15. 如图,已知$∠ 1=∠ BDC,∠ 2+∠ 3=180°$.
(1)$AD$与$EC$平行吗?请说明理由;
(2)若$DA$平分$∠ BDC$,$DA⊥ FA$,垂足为$A$,$∠ 1=75°$,求$∠ FAB$的度数.

(1)由$∠1=∠BDC$可得$AB//CD$,有$∠2=∠ADC$,由已知得$∠ADC+∠3=180°$,即$AD//EC$.
(2)由角平分线的定义得$∠ADC=37.5°$,结合(1)的结论有$∠2=∠ADC=37.5°$,又因为$∠DAF=90°$,则$∠BAF=∠DAF-∠2=52.5°$.

【分析】
(1) 要判断AD与EC是否平行，需根据平行线的判定定理寻找对应的角的关系。首先由已知∠1=∠BDC，可先推出AB//CD，得到∠2与∠ADC相等，再结合∠2+∠3=180°，等量代换后得到∠ADC+∠3=180°，即可根据同旁内角互补判定两直线平行。
(2) 求∠FAB的度数，首先根据角平分线定义，结合∠1=∠BDC=75°，先算出∠ADC的度数，再利用(1)中AB//CD的结论得到∠2=∠ADC，最后结合DA⊥FA即∠FAD=90°，用∠FAD减去∠2即可求出结果。
【解析】
(1) $AD// EC$，理由如下：
$\because ∠ 1=∠ BDC$
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行）
$\therefore ∠ 2=∠ ADC$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ 2+∠ 3=180°$
$\therefore ∠ ADC+∠ 3=180°$（等量代换）
$\therefore AD// EC$（同旁内角互补，两直线平行）
(2) $\because DA$平分$∠ BDC$
$\therefore ∠ ADC=\frac{1}{2}∠ BDC$
$\because ∠ 1=∠ BDC=75°$
$\therefore ∠ ADC=\frac{1}{2}×75°=37.5°$
由(1)知$AB// CD$，故$∠ 2=∠ ADC=37.5°$
$\because DA⊥ FA$
$\therefore ∠ FAD=90°$
$\therefore ∠ FAB=∠ FAD-∠ 2=90°-37.5°=52.5°$
【答案】
(1) $AD$与$EC$平行，理由见解析；
(2) $∠ FAB$的度数为$52.5°$。
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂直的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，重点考查平行线的判定和性质的灵活运用，解题时需注意判定和性质的适用条件，结合已知角的关系逐步推导所求角度，是几何部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

16. 直线AB,CD,EF相交于点O,且CD⊥EF,OG平分∠BOF.
(1)如图1,①写出∠AOD的余角:$\underline{\hspace{5cm}}$(填写所有符合情况的角);
②若∠AOD:∠COG=2:3,求∠AOD的度数.
(2)如图2,探究∠AOD与∠COG是否存在数量关系.若存在,请直接写出∠AOD与∠COG的数量关系;若不存在,请说明理由.

(1)①$∠AOE,∠BOF$ ②因为$∠COG=∠BOC+∠BOG=∠AOD+∠BOG,∠AOD:∠COG=2:3$,所以$∠AOD=2∠BOG$,即$∠BOC=2∠BOG$,因为OG平分$∠BOF$,所以$∠BOF=2∠BOG$,可得$∠BOC=∠BOF$. 因为$∠BOC+∠BOF=∠COF=90°$,所以$∠AOD=∠BOC=45°$.
(2)因为$∠AOD=∠BOC,∠COF=90°$,所以$∠BOF=90°+∠AOD$,因为OG平分$∠BOF$,可得$∠BOG=\frac{1}{2}∠BOF=45°+\frac{1}{2}∠AOD$,因为$∠COG=∠BOG-∠BOC=∠BOG-∠AOD$,可得$∠COG=45°-\frac{1}{2}∠AOD$.

【分析】
(1)①求∠AOD的余角，需结合余角的定义（和为90°的两个角互为余角），利用已知CD⊥EF得到直角，再结合对顶角相等的性质，找出所有和∠AOD相加为90°的角即可。
②已知两角的比例关系，可先设未知数表示两个角，再结合对顶角相等、角平分线的性质、垂直得到的90°角，建立等量关系列方程求解。
(2)探究∠AOD和∠COG的数量关系，可先通过对顶角相等将∠AOD转化为和它相等的∠BOC，再结合角平分线的性质表示出∠BOG，最后根据∠COG和其他角的和差关系推导得到两角的数量关系。
【解析】
(1)① 因为CD⊥EF，所以∠DOE=90°，即∠AOE+∠AOD=90°，因此∠AOE是∠AOD的余角；又因为∠AOE和∠BOF是对顶角，∠AOE=∠BOF，所以∠BOF+∠AOD=90°，故∠BOF也是∠AOD的余角。
② 设∠AOD=2x，由∠AOD:∠COG=2:3可得∠COG=3x。
根据对顶角相等，∠AOD=∠BOC=2x，所以∠COG=∠BOC+∠BOG=2x+∠BOG=3x，解得∠BOG=x。
因为OG平分∠BOF，所以∠BOF=2∠BOG=2x，即∠BOC=∠BOF=2x。
又因为CD⊥EF，所以∠COF=90°，即∠BOC+∠BOF=90°，代入得2x+2x=90°，解得x=22.5°，因此∠AOD=2x=45°。
(2) 存在数量关系，推导如下：
由对顶角相等得∠AOD=∠BOC，因为CD⊥EF，所以∠COF=90°，因此∠BOF=∠COF+∠BOC=90°+∠AOD。
因为OG平分∠BOF，所以$∠ BOG=\frac{1}{2}∠ BOF=\frac{1}{2}(90°+∠ AOD)=45°+\frac{1}{2}∠ AOD$。
又因为$∠ COG=∠ BOG-∠ BOC=∠ BOG-∠ AOD$，代入可得$∠ COG=45°+\frac{1}{2}∠ AOD-∠ AOD=45°-\frac{1}{2}∠ AOD$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{∠AOE、∠BOF}$；②$\boldsymbol{45°}$
(2)$\boldsymbol{∠COG=45°-\dfrac{1}{2}∠AOD}$
【知识点】
余角的定义，对顶角相等，角平分线的性质
【点评】
本题是相交线中角的计算类典型习题，综合考察了余角、垂直、角平分线、对顶角等基础知识点，解题核心是准确梳理各角之间的和差、等量关系，能够有效训练逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7