12. 如图,将一张矩形纸片ABCD沿MN所在的直线折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,MN交BC于点M,交AD于点N.
(1)求证:$CM=CN$;
(2)若$△ CMN$的面积与$△ CDN$的面积的比为$3:1$,求$\frac{MN}{DN}$的值.

12.解:(1)证明:由折叠的性质可得$∠ ENM=∠ DNM$,而$∠ ENA=∠ DNC$,$\therefore ∠ ENM-∠ ENA=∠ DNM-∠ DNC$,即$∠ ANM=∠ CNM$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠ ANM=∠ CMN$,$\therefore ∠ CNM=∠ CMN$,$\therefore CM=CN$.
(2)如图,过点 $N$ 作 $NH⊥ BC$ 于点 $H$,则四边形 $NHCD$ 是矩形,$\therefore HC=DN$,$NH=DC$.$\because△ CMN$ 的面积与$△ CDN$ 的面积的比为 $3:1$,$\therefore \frac{S_{△ CMN}}{S_{△ CDN}}=\frac{\frac{1}{2}· MC· NH}{\frac{1}{2}· DN· DC}=\frac{MC}{ND}=3$,$\therefore MC=3ND=3HC$,$\therefore MH=2HC$.设$DN=x$,那么 $HC=x$,$MH=2x$,$\therefore CM=3x=CN$. 在 $\mathrm{Rt}△ CHN$ 中,$HN=\sqrt{CN^2-HC^2}=2\sqrt{2}x$. 在$\mathrm{Rt}△ MNH$ 中,$MN=\sqrt{MH^2+HN^2}=2\sqrt{3}x$,$\therefore \frac{MN}{DN}=\frac{2\sqrt{3}x}{x}=2\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 要证明$CM=CN$，可通过等角对等边的思路推导：先利用折叠的性质得到对应角相等，结合对顶角相等推出$∠ ANM=∠ CNM$；再利用矩形对边平行的性质得到内错角$∠ ANM=∠ CMN$，进而推出$∠ CNM=∠ CMN$，即可得证。
(2) 要求$\frac{MN}{DN}$的比值，先根据两个三角形的面积比，结合二者高均等于矩形的宽，推出$MC$和$DN$的数量关系；过$N$作$NH⊥ BC$构造矩形，将$DN$转化为$HC$，设$DN$为参数$x$，用$x$表示出各相关线段长度，再分别在两个直角三角形中用勾股定理计算$HN$和$MN$的长度，即可求出比值。
【解析】
(1) 证明：由折叠的性质可得$∠ ENM=∠ DNM$，
又$\because ∠ ENA=∠ DNC$（对顶角相等），
$\therefore ∠ ENM-∠ ENA=∠ DNM-∠ DNC$，即$∠ ANM=∠ CNM$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ ANM=∠ CMN$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ CNM=∠ CMN$，
$\therefore CM=CN$（等角对等边）。
(2) 解：如图，过点$N$作$NH⊥ BC$于点$H$，则四边形$NHCD$是矩形，
$\therefore HC=DN$，$NH=DC$。
$\because △ CMN$的面积与$△ CDN$的面积的比为$3:1$，
$\therefore \frac{S_{△ CMN}}{S_{△ CDN}}=\frac{\frac{1}{2}· MC· NH}{\frac{1}{2}· DN· DC}=\frac{MC}{ND}=3$，
$\therefore MC=3ND=3HC$，
$\therefore MH=MC-HC=2HC$。
设$DN=x$，那么$HC=x$，$MH=2x$，
由(1)得$CM=CN=3x$，
在$\mathrm{Rt}△ CHN$中，$HN=\sqrt{CN^2-HC^2}=\sqrt{(3x)^2-x^2}=2\sqrt{2}x$，
在$\mathrm{Rt}△ MNH$中，$MN=\sqrt{MH^2+HN^2}=\sqrt{(2x)^2+(2\sqrt{2}x)^2}=2\sqrt{3}x$，
$\therefore \frac{MN}{DN}=\frac{2\sqrt{3}x}{x}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 已证$CM=CN$；
(2) $\frac{MN}{DN}=2\sqrt{3}$

【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，第一问侧重角的等量转化，结合折叠性质和平行线性质即可完成证明；第二问通过面积比得到线段数量关系，用参数法结合勾股定理求解线段比值，是几何比值类问题的典型考法，需要掌握辅助线构造方法和参数法解题技巧。
【难度系数】
0.6

13. 某杨梅采摘园收费信息如下表：

(1)某公司员工(均为成人)在该杨梅采摘园组织团建活动,共支付票价384元,求参加这次团建的共有多少人；
(2)某社团共35人去该采摘园进行综合实践活动,购买了10张儿童票,其余均为成人票,总费用不超过1 530元,求本次活动他们最多能带出多少千克杨梅.

13.解:(1)设参加这次团建的共有 $x$ 人. 由题意知 $10×30=300$(元),$\therefore x＞10$. 依题意得 $x[30-(x-10)]=384$,解得 $x=16$ 或 $x=24$. 当 $x=16$ 时,$30-(16-10)=24＞18$;当 $x=24$ 时,$30-(24-10)=16＜18$,不符合题意,$\therefore$ 参加这次团建的共有 16 人.
(2)$\because 35-10=25$(人),$25＞10$,$\therefore 30-(25-10)=15$(元),$15＜18$,$\therefore$ 该社团购买的成人票为 18 元/人. 设本次活动他们最多带出 $y$ kg 杨梅,由题意,得 $10×18+25×18+60y≤1\ 530$,解得 $y≤15$. 答:本次活动他们最多能带出 15 kg 杨梅.

【分析】
(1) 先判断团建人数范围：10个成人的总票价为10×30=300元，小于实际支付的384元，因此人数超过10人。设人数为x，超过10人时人均票价为[30-(x-10)]元，根据“总票价=人数×人均票价”列方程求解，注意人均票价不能低于18元，需对解出的结果进行检验，舍去不符合要求的解。
(2) 先计算成人人数为35-10=25人，先按票价规则计算25个成人的原人均票价为30-(25-10)=15元，低于儿童票价18元，因此成人票按18元/人计算。设带出y kg杨梅，根据“儿童票总费用+成人票总费用+杨梅总费用≤1530”列不等式，解不等式得到y的最大值即可。
【解析】
(1) 设参加这次团建的共有$x$人。
首先计算10名成人的总票价：$10×30=300$元，$300＜384$，因此$x＞10$。
根据题意列方程：
$x[30-(x-10)]=384$
整理得$x^2-40x+384=0$，解得$x_1=16$，$x_2=24$。
检验：当$x=16$时，人均票价为$30-(16-10)=24$元，$24＞18$，符合要求；当$x=24$时，人均票价为$30-(24-10)=16$元，$16＜18$，不符合票价最低要求，舍去。
(2) 社团成人人数为$35-10=25$人，$25＞10$，按规则计算人均票价为$30-(25-10)=15$元，$15＜18$，因此成人票按18元/人计算。
设本次活动最多能带出$y$ kg杨梅，根据总费用不超过1530元，列不等式：
$10×18 + 25×18 + 60y ≤ 1530$
计算得$180+450+60y ≤1530$，即$60y ≤900$，解得$y≤15$。
【答案】
(1) 参加这次团建的共有$\boxed{16}$人；
(2) 本次活动他们最多能带出$\boxed{15}$kg杨梅。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，分段计费问题
【点评】
本题结合生活中的采摘收费场景，考查了方程与不等式的实际应用，解题的关键是准确理解表格中的分段收费规则，尤其要注意成人票价的最低限制，避免忽略对解的合理性检验，是实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7