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19. [新定义]若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程 $ x - 1 = 3 $ 的解为 $ x = 4 $，而不等式组 $ \begin{cases} x - 1 ＞ 1, \\ x - 2 ＜ 3 \end{cases} $ 的解集为 $ 2 ＜ x ＜ 5 $，不难发现 $ x = 4 $ 在 $ 2 ＜ x ＜ 5 $ 的范围内，所以方程 $ x - 1 = 3 $ 是不等式组 $ \begin{cases} x - 1 ＞ 1, \\ x - 2 ＜ 3 \end{cases} $ 的“相依方程”。
(1)请判断 $ 4(x - 1) - 1 = 3(x - 2) $ 是不是不等式组 $ \begin{cases} 2x + 3 ≤ x + 11, \\ \dfrac{2x + 5}{3} - 1 ＞ 4 - x \end{cases} $ 的“相依方程”，并说明理由；
(2)若关于 $ x $ 的方程 $ 4x - \dfrac{1}{2}m = 2( \dfrac{1}{4}m - x ) $ 是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} 3x + 1 ＜ m + 2, \\ \dfrac{x}{12} + \dfrac{1}{4}( \dfrac{8}{3} + 1 ) ≥ 1 \end{cases} $ 的“相依方程”，且此时不等式组有且只有两个整数解，求 $ m $ 的取值范围。
(1)请判断 $ 4(x - 1) - 1 = 3(x - 2) $ 是不是不等式组 $ \begin{cases} 2x + 3 ≤ x + 11, \\ \dfrac{2x + 5}{3} - 1 ＞ 4 - x \end{cases} $ 的“相依方程”，并说明理由；
(2)若关于 $ x $ 的方程 $ 4x - \dfrac{1}{2}m = 2( \dfrac{1}{4}m - x ) $ 是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} 3x + 1 ＜ m + 2, \\ \dfrac{x}{12} + \dfrac{1}{4}( \dfrac{8}{3} + 1 ) ≥ 1 \end{cases} $ 的“相依方程”，且此时不等式组有且只有两个整数解，求 $ m $ 的取值范围。
答案
19.解:(1)$4(x-1)-1=3(x-2)$不是不等式组$\begin{cases} 2x+3≤ x+11,\\\frac{2x+5}{3}-1＞4-x\end{cases}$的“相依方程”,理由如下:
$4(x-1)-1=3(x-2)$,$4x-4-1=3x-6$,解得$x=-1$.
$\begin{cases} 2x+3≤ x+11,①\\\frac{2x+5}{3}-1＞4-x,②\end{cases}$
由①得$x≤8$,由②得$x＞2$,$\therefore2＜x≤8$.
∵$x=-1$不在$2＜x≤8$的范围内,
$\therefore4(x-1)-1=3(x-2)$不是不等式组$\begin{cases} 2x+3≤ x+11,\\\frac{2x+5}{3}-1＞4-x\end{cases}$的“相依方程”.
(2)$4x-\frac{1}{2}m=2(\frac{1}{4}m-x)$,解得$x=\frac{m}{6}$.
$\begin{cases} 3x+1＜m+2,①\\\frac{x}{12}+\frac{1}{4}(\frac{8}{3}+1)≥1,②\end{cases}$由①得$x＜\frac{m+1}{3}$,由②得$x≥1$,
∴不等式组的解集是$1≤ x＜\frac{m+1}{3}$.
∵不等式组有且只有两个整数解,$\therefore2＜\frac{m+1}{3}≤3$,解得$5＜m≤8$.
∵方程$4x-\frac{1}{2}m=2(\frac{1}{4}m-x)$是关于$x$的不等式组$\begin{cases} 3x+1＜m+2,\\\frac{x}{12}+\frac{1}{4}(\frac{8}{3}+1)≥1\end{cases}$的“相依方程”,
$\therefore1≤\frac{m}{6}＜\frac{m+1}{3}$,解得$m≥6$,$\therefore6≤ m≤8$.
$4(x-1)-1=3(x-2)$,$4x-4-1=3x-6$,解得$x=-1$.
$\begin{cases} 2x+3≤ x+11,①\\\frac{2x+5}{3}-1＞4-x,②\end{cases}$
由①得$x≤8$,由②得$x＞2$,$\therefore2＜x≤8$.
∵$x=-1$不在$2＜x≤8$的范围内,
$\therefore4(x-1)-1=3(x-2)$不是不等式组$\begin{cases} 2x+3≤ x+11,\\\frac{2x+5}{3}-1＞4-x\end{cases}$的“相依方程”.
(2)$4x-\frac{1}{2}m=2(\frac{1}{4}m-x)$,解得$x=\frac{m}{6}$.
$\begin{cases} 3x+1＜m+2,①\\\frac{x}{12}+\frac{1}{4}(\frac{8}{3}+1)≥1,②\end{cases}$由①得$x＜\frac{m+1}{3}$,由②得$x≥1$,
∴不等式组的解集是$1≤ x＜\frac{m+1}{3}$.
∵不等式组有且只有两个整数解,$\therefore2＜\frac{m+1}{3}≤3$,解得$5＜m≤8$.
∵方程$4x-\frac{1}{2}m=2(\frac{1}{4}m-x)$是关于$x$的不等式组$\begin{cases} 3x+1＜m+2,\\\frac{x}{12}+\frac{1}{4}(\frac{8}{3}+1)≥1\end{cases}$的“相依方程”,
$\therefore1≤\frac{m}{6}＜\frac{m+1}{3}$,解得$m≥6$,$\therefore6≤ m≤8$.
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“相依方程”的定义：若一元一次方程的解在对应一元一次不等式组的解集范围内，该方程就是不等式组的相依方程。
(1)问解题思路：先求解给出的一元一次方程得到方程的解，再解一元一次不等式组求出解集，最后判断方程的解是否在解集范围内，即可得出结论。
(2)问解题思路：首先解关于x的一元一次方程，用含m的代数式表示方程的解；接着解关于x的不等式组，用含m的代数式表示解集；先根据不等式组有且只有两个整数解的条件确定解集边界的取值范围，得到m的第一个范围；再根据“相依方程”的定义，让方程的解落在不等式组解集内，得到m的第二个范围；最后取两个范围的公共部分，即可得到m的最终取值范围。
【解析】
(1) 先解方程$4(x - 1) - 1 = 3(x - 2)$：
去括号得$4x - 4 - 1 = 3x - 6$，
移项合并同类项得$x = -1$。
再解不等式组$\begin{cases} 2x + 3 ≤ x + 11 \quad ① \\ \dfrac{2x + 5}{3} - 1 ＞ 4 - x \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2x - x ≤ 11 - 3$，解得$x ≤ 8$。
解不等式②：两边同乘3得$2x + 5 - 3 ＞ 12 - 3x$，移项合并得$5x ＞ 10$，解得$x ＞ 2$。
因此不等式组的解集为$2 ＜ x ≤ 8$。
由于$x = -1$不在$2 ＜ x ≤ 8$的范围内，故该方程不是这个不等式组的“相依方程”。
(2) 先解方程$4x - \dfrac{1}{2}m = 2( \dfrac{1}{4}m - x )$：
去括号得$4x - \dfrac{1}{2}m = \dfrac{1}{2}m - 2x$，
移项合并得$6x = m$，解得$x = \dfrac{m}{6}$。
再解不等式组$\begin{cases} 3x + 1 ＜ m + 2 \quad ① \\ \dfrac{x}{12} + \dfrac{1}{4}( \dfrac{8}{3} + 1 ) ≥ 1 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$3x ＜ m + 1$，解得$x ＜ \dfrac{m + 1}{3}$。
解不等式②：化简左边得$\dfrac{x}{12} + \dfrac{11}{12} ≥ 1$，两边同乘12得$x + 11 ≥ 12$，解得$x ≥ 1$。
因此不等式组的解集为$1 ≤ x ＜ \dfrac{m + 1}{3}$。
因为不等式组有且只有两个整数解，整数解只能是1和2，所以$2 ＜ \dfrac{m + 1}{3} ≤ 3$，解得$5 ＜ m ≤ 8$。
又因为该方程是不等式组的“相依方程”，所以方程的解$x = \dfrac{m}{6}$满足$1 ≤ \dfrac{m}{6} ＜ \dfrac{m + 1}{3}$，解得$m ≥ 6$。
取两个范围的公共部分，得$6 ≤ m ≤ 8$。
【答案】
(1) $4(x - 1) - 1 = 3(x - 2)$不是该不等式组的“相依方程”，理由见解析；
(2) $m$的取值范围是$6 ≤ m ≤ 8$。
【知识点】
一元一次方程解法，一元一次不等式组解法，新定义应用
【点评】
本题以新定义“相依方程”为载体，综合考查了一元一次方程、一元一次不等式组的求解以及参数范围的确定，解题关键是准确理解新定义的内涵，正确把握整数解的边界取值，能较好地考查学生的知识迁移能力和综合应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“相依方程”的定义：若一元一次方程的解在对应一元一次不等式组的解集范围内，该方程就是不等式组的相依方程。
(1)问解题思路：先求解给出的一元一次方程得到方程的解，再解一元一次不等式组求出解集，最后判断方程的解是否在解集范围内，即可得出结论。
(2)问解题思路：首先解关于x的一元一次方程，用含m的代数式表示方程的解；接着解关于x的不等式组，用含m的代数式表示解集；先根据不等式组有且只有两个整数解的条件确定解集边界的取值范围，得到m的第一个范围；再根据“相依方程”的定义，让方程的解落在不等式组解集内，得到m的第二个范围；最后取两个范围的公共部分，即可得到m的最终取值范围。
【解析】
(1) 先解方程$4(x - 1) - 1 = 3(x - 2)$：
去括号得$4x - 4 - 1 = 3x - 6$，
移项合并同类项得$x = -1$。
再解不等式组$\begin{cases} 2x + 3 ≤ x + 11 \quad ① \\ \dfrac{2x + 5}{3} - 1 ＞ 4 - x \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2x - x ≤ 11 - 3$，解得$x ≤ 8$。
解不等式②：两边同乘3得$2x + 5 - 3 ＞ 12 - 3x$，移项合并得$5x ＞ 10$，解得$x ＞ 2$。
因此不等式组的解集为$2 ＜ x ≤ 8$。
由于$x = -1$不在$2 ＜ x ≤ 8$的范围内，故该方程不是这个不等式组的“相依方程”。
(2) 先解方程$4x - \dfrac{1}{2}m = 2( \dfrac{1}{4}m - x )$：
去括号得$4x - \dfrac{1}{2}m = \dfrac{1}{2}m - 2x$，
移项合并得$6x = m$，解得$x = \dfrac{m}{6}$。
再解不等式组$\begin{cases} 3x + 1 ＜ m + 2 \quad ① \\ \dfrac{x}{12} + \dfrac{1}{4}( \dfrac{8}{3} + 1 ) ≥ 1 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$3x ＜ m + 1$，解得$x ＜ \dfrac{m + 1}{3}$。
解不等式②：化简左边得$\dfrac{x}{12} + \dfrac{11}{12} ≥ 1$，两边同乘12得$x + 11 ≥ 12$，解得$x ≥ 1$。
因此不等式组的解集为$1 ≤ x ＜ \dfrac{m + 1}{3}$。
因为不等式组有且只有两个整数解，整数解只能是1和2，所以$2 ＜ \dfrac{m + 1}{3} ≤ 3$，解得$5 ＜ m ≤ 8$。
又因为该方程是不等式组的“相依方程”，所以方程的解$x = \dfrac{m}{6}$满足$1 ≤ \dfrac{m}{6} ＜ \dfrac{m + 1}{3}$，解得$m ≥ 6$。
取两个范围的公共部分，得$6 ≤ m ≤ 8$。
【答案】
(1) $4(x - 1) - 1 = 3(x - 2)$不是该不等式组的“相依方程”，理由见解析；
(2) $m$的取值范围是$6 ≤ m ≤ 8$。
【知识点】
一元一次方程解法，一元一次不等式组解法，新定义应用
【点评】
本题以新定义“相依方程”为载体，综合考查了一元一次方程、一元一次不等式组的求解以及参数范围的确定，解题关键是准确理解新定义的内涵，正确把握整数解的边界取值，能较好地考查学生的知识迁移能力和综合应用能力。
【难度系数】
0.6
