF+∠CEG=180°,∴ ∠BDA=∠BEF.∴ AD// EF.$
(2)$∠F=∠H$. 理由: $\because AD$平分$∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD.∵ ∠EDH=∠C,∴ HD// AC.∴ ∠H=∠CGH.∵ AD// EF,∴ ∠CAD=∠CGH,∠BAD=∠F.∴ ∠F=∠H.$
(2)$∠F=∠H$. 理由: $\because AD$平分$∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD.∵ ∠EDH=∠C,∴ HD// AC.∴ ∠H=∠CGH.∵ AD// EF,∴ ∠CAD=∠CGH,∠BAD=∠F.∴ ∠F=∠H.$
解析
【分析】
(1)判断AD与EF是否平行，可结合平行线判定定理推导：已知∠BDA与∠CEG之和为180°，而∠CEG和∠BEF是邻补角，和也为180°，根据同角的补角相等可得到同位角∠BDA=∠BEF，即可判定两直线平行。
(2)判断∠F与∠H是否相等，可通过平行线性质等量代换推导：先由角平分线定义得∠BAD=∠CAD；再由∠EDH=∠C可判定HD//AC，得到∠H=∠CGH；最后结合(1)中AD//EF的结论，利用平行线性质得到∠CAD=∠CGH、∠BAD=∠F，等量代换即可得结论。
【解析】
(1) $AD// EF$，理由如下：
$\because ∠ BDA+∠ CEG=180°$，$∠ BEF+∠ CEG=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠ BDA=∠ BEF$（同角的补角相等），
$\therefore AD// EF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $∠ F=∠ H$，理由如下：
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$（角平分线的定义），
$\because ∠ EDH=∠ C$，
$\therefore HD// AC$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ H=∠ CGH$（两直线平行，内错角相等），
$\because AD// EF$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CGH$（两直线平行，同位角相等），$∠ BAD=∠ F$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ F=∠ H$（等量代换）。
【答案】
(1) $AD// EF$，理由见解析；
(2) $∠ F=∠ H$，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，补角的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查平行线相关定理的综合运用，需要结合已知条件逐步推导角的等量关系，能够有效训练逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)判断AD与EF是否平行，可结合平行线判定定理推导：已知∠BDA与∠CEG之和为180°，而∠CEG和∠BEF是邻补角，和也为180°，根据同角的补角相等可得到同位角∠BDA=∠BEF，即可判定两直线平行。
(2)判断∠F与∠H是否相等，可通过平行线性质等量代换推导：先由角平分线定义得∠BAD=∠CAD；再由∠EDH=∠C可判定HD//AC，得到∠H=∠CGH；最后结合(1)中AD//EF的结论，利用平行线性质得到∠CAD=∠CGH、∠BAD=∠F，等量代换即可得结论。
【解析】
(1) $AD// EF$，理由如下：
$\because ∠ BDA+∠ CEG=180°$，$∠ BEF+∠ CEG=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠ BDA=∠ BEF$（同角的补角相等），
$\therefore AD// EF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $∠ F=∠ H$，理由如下：
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$（角平分线的定义），
$\because ∠ EDH=∠ C$，
$\therefore HD// AC$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ H=∠ CGH$（两直线平行，内错角相等），
$\because AD// EF$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CGH$（两直线平行，同位角相等），$∠ BAD=∠ F$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ F=∠ H$（等量代换）。
【答案】
(1) $AD// EF$，理由见解析；
(2) $∠ F=∠ H$，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，补角的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查平行线相关定理的综合运用，需要结合已知条件逐步推导角的等量关系，能够有效训练逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
