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17. 如图,直线$y_1=kx+b$经过$A(-2,-3),B(3,2)$两点. 在同一平面直角坐标系中画出函数$y_2=\frac{2}{3}x$的图象,根据图象回答下列问题:
(1)当$x＜1$时,写出$y_1$与$y_2$的大小关系;
(2)直接写出不等式$-3≤ kx+b＜\frac{2}{3}x$的解集.
(1)当$x＜1$时,写出$y_1$与$y_2$的大小关系;
(2)直接写出不等式$-3≤ kx+b＜\frac{2}{3}x$的解集.
答案
17.解:如图
.(1)当$x＜1$时,$y_1＜y_2$.
(2)当$-2≤x＜3$时,$-3≤kx+b＜\frac{2}{3}x$,
即不等式$-3≤kx+b＜\frac{2}{3}x$的解集为$-2≤x＜3$.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用待定系数法，将A、B两点坐标代入$y_1=kx+b$，求出一次函数$y_1$的解析式；2. 求$y_1$和$y_2$的交点坐标，交点处两个函数值相等，以此为分界点，观察图像就能判断不同x范围内两个函数的大小关系；3. 解不等式$-3≤kx+b＜\frac{2}{3}x$时，可拆成两个部分：①$kx+b≥-3$，对应$y_1$函数值不小于-3的x范围；②$kx+b＜\frac{2}{3}x$，对应$y_1$函数值小于$y_2$的x范围，两个范围的公共部分就是不等式的解集。解题过程中结合一次函数的增减性和图像的高低关系分析，运用数形结合思想即可解决问题。
【解析】
首先求$y_1=kx+b$的解析式：
将点$A(-2,-3)$、$B(3,2)$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases} -2k + b = -3 \\ 3k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=5$，解得$k=1$；
将$k=1$代入$-2×1 +b=-3$，解得$b=-1$，因此$y_1=x-1$。
再求$y_1$与$y_2=\frac{2}{3}x$的交点：
联立$\begin{cases} y=x-1 \\ y=\frac{2}{3}x \end{cases}$，解得$x=3$，$y=2$，即两个函数的交点为$B(3,2)$。
(1) 观察函数图像：$y_1$的斜率为1，大于$y_2$的斜率$\frac{2}{3}$，因此在交点$x=3$左侧，$y_1$的图像始终在$y_2$下方，即$x＜3$时$y_1＜y_2$。
因为$x＜1$属于$x＜3$的范围，因此当$x＜1$时，$y_1＜y_2$。
(2) 解不等式$-3≤kx+b＜\frac{2}{3}x$：
① 解$-3≤kx+b$，即$y_1≥-3$：
点$A(-2,-3)$在$y_1$上，且$y_1$随$x$的增大而增大，因此当$x≥-2$时，$y_1≥-3$。
② 解$kx+b＜\frac{2}{3}x$，即$y_1＜y_2$：
两函数交点为$x=3$，$x＜3$时$y_1$图像在$y_2$下方，即$x＜3$时满足$y_1＜y_2$。
取两个范围的公共部分，得$-2≤x＜3$，即为不等式的解集。
【答案】
17.解:如图.
(1)当$x＜1$时,$y_1＜y_2$.
(2)不等式$-3≤kx+b＜\frac{2}{3}x$的解集为$-2≤x＜3$.
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，一次函数的图像性质
【点评】
本题是一次函数章节的典型题型，侧重考查数形结合思想的应用，将代数的不等式问题转化为几何的函数图像高低关系是解题核心，要求学生熟练掌握一次函数解析式的求法，能结合图像分析函数值的大小关系。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用待定系数法，将A、B两点坐标代入$y_1=kx+b$，求出一次函数$y_1$的解析式；2. 求$y_1$和$y_2$的交点坐标，交点处两个函数值相等，以此为分界点，观察图像就能判断不同x范围内两个函数的大小关系；3. 解不等式$-3≤kx+b＜\frac{2}{3}x$时，可拆成两个部分：①$kx+b≥-3$，对应$y_1$函数值不小于-3的x范围；②$kx+b＜\frac{2}{3}x$，对应$y_1$函数值小于$y_2$的x范围，两个范围的公共部分就是不等式的解集。解题过程中结合一次函数的增减性和图像的高低关系分析，运用数形结合思想即可解决问题。
【解析】
首先求$y_1=kx+b$的解析式：
将点$A(-2,-3)$、$B(3,2)$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases} -2k + b = -3 \\ 3k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=5$，解得$k=1$；
将$k=1$代入$-2×1 +b=-3$，解得$b=-1$，因此$y_1=x-1$。
再求$y_1$与$y_2=\frac{2}{3}x$的交点：
联立$\begin{cases} y=x-1 \\ y=\frac{2}{3}x \end{cases}$，解得$x=3$，$y=2$，即两个函数的交点为$B(3,2)$。
(1) 观察函数图像：$y_1$的斜率为1，大于$y_2$的斜率$\frac{2}{3}$，因此在交点$x=3$左侧，$y_1$的图像始终在$y_2$下方，即$x＜3$时$y_1＜y_2$。
因为$x＜1$属于$x＜3$的范围，因此当$x＜1$时，$y_1＜y_2$。
(2) 解不等式$-3≤kx+b＜\frac{2}{3}x$：
① 解$-3≤kx+b$，即$y_1≥-3$：
点$A(-2,-3)$在$y_1$上，且$y_1$随$x$的增大而增大，因此当$x≥-2$时，$y_1≥-3$。
② 解$kx+b＜\frac{2}{3}x$，即$y_1＜y_2$：
两函数交点为$x=3$，$x＜3$时$y_1$图像在$y_2$下方，即$x＜3$时满足$y_1＜y_2$。
取两个范围的公共部分，得$-2≤x＜3$，即为不等式的解集。
【答案】
17.解:如图
.(1)当$x＜1$时,$y_1＜y_2$.
(2)不等式$-3≤kx+b＜\frac{2}{3}x$的解集为$-2≤x＜3$.
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，一次函数的图像性质
【点评】
本题是一次函数章节的典型题型，侧重考查数形结合思想的应用，将代数的不等式问题转化为几何的函数图像高低关系是解题核心，要求学生熟练掌握一次函数解析式的求法，能结合图像分析函数值的大小关系。
【难度系数】
0.7
18. 根据以下素材,探索并完成任务.
背景
某学校拟向公交公司租借A,B两种车共8辆,用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动
素材1
A型车的最大载客量是50人,B型车的最大载客量是35人,已知A型车每辆的租金是450元,B型车每辆的租金是300元
素材2
八年级的师生共有305人,根据学校预算,租车的费用需要控制在2 900元(包含2 900元)以内
问题解决
任务1
根据素材2中该校八年级师生的实际情况,该如何租车?请给出所有满足条件的租车方案
任务2
在所有满足条件的租车方案中,花费最少的方案比预算2 900元省多少钱
背景
某学校拟向公交公司租借A,B两种车共8辆,用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动
素材1
A型车的最大载客量是50人,B型车的最大载客量是35人,已知A型车每辆的租金是450元,B型车每辆的租金是300元
素材2
八年级的师生共有305人,根据学校预算,租车的费用需要控制在2 900元(包含2 900元)以内
问题解决
任务1
根据素材2中该校八年级师生的实际情况,该如何租车?请给出所有满足条件的租车方案
任务2
在所有满足条件的租车方案中,花费最少的方案比预算2 900元省多少钱
答案
18.解:任务1:设租用A型车$a$辆,则租用B型车$(8-a)$辆,
根据题意,得$\begin{cases} 50a+35(8-a)≥305,\\450a+300(8-a)≤2\ 900,\end{cases}$
解得$\frac{5}{3}≤ a≤\frac{10}{3}$.
又
∵$a$为正整数,
∴$a$可以为2,3,
∴共有2种租车方案,
方案1:租用A型车2辆,B型车6辆;
方案2:租用A型车3辆,B型车5辆.
任务2:选择方案1所需总租金为$450×2+300×6=2\ 700$(元);
选择方案2所需总租金为$450×3+300×5=2\ 850$(元).
∵$2\ 700＜2\ 850,2\ 900-2\ 700=200$(元),
∴花费最少的方案比预算2 900元省200元.
根据题意,得$\begin{cases} 50a+35(8-a)≥305,\\450a+300(8-a)≤2\ 900,\end{cases}$
解得$\frac{5}{3}≤ a≤\frac{10}{3}$.
又
∵$a$为正整数,
∴$a$可以为2,3,
∴共有2种租车方案,
方案1:租用A型车2辆,B型车6辆;
方案2:租用A型车3辆,B型车5辆.
任务2:选择方案1所需总租金为$450×2+300×6=2\ 700$(元);
选择方案2所需总租金为$450×3+300×5=2\ 850$(元).
∵$2\ 700＜2\ 850,2\ 900-2\ 700=200$(元),
∴花费最少的方案比预算2 900元省200元.
解析
【分析】
这是一道利用一元一次不等式组解决实际租车方案的问题。解题时首先要明确题中的两个限制条件：一是总载客量要大于等于师生总人数305人，二是总租车费用不能超过预算2900元。第一步先设租用A型车的数量为未知数，用总车辆数表示B型车的数量，再根据两个限制条件列出不等式组，求解得到未知数的取值范围，结合车辆数为正整数的实际意义确定符合条件的取值，即可得到所有租车方案；第二问分别计算各个方案的租车费用，找到费用最低的方案，用预算减去最低费用即可得到节省的钱数。
【解析】
任务1：设租用A型车$a$辆，则租用B型车$(8-a)$辆，
根据题意，得$\begin{cases} 50a+35(8-a)≥305,\\450a+300(8-a)≤2\ 900,\end{cases}$
解第一个不等式：$50a+280-35a≥305$，整理得$15a≥25$，解得$a≥\frac{5}{3}$
解第二个不等式：$450a+2400-300a≤2900$，整理得$150a≤500$，解得$a≤\frac{10}{3}$
因此不等式组的解集为$\frac{5}{3}≤ a≤\frac{10}{3}$
∵$a$为正整数，
∴$a$可以为2，3，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆。
任务2：选择方案1所需总租金为$450×2+300×6=2\ 700$（元）；
选择方案2所需总租金为$450×3+300×5=2\ 850$（元）。
∵$2\ 700＜2\ 850$，$2\ 900-2\ 700=200$（元），
∴花费最少的方案比预算2900元省200元。
【答案】
任务1：共有2种租车方案，方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：花费最少的方案比预算2900元省200元。
【知识点】
一元一次不等式组的应用，方案设计，最优费用计算
【点评】
本题是贴近生活实际的应用类题型，解题的核心是准确抓住题干中的不等关系列出不等式组，同时要注意未知数的实际意义（车辆数为正整数），避免出现不符合实际的解，最后通过计算比较即可得到最优方案，能够有效考查学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元一次不等式组解决实际租车方案的问题。解题时首先要明确题中的两个限制条件：一是总载客量要大于等于师生总人数305人，二是总租车费用不能超过预算2900元。第一步先设租用A型车的数量为未知数，用总车辆数表示B型车的数量，再根据两个限制条件列出不等式组，求解得到未知数的取值范围，结合车辆数为正整数的实际意义确定符合条件的取值，即可得到所有租车方案；第二问分别计算各个方案的租车费用，找到费用最低的方案，用预算减去最低费用即可得到节省的钱数。
【解析】
任务1：设租用A型车$a$辆，则租用B型车$(8-a)$辆，
根据题意，得$\begin{cases} 50a+35(8-a)≥305,\\450a+300(8-a)≤2\ 900,\end{cases}$
解第一个不等式：$50a+280-35a≥305$，整理得$15a≥25$，解得$a≥\frac{5}{3}$
解第二个不等式：$450a+2400-300a≤2900$，整理得$150a≤500$，解得$a≤\frac{10}{3}$
因此不等式组的解集为$\frac{5}{3}≤ a≤\frac{10}{3}$
∵$a$为正整数，
∴$a$可以为2，3，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆。
任务2：选择方案1所需总租金为$450×2+300×6=2\ 700$（元）；
选择方案2所需总租金为$450×3+300×5=2\ 850$（元）。
∵$2\ 700＜2\ 850$，$2\ 900-2\ 700=200$（元），
∴花费最少的方案比预算2900元省200元。
【答案】
任务1：共有2种租车方案，方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：花费最少的方案比预算2900元省200元。
【知识点】
一元一次不等式组的应用，方案设计，最优费用计算
【点评】
本题是贴近生活实际的应用类题型，解题的核心是准确抓住题干中的不等关系列出不等式组，同时要注意未知数的实际意义（车辆数为正整数），避免出现不符合实际的解，最后通过计算比较即可得到最优方案，能够有效考查学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
