12. 解不等式组$\begin{cases}2x - 7 ＜ 3(x - 1),\\\dfrac{4}{3}x + 3 ≤ 1 - \dfrac{2}{3}x,\end{cases}$并写出所有整数解.

12.解:$\begin{cases} 2x-7＜3(x-1),①\\\frac{4}{3}x+3≤1-\frac{2}{3}x,②\end{cases}$
解不等式①,得 $x＞-4$,
解不等式②,得 $x≤-1$,
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图.
∴不等式组的解集为$-4＜x≤-1$,
∴不等式组的整数解为$-3,-2,-1$.

【分析】
要解决这个不等式组问题，需按以下思路推导：首先分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集，再找出两个解集的公共部分作为不等式组的最终解集，最后在解集范围内筛选出所有整数解。解一元一次不等式时遵循去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，注意移项要变号，若系数为负数，不等号方向需改变；确定公共解集可结合数轴判断，空心点对应数值不包含在解集中，实心点对应数值包含在解集中。
【解析】
先给不等式组标注序号：
$\begin{cases} 2x-7＜3(x-1),①\\\frac{4}{3}x+3≤1-\frac{2}{3}x,②\end{cases}$
1. 解不等式①：
去括号得：$2x - 7 ＜ 3x - 3$
移项得：$2x - 3x ＜ -3 +7$
合并同类项得：$-x ＜4$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ -4$
2. 解不等式②：
移项得：$\frac{4}{3}x + \frac{2}{3}x ≤ 1 - 3$
合并同类项得：$2x ≤ -2$
系数化为1得：$x ≤ -1$
3. 确定公共解集：两个解集的公共部分为$-4 ＜ x ≤ -1$，即不等式组的解集为$-4 ＜ x ≤ -1$。
4. 筛选整数解：在$-4 ＜ x ≤ -1$范围内的整数为-3、-2、-1。
【答案】
$\begin{cases} 2x-7＜3(x-1),①\\\frac{4}{3}x+3≤1-\frac{2}{3}x,②\end{cases}$
解不等式①,得 $x＞-4$,
解不等式②,得 $x≤-1$,
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图.
∴不等式组的解集为$-4＜x≤-1$,
∴不等式组的整数解为$-3,-2,-1$.
【知识点】
解一元一次不等式，解一元一次不等式组，求不等式组整数解
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题，重点考察解一元一次不等式的运算能力和不等式组解集的确定能力，解题时要注意移项的符号变化，确定解集和整数解时要准确判断边界值是否包含在内。
【难度系数】
0.8

13.学校组织八年级学生开展夏令营活动,准备租用45座和60座两种车型,若租用45座车,正好坐满,若租用60座车,则少租一辆,并且有一辆车没坐满,但人数超过一半,你知道学校八年级有多少名学生吗?

13.解:设租用45座车$x$辆,根据题意得
$\begin{cases} 45x-60(x-2)＜60,\\45x-60(x-2)＞30,\end{cases}$解得$4＜x＜6$.
∵$x$为整数,
∴$x=5$,
∴八年级的学生有$45×5=225$(名).
答:学校八年级有225名学生.

【分析】
这是一元一次不等式组的实际应用问题，解题时首先设租用45座车的数量为x辆，可表示出总人数为45x人。再分析租用60座车的情况：租用60座车时少租1辆，即租用(x-1)辆，其中前(x-2)辆是坐满60人的，最后1辆的人数为总人数减去前(x-2)辆的总载客量，根据“最后一辆没坐满但人数超过一半”，可得到两个不等关系：最后一辆的人数＜60，最后一辆的人数＞30，据此列出不等式组，求解得到x的取值范围，再结合x是正整数的隐含条件确定x的值，最后计算总人数即可。
【解析】
解：设租用45座车$x$辆，则八年级学生总人数为$45x$名。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 45x-60(x-2)＜60,\\45x-60(x-2)＞30,\end{cases}$
解第一个不等式：
$45x-60x+120＜60$
$-15x＜-60$
$x＞4$
解第二个不等式：
$45x-60x+120＞30$
$-15x＞-90$
$x＜6$
因此不等式组的解集为$4＜x＜6$。
∵$x$为车辆数，是正整数，
∴$x=5$，
∴八年级学生人数为$45×5=225$(名)。
答：学校八年级有225名学生。
【答案】
225名
【知识点】
一元一次不等式组应用、不等式组求解、整数解应用
【点评】
本题属于实际生活中的租车类问题，解题核心是准确提取题干中的不等关系建立不等式组，同时注意人数、车辆数均为正整数这一隐含限制条件，即可顺利求解。
【难度系数】
0.6

14.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-a≤ 0, \\ 1-2x＜3\end{cases}$有且仅有3个整数解,则$a$的取值范围是 （ ）

A.$2≤ a＜3$
B.$2＜ a≤ 3$
C.$2＜ a＜3$
D.$3≤ a＜4$

14.A

【分析】
解决含参数的一元一次不等式组整数解问题，可按以下思路推导：首先分别求解两个不等式，得到含参数a的不等式组解集；其次根据“仅有3个整数解”的限制，找出对应的整数解；最后结合整数解的范围确定参数a的边界，注意验证端点是否符合要求，避免错判端点的取舍。
【解析】
解：分别求解不等式组中的两个不等式：
① 解不等式 $x - a ≤ 0$，移项得：$x ≤ a$；
② 解不等式 $1 - 2x ＜ 3$，移项合并同类项得：$-2x ＜ 2$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＞ -1$。
因此不等式组的解集为 $\boldsymbol{-1 ＜ x ≤ a}$。
已知不等式组有且仅有3个整数解，大于$-1$的最小3个整数为0、1、2，即这三个为全部整数解。
要保证仅有这3个整数解，需满足：a≥2（保证能取到整数2），且a＜3（避免取到整数3，导致整数解变为4个），即 $2 ≤ a ＜ 3$。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解法，根据整数解求参数范围
【点评】
本题是不等式组的常考题型，解题关键是正确求出不等式组的解集，易错点为端点值的取舍，可通过代入端点验证的方式判断是否符合题意，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6

15. 如图，直线$y=kx+1$经过点$A(-1,3)$，则关于$x$的不等式$1＜kx+1＜3$的解集为________.

15.$-1＜x＜0$

【分析】
要解不等式1＜kx+1＜3，可结合一次函数的图象与性质分析：首先，式子kx+1就是直线y=kx+1的函数值，因此不等式的几何意义是找函数值y在1到3之间时对应的x的取值范围。首先确定y=1和y=3分别对应的x值：已知点A(-1,3)在直线上，即y=3时x=-1；再令y=1代入直线解析式，可求出对应x=0。再观察直线走势，直线从左上向右下倾斜，说明y随x的增大而减小，因此函数值介于1和3之间时，x的范围就在-1和0之间。也可以先求出k的值，再直接解不等式得到结果。
【解析】
方法一（数形结合法）：
1. 确定特殊点对应的x值：
① 已知直线y=kx+1过点A(-1,3)，即当y=3时，x=-1；
② 令y=1，代入y=kx+1得：1=kx+1，解得x=0。
2. 分析函数增减性：由图象可知直线呈下降趋势，因此y随x的增大而减小。
3. 不等式1＜kx+1＜3即1＜y＜3，结合增减性可得：当y在1到3之间时，对应的x取值为-1＜x＜0。
方法二（代数计算法）：
1. 先求k的值：将A(-1,3)代入y=kx+1，得3=-k+1，解得k=-2。
2. 代入不等式得：1＜-2x+1＜3，
解左边的不等式：1＜-2x+1，移项得0＜-2x，解得x＜0；
解右边的不等式：-2x+1＜3，移项得-2x＜2，解得x＞-1；
3. 取两个解集的公共部分，得-1＜x＜0。
【答案】
-1＜x＜0
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数增减性，一次函数图象
【点评】
本题可以通过代数计算或者数形结合两种方法求解，其中数形结合法更为直观简便，能帮助我们快速确定解集，是解决一次函数与不等式结合类问题的常用方法。
【难度系数】
0.7

16. 在平面直角坐标系中, 对于点$(x,y)$定义变换$P:P(x,y)=(1-\dfrac{1}{2}x,2+\dfrac{1}{3}y)$, 例如:
$P(2,3)=(1-1,2+1)=(0,3)$.
(1)$P(3,4)=$______;
(2)若点$P(P(2m,3m))$在第二象限, 则所有整数$m$的和为________.

16.(1)$(-\frac{1}{2},\frac{10}{3})$ (2)$-27$

【分析】
（1）第一问直接根据变换P的定义，将x=3、y=4代入变换公式计算即可得到结果。
（2）第二问需要分步计算：先根据变换规则求出内层变换P(2m,3m)的坐标，再将所得坐标代入变换公式，得到P(P(2m,3m))的横、纵坐标表达式；结合第二象限点的坐标特征（横坐标小于0，纵坐标大于0）列一元一次不等式组，求解得到m的取值范围，找出范围内的所有整数，求和即可。
【解析】
(1) 根据变换$P$的定义：$P(x,y)=(1-\dfrac{1}{2}x,2+\dfrac{1}{3}y)$，将$x=3,y=4$代入：
横坐标：$1-\dfrac{1}{2}×3=1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}$
纵坐标：$2+\dfrac{1}{3}×4=2+\dfrac{4}{3}=\dfrac{10}{3}$
故$P(3,4)=(-\dfrac{1}{2},\dfrac{10}{3})$。
(2) 先计算内层变换$P(2m,3m)$：
将$x=2m,y=3m$代入变换公式：
横坐标：$1-\dfrac{1}{2}×2m=1-m$
纵坐标：$2+\dfrac{1}{3}×3m=2+m$
即$P(2m,3m)=(1-m,2+m)$。
再计算$P(P(2m,3m))=P(1-m,2+m)$：
将$x=1-m,y=2+m$代入变换公式：
横坐标：$1-\dfrac{1}{2}(1-m)=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}m=\dfrac{1}{2}+\dfrac{m}{2}$
纵坐标：$2+\dfrac{1}{3}(2+m)=2+\dfrac{2}{3}+\dfrac{m}{3}=\dfrac{8}{3}+\dfrac{m}{3}$
因为该点在第二象限，所以满足：
$\begin{cases}\dfrac{1}{2}+\dfrac{m}{2}＜0 \\ \dfrac{8}{3}+\dfrac{m}{3}＞0\end{cases}$
解第一个不等式：两边同乘2得$1+m＜0$，解得$m＜-1$；
解第二个不等式：两边同乘3得$8+m＞0$，解得$m＞-8$。
因此$m$的取值范围是$-8＜m＜-1$，其中的整数为$-7,-6,-5,-4,-3,-2$，
整数和为：$(-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)=-27$。
【答案】
(1)$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{10}{3})$；(2)$-27$
【知识点】
新定义运算；象限坐标特征；一元一次不等式组解法
【点评】
本题结合新定义变换考查了坐标系相关知识与不等式组的应用，解题的核心是准确理解新变换的运算规则，分步计算得到最终点的坐标，再结合象限的坐标特征列不等式求解，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.7