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1. 下列是最简二次根式的是 （
A.$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
B.$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$
C.$\sqrt{12}$
D.$2\sqrt{6}$
D
）A.$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
B.$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$
C.$\sqrt{12}$
D.$2\sqrt{6}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们将四个选项逐个对照这两个条件，不符合条件的直接排除，最终剩下的就是正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
选项A：$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$的分母含有根号，不符合最简二次根式要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，故A错误；
选项B：$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$的被开方数含有分母，不符合要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，故B错误；
选项C：$\sqrt{12}$的被开方数12可拆分为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数，不符合要求，化简后为$2\sqrt{3}$，故C错误；
选项D：$2\sqrt{6}$的被开方数是6，既不含分母，也没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式的要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对最简二次根式判定规则的掌握，牢记两个判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简二次根式，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们将四个选项逐个对照这两个条件，不符合条件的直接排除，最终剩下的就是正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
选项A：$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$的分母含有根号，不符合最简二次根式要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，故A错误；
选项B：$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$的被开方数含有分母，不符合要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，故B错误；
选项C：$\sqrt{12}$的被开方数12可拆分为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数，不符合要求，化简后为$2\sqrt{3}$，故C错误；
选项D：$2\sqrt{6}$的被开方数是6，既不含分母，也没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式的要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对最简二次根式判定规则的掌握，牢记两个判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.若一个直角三角形的一条直角边长是7 cm,另一条直角边比斜边短1 cm,则斜边长为 (
A.18 cm
B.20 cm
C.24 cm
D.25 cm
D
)A.18 cm
B.20 cm
C.24 cm
D.25 cm
答案
2.D
解析
【分析】
这是直角三角形边长计算的题目，核心解题依据是勾股定理。首先我们可以设斜边长为未知数，根据“另一条直角边比斜边短1cm”的条件表示出另一条直角边的长度，再代入勾股定理公式列方程，解方程得到结果后验证是否符合边长的实际要求即可。
【解析】
解：设斜边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (x-1) \, \mathrm{cm} $。
根据直角三角形勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），列方程得：
$ 7^2 + (x-1)^2 = x^2 $
展开计算：
$ 49 + x^2 - 2x + 1 = x^2 $
两边消去$ x^2 $后化简得：
$ 50 - 2x = 0 $
解得$ x=25 $。
经检验，$ x=25 $符合边长为正的实际意义，因此斜边长为25cm。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，将几何边长关系通过设未知数转化为代数方程求解是这类题的通用思路，计算时要注意完全平方展开不要漏项，得到结果后需验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是直角三角形边长计算的题目，核心解题依据是勾股定理。首先我们可以设斜边长为未知数，根据“另一条直角边比斜边短1cm”的条件表示出另一条直角边的长度，再代入勾股定理公式列方程，解方程得到结果后验证是否符合边长的实际要求即可。
【解析】
解：设斜边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (x-1) \, \mathrm{cm} $。
根据直角三角形勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），列方程得：
$ 7^2 + (x-1)^2 = x^2 $
展开计算：
$ 49 + x^2 - 2x + 1 = x^2 $
两边消去$ x^2 $后化简得：
$ 50 - 2x = 0 $
解得$ x=25 $。
经检验，$ x=25 $符合边长为正的实际意义，因此斜边长为25cm。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，将几何边长关系通过设未知数转化为代数方程求解是这类题的通用思路，计算时要注意完全平方展开不要漏项，得到结果后需验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3. 一个两位数，它的十位数字比个位数字大3，且十位数字与个位数字的积是28，求这个两位数.若设这个两位数的个位数字为$ x $，则下列方程正确的是（
A.$ x^2 + 3x - 28 = 0 $
B.$ x^2 - 3x - 28 = 0 $
C.$ x^2 + 3x + 28 = 0 $
D.$ x^2 - 3x + 28 = 0 $
A
）A.$ x^2 + 3x - 28 = 0 $
B.$ x^2 - 3x - 28 = 0 $
C.$ x^2 + 3x + 28 = 0 $
D.$ x^2 - 3x + 28 = 0 $
答案
3.A
解析
【分析】
要选出正确的方程，首先需用含个位数字x的代数式表示出十位数字，再根据题目给出的“十位数字与个位数字的积是28”这一等量关系列方程，最后整理为一元二次方程的一般形式，匹配对应选项即可。首先已知十位数字比个位数字大3，个位为x，那么十位数字就是x+3，再结合两个数字的乘积为28的条件列方程化简就能得到结果。
【解析】
设这个两位数的个位数字为$x$，
∵ 十位数字比个位数字大3，
∴ 十位数字为$x+3$，
又
∵ 十位数字与个位数字的积是28，
∴ 可列方程：$x(x+3)=28$，
将方程展开并移项整理得：$x^2 + 3x - 28 = 0$，
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用；列代数式表示数量关系
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确用含未知数的代数式表示出十位数字，再找准等量关系列方程，注意最终要整理为一元二次方程的一般形式再匹配选项。
【难度系数】
0.8
要选出正确的方程，首先需用含个位数字x的代数式表示出十位数字，再根据题目给出的“十位数字与个位数字的积是28”这一等量关系列方程，最后整理为一元二次方程的一般形式，匹配对应选项即可。首先已知十位数字比个位数字大3，个位为x，那么十位数字就是x+3，再结合两个数字的乘积为28的条件列方程化简就能得到结果。
【解析】
设这个两位数的个位数字为$x$，
∵ 十位数字比个位数字大3，
∴ 十位数字为$x+3$，
又
∵ 十位数字与个位数字的积是28，
∴ 可列方程：$x(x+3)=28$，
将方程展开并移项整理得：$x^2 + 3x - 28 = 0$，
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用；列代数式表示数量关系
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确用含未知数的代数式表示出十位数字，再找准等量关系列方程，注意最终要整理为一元二次方程的一般形式再匹配选项。
【难度系数】
0.8
4.某住宅小区6月1日～5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是
30
$\mathrm{m}^3$.答案
4.30
解析
【分析】
要计算这5天平均每天的用水量，首先需要从折线统计图中准确读取6月1日~5日每天的用水量，再根据算术平均数的计算公式：平均用水量=5天总用水量÷天数，代入数据计算即可。
【解析】
首先从统计图中读取每天的用水量：
6月1日用水量$30\mathrm{m}^3$，6月2日用水量$40\mathrm{m}^3$，6月3日用水量$20\mathrm{m}^3$，6月4日用水量$30\mathrm{m}^3$，6月5日用水量$30\mathrm{m}^3$。
先计算5天总用水量：
$30+40+20+30+30=150(\mathrm{m}^3)$
再计算平均每天用水量：
$150÷5=30(\mathrm{m}^3)$
【答案】
30
【知识点】
折线统计图识别、算术平均数计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确从折线统计图中提取各天的用水量信息，再结合平均数公式计算，计算过程中注意避免读数错误和计算失误即可。
【难度系数】
0.8
要计算这5天平均每天的用水量，首先需要从折线统计图中准确读取6月1日~5日每天的用水量，再根据算术平均数的计算公式：平均用水量=5天总用水量÷天数，代入数据计算即可。
【解析】
首先从统计图中读取每天的用水量：
6月1日用水量$30\mathrm{m}^3$，6月2日用水量$40\mathrm{m}^3$，6月3日用水量$20\mathrm{m}^3$，6月4日用水量$30\mathrm{m}^3$，6月5日用水量$30\mathrm{m}^3$。
先计算5天总用水量：
$30+40+20+30+30=150(\mathrm{m}^3)$
再计算平均每天用水量：
$150÷5=30(\mathrm{m}^3)$
【答案】
30
【知识点】
折线统计图识别、算术平均数计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确从折线统计图中提取各天的用水量信息，再结合平均数公式计算，计算过程中注意避免读数错误和计算失误即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$. 添加条件 ______（写出一个即可），使得四边形 $ABCD$ 是矩形.
答案
5.$∠ BAD=90°$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先明确题干已知前提：四边形ABCD是平行四边形，我们需要添加条件使其变为矩形，接下来回忆平行四边形转化为矩形的判定定理：①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形。我们只需从这两个判定方向出发，任选一个对应条件添加即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可添加条件∠BAD=90°，此时平行四边形ABCD满足矩形的判定要求，即为矩形。（也可添加AC=BD、∠ABC=90°等符合判定规则的条件）
【答案】
∠BAD=90°（答案不唯一）
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对矩形判定规则的掌握，结合题目给出的平行四边形前提，匹配对应的矩形判定条件即可作答，答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.9
首先明确题干已知前提：四边形ABCD是平行四边形，我们需要添加条件使其变为矩形，接下来回忆平行四边形转化为矩形的判定定理：①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形。我们只需从这两个判定方向出发，任选一个对应条件添加即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可添加条件∠BAD=90°，此时平行四边形ABCD满足矩形的判定要求，即为矩形。（也可添加AC=BD、∠ABC=90°等符合判定规则的条件）
【答案】
∠BAD=90°（答案不唯一）
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对矩形判定规则的掌握，结合题目给出的平行四边形前提，匹配对应的矩形判定条件即可作答，答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.9
6. 某队要从甲、乙两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩（单位：分）如图所示，
甲
选手的成绩更稳定.答案
6.甲
解析
【分析】
要判断哪位选手成绩更稳定，需通过比较两人成绩的方差判断，方差越小成绩越稳定。解题步骤如下：首先从折线统计图中分别读取甲、乙两名选手五次的测试成绩；其次分别计算两人成绩的平均数；再分别计算两人成绩的方差；最后比较方差大小，方差更小的选手成绩更稳定。
【解析】
首先读取两人五次测试成绩：
甲选手成绩：7分、8分、8分、9分、8分
乙选手成绩：10分、8分、11分、6分、5分
1. 计算两人成绩的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{7+8+8+9+8}{5}=8$（分）
$\overline{x}_乙=\frac{10+8+11+6+5}{5}=8$（分）
2. 计算两人成绩的方差：
$S^2_甲=\frac{(7-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2}{5}=\frac{1+0+0+1+0}{5}=0.4$
$S^2_乙=\frac{(10-8)^2+(8-8)^2+(11-8)^2+(6-8)^2+(5-8)^2}{5}=\frac{4+0+9+4+9}{5}=5.2$
3. 比较方差大小：
因为$0.4＜5.2$，即$S^2_甲＜S^2_乙$，方差越小成绩越稳定，所以甲选手的成绩更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
折线统计图，方差计算，方差的意义
【点评】
本题将折线统计图与方差的应用结合，解题时需先准确从统计图中提取对应数据，再利用方差的性质判断数据稳定性，掌握“方差越小，数据波动越小、成绩越稳定”是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要判断哪位选手成绩更稳定，需通过比较两人成绩的方差判断，方差越小成绩越稳定。解题步骤如下：首先从折线统计图中分别读取甲、乙两名选手五次的测试成绩；其次分别计算两人成绩的平均数；再分别计算两人成绩的方差；最后比较方差大小，方差更小的选手成绩更稳定。
【解析】
首先读取两人五次测试成绩：
甲选手成绩：7分、8分、8分、9分、8分
乙选手成绩：10分、8分、11分、6分、5分
1. 计算两人成绩的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{7+8+8+9+8}{5}=8$（分）
$\overline{x}_乙=\frac{10+8+11+6+5}{5}=8$（分）
2. 计算两人成绩的方差：
$S^2_甲=\frac{(7-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2}{5}=\frac{1+0+0+1+0}{5}=0.4$
$S^2_乙=\frac{(10-8)^2+(8-8)^2+(11-8)^2+(6-8)^2+(5-8)^2}{5}=\frac{4+0+9+4+9}{5}=5.2$
3. 比较方差大小：
因为$0.4＜5.2$，即$S^2_甲＜S^2_乙$，方差越小成绩越稳定，所以甲选手的成绩更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
折线统计图，方差计算，方差的意义
【点评】
本题将折线统计图与方差的应用结合，解题时需先准确从统计图中提取对应数据，再利用方差的性质判断数据稳定性，掌握“方差越小，数据波动越小、成绩越稳定”是解题的核心。
【难度系数】
0.7
