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10. 已知(1)班和(2)班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图所示. 下列说法正确的是（
A.(1)班成绩比(2)班成绩集中
B.(1)班成绩的第75百分位数是80分
C.(1)班有同学的成绩超过140分
D.(1)班成绩的平均分高于(2)班成绩的平均分
C
）A.(1)班成绩比(2)班成绩集中
B.(1)班成绩的第75百分位数是80分
C.(1)班有同学的成绩超过140分
D.(1)班成绩的平均分高于(2)班成绩的平均分
答案
10.C
解析
【分析】
解题时首先要明确箱线图各部分代表的含义：箱体上下边分别对应第75百分位数、第25百分位数，中间线是中位数，“×”是平均值，“●”是异常值，箱体上下延伸的竖线端点是除异常值外的最值，再结合每个选项逐一判断即可。
【解析】
结合箱线图的含义分析各选项：
A. 数据的集中程度可通过箱体高度判断，箱体越矮说明中间50%的数据越集中，图中(2)班箱体比(1)班更矮，因此(2)班成绩更集中，A错误；
B. 箱体的上边界对应第75百分位数，(1)班箱体上边界约为110分，下边界约为80分（对应第25百分位数），B错误；
C. 图中(1)班存在1个异常值（黑点）在140分以上，说明(1)班有同学成绩超过140分，C正确；
D. “×”代表平均值，观察可知(1)班的平均值低于(2)班的平均值，D错误。
【答案】
C
【知识点】
箱线图的识别,百分位数,平均数
【点评】
本题属于统计基础题，核心考查箱线图的相关概念，需要结合图形信息快速提取数据的集中趋势、离散程度等特征，掌握箱线图各部分的含义是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确箱线图各部分代表的含义：箱体上下边分别对应第75百分位数、第25百分位数，中间线是中位数，“×”是平均值，“●”是异常值，箱体上下延伸的竖线端点是除异常值外的最值，再结合每个选项逐一判断即可。
【解析】
结合箱线图的含义分析各选项：
A. 数据的集中程度可通过箱体高度判断，箱体越矮说明中间50%的数据越集中，图中(2)班箱体比(1)班更矮，因此(2)班成绩更集中，A错误；
B. 箱体的上边界对应第75百分位数，(1)班箱体上边界约为110分，下边界约为80分（对应第25百分位数），B错误；
C. 图中(1)班存在1个异常值（黑点）在140分以上，说明(1)班有同学成绩超过140分，C正确；
D. “×”代表平均值，观察可知(1)班的平均值低于(2)班的平均值，D错误。
【答案】
C
【知识点】
箱线图的识别,百分位数,平均数
【点评】
本题属于统计基础题，核心考查箱线图的相关概念，需要结合图形信息快速提取数据的集中趋势、离散程度等特征，掌握箱线图各部分的含义是解题的核心。
【难度系数】
0.7
11. 如图，A，B两点的坐标分别为$(5,0)$，$(1,3)$，C是平面直角坐标系内的一点.若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为________.
答案
11.$(-4,3)$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们先回忆菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，对边平行且相等，且四条边长度都相等。解题步骤如下：第一步，先计算已知的O、A、B三点两两之间的线段长度，确定相等的线段；第二步，分三种情况讨论以O、A、B、C为顶点的平行四边形（菱形首先是平行四边形），根据平行四边形对角线中点重合的性质计算C点坐标；第三步，验证每种情况的平行四边形是否满足邻边相等，即是否为菱形，筛选出符合条件的C点坐标。
【解析】
已知$O(0,0)$、$A(5,0)$、$B(1,3)$，按以下步骤求解：
1. 计算已知线段长度：
$OA=\sqrt{(5-0)^2+(0-0)^2}=5$
$AB=\sqrt{(5-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=5$
$OB=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}$
2. 结合平行四边形对角线中点重合的性质，分情况求C点坐标并验证：
① 若OA为对角线：OA中点为$(2.5,0)$，则BC中点也为$(2.5,0)$，设$C(x,y)$，可得$\frac{1+x}{2}=2.5$，$\frac{3+y}{2}=0$，解得$x=4,y=-3$。此时平行四边形邻边$AB=5$、$OB=\sqrt{10}$不相等，不是菱形，排除。
② 若AB为对角线：AB中点为$(3,1.5)$，则OC中点也为$(3,1.5)$，可得$\frac{x}{2}=3$，$\frac{y}{2}=1.5$，解得$x=6,y=3$。此时平行四边形邻边$OA=5$、$OB=\sqrt{10}$不相等，不是菱形，排除。
③ 若OB为对角线：OB中点为$(0.5,1.5)$，则AC中点也为$(0.5,1.5)$，可得$\frac{5+x}{2}=0.5$，$\frac{y}{2}=1.5$，解得$x=-4,y=3$。此时验证边长：$OC=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$，$BC=\sqrt{(1+4)^2+(3-3)^2}=5$，四条边均为5，满足菱形条件。
【答案】
$(-4,3)$
【知识点】
菱形的性质，两点间距离计算，平行四边形坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何判定结合的典型题型，需要掌握平行四边形的中点坐标规律，分类讨论不同对角线的情况，再结合菱形四边相等的性质排除不符合的情况，考查分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们先回忆菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，对边平行且相等，且四条边长度都相等。解题步骤如下：第一步，先计算已知的O、A、B三点两两之间的线段长度，确定相等的线段；第二步，分三种情况讨论以O、A、B、C为顶点的平行四边形（菱形首先是平行四边形），根据平行四边形对角线中点重合的性质计算C点坐标；第三步，验证每种情况的平行四边形是否满足邻边相等，即是否为菱形，筛选出符合条件的C点坐标。
【解析】
已知$O(0,0)$、$A(5,0)$、$B(1,3)$，按以下步骤求解：
1. 计算已知线段长度：
$OA=\sqrt{(5-0)^2+(0-0)^2}=5$
$AB=\sqrt{(5-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=5$
$OB=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}$
2. 结合平行四边形对角线中点重合的性质，分情况求C点坐标并验证：
① 若OA为对角线：OA中点为$(2.5,0)$，则BC中点也为$(2.5,0)$，设$C(x,y)$，可得$\frac{1+x}{2}=2.5$，$\frac{3+y}{2}=0$，解得$x=4,y=-3$。此时平行四边形邻边$AB=5$、$OB=\sqrt{10}$不相等，不是菱形，排除。
② 若AB为对角线：AB中点为$(3,1.5)$，则OC中点也为$(3,1.5)$，可得$\frac{x}{2}=3$，$\frac{y}{2}=1.5$，解得$x=6,y=3$。此时平行四边形邻边$OA=5$、$OB=\sqrt{10}$不相等，不是菱形，排除。
③ 若OB为对角线：OB中点为$(0.5,1.5)$，则AC中点也为$(0.5,1.5)$，可得$\frac{5+x}{2}=0.5$，$\frac{y}{2}=1.5$，解得$x=-4,y=3$。此时验证边长：$OC=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$，$BC=\sqrt{(1+4)^2+(3-3)^2}=5$，四条边均为5，满足菱形条件。
【答案】
$(-4,3)$
【知识点】
菱形的性质，两点间距离计算，平行四边形坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何判定结合的典型题型，需要掌握平行四边形的中点坐标规律，分类讨论不同对角线的情况，再结合菱形四边相等的性质排除不符合的情况，考查分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,BE=CF,连接 AE,BF 交于点 O,M为 AB 的中点,连接 OM.求证:$AB=2OM$.
答案
12.证明:易证$△ ABE ≌ △ BCF$,$\therefore ∠ BAE = ∠ CBF$.$\because ∠ ABO + ∠ CBF = 90°$,$\therefore ∠ ABO + ∠ BAO = 90°$,即$∠ AOB=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,$\because M$是斜边$AB$的中点,$\therefore OM=\dfrac{1}{2}AB$,即$AB=2OM$.
解析
【分析】
要证明AB=2OM，已知M是AB的中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此只需先证明△AOB是直角三角形（即∠AOB=90°）。要证∠AOB=90°，先利用正方形的边、角特征，结合已知BE=CF证明△ABE≌△BCF，通过全等得到对应角相等，再通过角的代换推出∠BAE+∠ABO=90°，即可得到∠AOB=90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可推导出结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ ∠ ABE=∠ BCF\\ BE=CF\end{array} $
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF。
∵∠ABO+∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠BAE=90°，
∴∠AOB=90°，即△ABO为直角三角形。
∵M是Rt△ABO斜边AB的中点，
∴OM=$\dfrac{1}{2}$AB，即AB=2OM。
【答案】
证明:易证$△ ABE ≌ △ BCF$,$\therefore ∠ BAE = ∠ CBF$.$\because ∠ ABO + ∠ CBF = 90°$,$\therefore ∠ ABO + ∠ BAO = 90°$,即$∠ AOB=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,$\because M$是斜边$AB$的中点,$\therefore OM=\dfrac{1}{2}AB$,即$AB=2OM$.
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查基础几何性质的综合运用，解题关键是通过全等三角形推导角的关系得到垂直，再结合直角三角形的性质得到线段的倍分关系，逻辑链条清晰，有助于巩固全等三角形和特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
要证明AB=2OM，已知M是AB的中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此只需先证明△AOB是直角三角形（即∠AOB=90°）。要证∠AOB=90°，先利用正方形的边、角特征，结合已知BE=CF证明△ABE≌△BCF，通过全等得到对应角相等，再通过角的代换推出∠BAE+∠ABO=90°，即可得到∠AOB=90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可推导出结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ ∠ ABE=∠ BCF\\ BE=CF\end{array} $
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF。
∵∠ABO+∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠BAE=90°，
∴∠AOB=90°，即△ABO为直角三角形。
∵M是Rt△ABO斜边AB的中点，
∴OM=$\dfrac{1}{2}$AB，即AB=2OM。
【答案】
证明:易证$△ ABE ≌ △ BCF$,$\therefore ∠ BAE = ∠ CBF$.$\because ∠ ABO + ∠ CBF = 90°$,$\therefore ∠ ABO + ∠ BAO = 90°$,即$∠ AOB=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,$\because M$是斜边$AB$的中点,$\therefore OM=\dfrac{1}{2}AB$,即$AB=2OM$.
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查基础几何性质的综合运用，解题关键是通过全等三角形推导角的关系得到垂直，再结合直角三角形的性质得到线段的倍分关系，逻辑链条清晰，有助于巩固全等三角形和特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
