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7. 在某段公路的正上方有一个摄像头 A，该摄像头距离地面 7 m. 一天李叔叔驾驶的汽车沿笔直的公路匀速行驶，当行驶到 B 点时，摄像头完成第一次抓拍，此时 A，B 两点相距 25 m；1.5 s 后摄像头完成第二次抓拍，此时汽车恰好行驶至 A 点正下方的 C 点处. 已知该路段限速 60 km/h，请判断李叔叔是否超速，并说明理由.
答案
7.解:李叔叔没有超速.理由:由题意得$∠ ACB=90°$,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得$BC=\sqrt{25^2-7^2}=24$,$v=24÷1.5=16(\mathrm{m/s})=57.6(\mathrm{km/h})$.$\because 57.6＜60$,$\therefore$李叔叔没有超速.
解析
【分析】
要判断李叔叔是否超速，核心是求出汽车的行驶速度，再和限速对比。速度=路程÷时间，已知行驶时间为1.5s，因此首先需要求出汽车行驶的路程BC的长度。由题意可知△ACB是直角三角形，∠C=90°，已知斜边AB和直角边AC的长度，可通过勾股定理求出BC的长度，再计算速度，将速度单位换算为km/h后和60km/h比较，即可得出结论。
【解析】
解：由题意得∠ACB=90°，AC=7m，AB=25m，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24(\mathrm{m})$
汽车行驶速度：$v=24÷1.5=16(\mathrm{m/s})$
换算单位：$16\mathrm{m/s}=16×3.6\mathrm{km/h}=57.6\mathrm{km/h}$
$\because57.6＜60$
$\therefore$李叔叔没有超速。
【答案】
李叔叔没有超速
【知识点】
勾股定理的应用；速度计算；单位换算
【点评】
本题结合生活中的交通测速场景，考查了数学知识的实际应用能力，解题时要注意将实际问题转化为直角三角形模型，同时要格外注意速度单位的换算，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
要判断李叔叔是否超速，核心是求出汽车的行驶速度，再和限速对比。速度=路程÷时间，已知行驶时间为1.5s，因此首先需要求出汽车行驶的路程BC的长度。由题意可知△ACB是直角三角形，∠C=90°，已知斜边AB和直角边AC的长度，可通过勾股定理求出BC的长度，再计算速度，将速度单位换算为km/h后和60km/h比较，即可得出结论。
【解析】
解：由题意得∠ACB=90°，AC=7m，AB=25m，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24(\mathrm{m})$
汽车行驶速度：$v=24÷1.5=16(\mathrm{m/s})$
换算单位：$16\mathrm{m/s}=16×3.6\mathrm{km/h}=57.6\mathrm{km/h}$
$\because57.6＜60$
$\therefore$李叔叔没有超速。
【答案】
李叔叔没有超速
【知识点】
勾股定理的应用；速度计算；单位换算
【点评】
本题结合生活中的交通测速场景，考查了数学知识的实际应用能力，解题时要注意将实际问题转化为直角三角形模型，同时要格外注意速度单位的换算，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
8. 两个长方体容器甲和乙如图所示，它们的体积相同，高均为$ h $，甲盒子底面是边长为$ a $的正方形，乙盒子底面是长为$ b $，宽为$ c(c≠b) $的长方形.
(1)若$ bc=24,h=\sqrt{3} $，求甲盒子的侧面积.
(2)设甲、乙两个盒子的侧面积分别为$ S_{甲},S_{乙} $.
①$ S_{甲} \_\_\_\_\_\_ S_{乙} $；(填“＞”“＜”或“=”)
②说明①的理由.
(1)若$ bc=24,h=\sqrt{3} $，求甲盒子的侧面积.
(2)设甲、乙两个盒子的侧面积分别为$ S_{甲},S_{乙} $.
①$ S_{甲} \_\_\_\_\_\_ S_{乙} $；(填“＞”“＜”或“=”)
②说明①的理由.
答案
8.解:(1)甲盒子的侧面积为$24\sqrt{2}$.
(2)①$＜$
②由题意,得$S_\mathrm{甲}=4ah$,$S_\mathrm{乙}=2bh+2ch=2h(b+c)$,$\therefore S_\mathrm{甲}-S_\mathrm{乙}=4ah-2h(b+c)=2h[2a-(b+c)]$.$\because b,c$均为正数,$c≠ b$,$\therefore (\sqrt{b}-\sqrt{c})^2=b+c-2\sqrt{bc}＞0$,$\therefore b+c＞2\sqrt{bc}$.又$\because a^2h=bch$,$\therefore a=\sqrt{bc}$,$\therefore b+c＞2a$,$\therefore 2a-(b+c)＜0$,$\therefore S_\mathrm{甲}-S_\mathrm{乙}＜0$,$\therefore S_\mathrm{甲}＜S_\mathrm{乙}$.
(2)①$＜$
②由题意,得$S_\mathrm{甲}=4ah$,$S_\mathrm{乙}=2bh+2ch=2h(b+c)$,$\therefore S_\mathrm{甲}-S_\mathrm{乙}=4ah-2h(b+c)=2h[2a-(b+c)]$.$\because b,c$均为正数,$c≠ b$,$\therefore (\sqrt{b}-\sqrt{c})^2=b+c-2\sqrt{bc}＞0$,$\therefore b+c＞2\sqrt{bc}$.又$\because a^2h=bch$,$\therefore a=\sqrt{bc}$,$\therefore b+c＞2a$,$\therefore 2a-(b+c)＜0$,$\therefore S_\mathrm{甲}-S_\mathrm{乙}＜0$,$\therefore S_\mathrm{甲}＜S_\mathrm{乙}$.
解析
【分析】
(1) 先利用两个长方体体积相等、高相同的条件，得出甲的底面积等于乙的底面积，即$a^2=bc$，求出$a$的数值后，再根据长方体侧面积公式计算甲的侧面积。
(2) 比较$S_甲$和$S_乙$的大小，可先分别写出两个侧面积的代数式，采用作差法判断差值的正负；结合完全平方公式的非负性，以及$a^2=bc$的等量关系，即可推导出差值的符号，得到两者的大小关系。
【解析】
(1) 由长方体体积公式$V=底面积×高$，甲、乙体积相等且高均为$h$，可得：
$a^2h = bch$，约去$h$得$a^2=bc$。
代入$bc=24$，得$a=\sqrt{24}$（边长为正数，取正根）。
甲的侧面积为4个侧面的面积之和，每个侧面为长$a$、宽$h$的长方形，因此：
$S_甲=4ah$，代入$a=\sqrt{24}$、$h=\sqrt{3}$，得：
$S_甲=4×\sqrt{24}×\sqrt{3}=4×\sqrt{72}=4×6\sqrt{2}=24\sqrt{2}$。
(2) ①$＜$
②理由：
首先写出两个侧面积的表达式：
$S_甲=4ah$，$S_乙=2bh+2ch=2h(b+c)$。
将两式作差得：
$S_甲-S_乙=4ah-2h(b+c)=2h[2a-(b+c)]$。
由$a^2=bc$得$a=\sqrt{bc}$，因此$2a=2\sqrt{bc}$。
根据完全平方公式，$(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2=b+c-2\sqrt{bc}$，因为$c≠b$，所以$(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2＞0$，即$b+c-2\sqrt{bc}＞0$，变形得$b+c＞2\sqrt{bc}=2a$。
因此$2a-(b+c)＜0$，又$h＞0$，所以$2h[2a-(b+c)]＜0$，即$S_甲-S_乙＜0$，故$S_甲＜S_乙$。
【答案】
(1) $24\sqrt{2}$
(2) ①$＜$；②理由如上述解析所示
【知识点】
长方体的体积与侧面积计算，完全平方公式，作差法比较大小
【点评】
本题将几何图形性质与代数式比较大小相结合，解题的核心是先通过体积相等建立$a$与$b、c$的等量关系，再借助完全平方公式的非负性判断差的正负，既考查了几何公式的应用，也锻炼了代数推导能力。
【难度系数】
0.65
(1) 先利用两个长方体体积相等、高相同的条件，得出甲的底面积等于乙的底面积，即$a^2=bc$，求出$a$的数值后，再根据长方体侧面积公式计算甲的侧面积。
(2) 比较$S_甲$和$S_乙$的大小，可先分别写出两个侧面积的代数式，采用作差法判断差值的正负；结合完全平方公式的非负性，以及$a^2=bc$的等量关系，即可推导出差值的符号，得到两者的大小关系。
【解析】
(1) 由长方体体积公式$V=底面积×高$，甲、乙体积相等且高均为$h$，可得：
$a^2h = bch$，约去$h$得$a^2=bc$。
代入$bc=24$，得$a=\sqrt{24}$（边长为正数，取正根）。
甲的侧面积为4个侧面的面积之和，每个侧面为长$a$、宽$h$的长方形，因此：
$S_甲=4ah$，代入$a=\sqrt{24}$、$h=\sqrt{3}$，得：
$S_甲=4×\sqrt{24}×\sqrt{3}=4×\sqrt{72}=4×6\sqrt{2}=24\sqrt{2}$。
(2) ①$＜$
②理由：
首先写出两个侧面积的表达式：
$S_甲=4ah$，$S_乙=2bh+2ch=2h(b+c)$。
将两式作差得：
$S_甲-S_乙=4ah-2h(b+c)=2h[2a-(b+c)]$。
由$a^2=bc$得$a=\sqrt{bc}$，因此$2a=2\sqrt{bc}$。
根据完全平方公式，$(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2=b+c-2\sqrt{bc}$，因为$c≠b$，所以$(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2＞0$，即$b+c-2\sqrt{bc}＞0$，变形得$b+c＞2\sqrt{bc}=2a$。
因此$2a-(b+c)＜0$，又$h＞0$，所以$2h[2a-(b+c)]＜0$，即$S_甲-S_乙＜0$，故$S_甲＜S_乙$。
【答案】
(1) $24\sqrt{2}$
(2) ①$＜$；②理由如上述解析所示
【知识点】
长方体的体积与侧面积计算，完全平方公式，作差法比较大小
【点评】
本题将几何图形性质与代数式比较大小相结合，解题的核心是先通过体积相等建立$a$与$b、c$的等量关系，再借助完全平方公式的非负性判断差的正负，既考查了几何公式的应用，也锻炼了代数推导能力。
【难度系数】
0.65
9.若$a＜0,b＞0$,则化简$\sqrt{a^2b^2}$的结果为 （
A.$\sqrt{ab}$
B.$-ab$
C.$ab\sqrt{b}$
D.$ab^2\sqrt{tb}$
B
）A.$\sqrt{ab}$
B.$-ab$
C.$ab\sqrt{b}$
D.$ab^2\sqrt{tb}$
答案
9.B
解析
【分析】
要化简二次根式$\sqrt{a^2b^2}$，首先回忆二次根式的核心性质：对于任意实数$x$，$\sqrt{x^2}=|x|$，同时非负数乘积的算术平方根等于算术平方根的乘积。我们可以先将原式拆分为$\sqrt{a^2} · \sqrt{b^2}$，再分别化简两个二次根式，最后结合已知$a＜0$、$b＞0$的符号条件去掉绝对值，合并得到最终结果，再匹配选项即可。
【解析】
根据二次根式的性质逐步化简：
1. 拆分原式：$\sqrt{a^2b^2} = \sqrt{a^2} · \sqrt{b^2}$
2. 利用$\sqrt{x^2}=|x|$化简，得：$\sqrt{a^2} · \sqrt{b^2} = |a| · |b|$
3. 结合符号条件去绝对值：已知$a＜0$，则$|a|=-a$；$b＞0$，则$|b|=b$，代入得：
$|a| · |b| = (-a) · b = -ab$
因此化简结果为$-ab$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题，解题的关键是牢记算术平方根的非负性，即$\sqrt{x^2}$的结果一定是非负的，需要结合字母的正负性去掉绝对值符号，避免忽略符号直接得出$ab$的错误。
【难度系数】
0.7
要化简二次根式$\sqrt{a^2b^2}$，首先回忆二次根式的核心性质：对于任意实数$x$，$\sqrt{x^2}=|x|$，同时非负数乘积的算术平方根等于算术平方根的乘积。我们可以先将原式拆分为$\sqrt{a^2} · \sqrt{b^2}$，再分别化简两个二次根式，最后结合已知$a＜0$、$b＞0$的符号条件去掉绝对值，合并得到最终结果，再匹配选项即可。
【解析】
根据二次根式的性质逐步化简：
1. 拆分原式：$\sqrt{a^2b^2} = \sqrt{a^2} · \sqrt{b^2}$
2. 利用$\sqrt{x^2}=|x|$化简，得：$\sqrt{a^2} · \sqrt{b^2} = |a| · |b|$
3. 结合符号条件去绝对值：已知$a＜0$，则$|a|=-a$；$b＞0$，则$|b|=b$，代入得：
$|a| · |b| = (-a) · b = -ab$
因此化简结果为$-ab$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题，解题的关键是牢记算术平方根的非负性，即$\sqrt{x^2}$的结果一定是非负的，需要结合字母的正负性去掉绝对值符号，避免忽略符号直接得出$ab$的错误。
【难度系数】
0.7
