19.如图,已知$AB// CD$,点$E,F$分别为$AB,CD$之间的点.
(1)如图1,若$∠E=100°$,求$∠B+∠D$的度数;
(2)若$∠B=36°,∠D=108°$.
①如图2,请探索$∠F-∠E$的度数是否为定值,请说明理由;
②如图3,已知$EP$平分$∠BEF$,$GF$平分$∠EFD$,延长$GF$交$EP$于点$P$,求$∠P$的度数.

(1)如图1,过点$E$作$EM// AB$,则$EM// AB// CD$,然后根据平行线的性质得到$∠B=∠BEM,∠D=∠DEM$,即$∠B+∠D=100°$.
①如图2,过点$E$作$EN// AB$,过点$F$作$PF// AB$,可得$AB// EN// PF// CD$,由已知得$∠1=∠B=36°,∠4=180°-∠D=72°,∠3=∠2.∠EFD-∠BEF=∠4-∠1=36°$,是定值.
②如图3,$EP$平分$∠BEF$,$FG$平分$∠EFD$,可得$∠2=∠1=\frac{1}{2}∠BEF,∠3=∠4=\frac{1}{2}∠EFD,∠P=∠3-∠2$,结合①得$∠EFD-∠BEF=36°$,从而可得$∠P=18°$.

【分析】
这是平行线间的拐点类问题，通用解题思路是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的性质转化角的数量关系：
(1) 只有1个拐点E，过E作AB的平行线，即可将∠BED拆分为分别和∠B、∠D相等的两个角，直接求和即可得到结果；
(2)① 有2个拐点E、F，分别过两个拐点作AB的平行线，将∠BEF和∠EFD分别拆分为两组内错角/同旁内角，通过等量代换即可得到∠F和∠E的差值，判断是否为定值；
② 结合角平分线的定义，将∠P用∠BEF和∠EFD的一半的差值表示，再代入①中得到的两个角的差值结论，即可快速求出∠P的度数。
【解析】
(1) 如图1，过点$E$作$EM// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore EM// AB// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ B=∠ BEM$，$∠ D=∠ DEM$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ B+∠ D=∠ BEM+∠ DEM=∠ BED=100°$。
① 是定值，理由如下：
如图2，过点$E$作$EN// AB$，过点$F$作$PF// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore AB// EN// PF// CD$，
$\therefore ∠ 1=∠ B=36°$（两直线平行，内错角相等），
$∠ 4+∠ D=180°$（两直线平行，同旁内角互补），即$∠ 4=180°-108°=72°$，
又$\because EN// PF$，$\therefore ∠ 2=∠ 3$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ BEF=∠ 1+∠ 2$，$∠ EFD=∠ 3+∠ 4$，
$\therefore ∠ EFD-∠ BEF=(∠ 3+∠ 4)-(∠ 1+∠ 2)=∠ 4-∠ 1=72°-36°=36°$，
故$∠ F-∠ E$的度数是定值，为$36°$。
② $\because EP$平分$∠ BEF$，$GF$平分$∠ EFD$，
$\therefore ∠ 2=\frac{1}{2}∠ BEF$，$∠ 3=\frac{1}{2}∠ EFD$（角平分线的定义），
由角的关系可得$∠ P=∠ 3-∠ 2$，
$\therefore ∠ P=\frac{1}{2}∠ EFD-\frac{1}{2}∠ BEF=\frac{1}{2}(∠ EFD-∠ BEF)$，
由①知$∠ EFD-∠ BEF=36°$，
$\therefore ∠ P=\frac{1}{2}×36°=18°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100°}$
① $∠ F-∠ E$是定值，为$\boldsymbol{36°}$，理由见解析；
② $\boldsymbol{18°}$

【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐点问题的典型题型，难度递进，核心解题方法是过拐点作平行线转化角的关系，既考查了平行线、角平分线基础性质的应用，也考查了结论迁移运用的能力，熟练掌握辅助线作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6