6. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共 50 个，购买资金不超过 3 200 元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半. 若每个篮球 80 元，每个足球 50 元，求共有几种购买方案. 设购买篮球 $ x $ 个，可列不等式组 （）

A.$\begin{cases} 2x ≥ 50 - x, \\ 80x + 50(50 - x) ＜ 3\ 200 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x ＞ \dfrac{1}{2}(50 - x), \\ 80x + 50(50 - x) ＜ 3\ 200 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x ≥ \dfrac{1}{2}(50 - x), \\ 80x + 50(50 - x) ≤ 3\ 200 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x ≥ \dfrac{1}{2}(50 - x), \\ 50x + 80(50 - x) ≤ 3\ 200 \end{cases}$

6.C

【分析】
解题时首先明确已知条件，设购买篮球x个，则足球数量为(50-x)个，再从题干中提取两个不等关系：①购买篮球的数量不少于足球数量的一半，“不少于”对应不等号“≥”；②购买资金不超过3200元，“不超过”对应不等号“≤”。分别将两个不等关系转化为不等式，再组合成不等式组，和选项比对即可得到答案。
【解析】
设购买篮球x个，则购买足球的数量为$(50-x)$个。
1. 根据“购买篮球的数量不少于足球数量的一半”，可得不等关系：
$x ≥ \dfrac{1}{2}(50 - x)$
2. 根据“购买资金不超过3200元”，总费用=篮球总价+足球总价，可得不等关系：
$80x + 50(50 - x) ≤ 3200$
联立两个不等式，所得不等式组与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 不等关系的表示
【点评】
本题是不等式组实际应用的常见基础题型，解题核心是准确抓住“不少于”“不超过”等关键词，正确匹配对应的不等符号，同时要注意不同物品的单价和数量的对应关系，避免混淆出现列式错误。
【难度系数】
0.8

7. 如图,一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点,已知点$A$的坐标为$(-2,0)$,点$B$的坐标为$(0,3)$,则当$y＜0$时,自变量$x$的取值范围是________.

7.$x＜-2$

【分析】
解这道题可以从两个思路入手：一是数形结合思路，y＜0对应的是一次函数图象位于x轴下方的部分，只需找到这部分图象对应的横坐标范围即可，这种方法更简便；二是代数计算思路，先利用A、B两点坐标求出一次函数解析式，再解y＜0对应的一元一次不等式得到x的取值范围。观察图象可知函数y随x增大而增大，与x轴交点为A(-2,0)，因此交点左侧的图象都在x轴下方，对应y＜0。
【解析】
方法一（图象法）：
观察一次函数图象，它与x轴交于点A(-2,0)，且图象从左到右上升，即y随x的增大而增大。当y＜0时，对应图象是x轴下方的部分，这部分图象上所有点的横坐标都小于-2，因此x的取值范围是$x＜-2$。
方法二（代数法）：
将A(-2,0)、B(0,3)代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} b=3 \\ -2k + b = 0 \end{cases}$
把$b=3$代入第二个方程，解得$k=\frac{3}{2}$，因此一次函数解析式为$y=\frac{3}{2}x+3$。
令$y＜0$，即$\frac{3}{2}x+3＜0$，
移项得$\frac{3}{2}x＜-3$，
两边同时乘$\frac{2}{3}$，得$x＜-2$。
【答案】
$x＜-2$
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数和不等式的结合应用，既可以通过代数计算求解，也可以借助图象直接判断，体现了数形结合的数学思想，属于基础题型。
【难度系数】
0.85

8.在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=kx$和$y=mx+n$的图象如图,则关于$x$的一元一次不等式$kx＞mx+n$的解集是________.

8.$x＞1$

【分析】
要解不等式$kx＞mx+n$，可结合一次函数的图像意义思考：不等式$kx＞mx+n$表示相同$x$取值下，正比例函数$y=kx$的函数值大于一次函数$y=mx+n$的函数值，反映在图像上就是$y=kx$的图像位于$y=mx+n$图像上方时对应的$x$的范围。首先从图像中找到两个函数的交点，交点处两个函数值相等，再观察交点左右两侧的图像高低，就能确定解集。
【解析】
从图中可知，一次函数$y=kx$和$y=mx+n$的图像交点坐标为$(1,2)$，即当$x=1$时，$kx=mx+n=2$。
不等式$kx＞mx+n$的几何意义是$y=kx$的图像在$y=mx+n$图像的上方，观察图像可得，当$x＞1$时，$y=kx$的图像位于$y=mx+n$图像的上方，满足$kx＞mx+n$。
因此该不等式的解集是$x＞1$。
【答案】
$x＞1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想在一次函数与不等式问题中的应用，解题关键是明确不等式对应的函数图像的位置关系，找到两函数交点后结合图像判断取值范围即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7

9. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x - 3 ≥ 1, \\x - a ＜ 5\end{cases}$的整数解的和是9，则$a$的取值范围是________.

9.$-1＜a≤0$

【分析】
首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到含参数a的公共解集；再结合“整数解的和是9”的条件，判断出符合要求的整数解具体是哪些；最后根据整数解的范围反推参数a需要满足的不等关系，解不等式即可得到a的取值范围，注意要验证端点值是否符合要求。
【解析】
解不等式$2x - 3 ≥ 1$：
移项得$2x ≥ 4$，
解得$x ≥ 2$。
解不等式$x - a ＜ 5$：
移项得$x ＜ a + 5$。
因此不等式组的解集为$2 ≤ x ＜ a + 5$。
已知不等式组的整数解的和为9，由$2 + 3 + 4 = 9$可知，该不等式组的整数解为2、3、4这三个数。
由此可得参数满足的不等关系：$4 ＜ a + 5 ≤ 5$
（若$a + 5 ≤ 4$，则最大整数解为3，整数解和为$2+3=5≠9$；若$a + 5 ＞ 5$，则整数解包含5，和为$2+3+4+5=14≠9$，因此不等关系成立）
对$4 ＜ a + 5 ≤ 5$两边同时减5，得$-1 ＜ a ≤ 0$。
【答案】
$-1＜a≤0$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 含参不等式组整数解
3. 不等式的性质
【点评】
本题是不等式组整数解的常考题型，解题核心是先确定固定范围的解集，再结合整数解的条件反推参数范围，解题时要特别注意端点值的取舍，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6

10.对一个实数x按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个实数x”到“结果是大于25”为一次操作.若操作进行了两次才停止,则x的取值范围是.

10.$7＜x≤13$

【分析】
要解决本题，首先明确“操作进行了两次才停止”的含义：①第一次操作后结果不大于25，否则第一次就会停止，无法进行第二次操作；②第二次操作后结果大于25，满足停止条件。首先根据程序规则得出每次操作的代数式：输入值为a时，操作后输出值为2a-1。据此分别对第一次、第二次操作的结果列不等式，组成不等式组求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据操作两次才停止的条件，列不等式组：
1. 第一次操作后未停止，满足：
$2x - 1 ≤ 25$
解这个不等式：
$2x ≤ 26$，得$x ≤ 13$
2. 第二次操作后停止，将第一次的结果$2x-1$作为新的输入值，满足：
$2(2x - 1) - 1 ＞ 25$
解这个不等式：
先展开得$4x - 2 - 1 ＞ 25$，即$4x - 3 ＞ 25$
移项得$4x ＞ 28$，得$x ＞ 7$
综上，不等式组的解集为$7 ＜ x ≤ 13$
【答案】
$7＜x≤13$
【知识点】
一元一次不等式组应用，程序运算，不等式求解
【点评】
本题的核心是准确翻译程序操作的停止规则，尤其要注意“两次才停止”隐含的两次操作分别对应的限制条件，避免漏写第一次操作结果不大于25的约束，解不等式时注意不等号的方向规则即可正确求解。
【难度系数】
0.7

11. 解不等式组：
(1)$\begin{cases}2x + 4 ＞ 0, &① \\3x - 4 ≤ 2 + x; &②\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x - 3 ≤ 2x + 9, &① \\3x ＞ \frac{图1 + 10}{2}. &②\end{cases}$

11.解:(1)解不等式①,得 $x＞-2$,
解不等式②,得 $x≤3$,
则不等式组的解集为$-2＜x≤3$.
(2)解不等式①,得 $x≤4$,
解不等式②,得 $x＞2$,
则不等式组的解集为 $2＜x≤4$.

【分析】
解一元一次不等式组遵循“先分后合”的思路：第一步先分别求解组内的每一个一元一次不等式，解单个不等式时按照移项（移项需变号）、合并同类项、系数化为1的步骤操作；第二步找出两个不等式解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，找公共解集可借助“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的口诀快速判断。
【解析】
(1) 解不等式①$2x + 4 ＞ 0$：
移项得$2x ＞ -4$，系数化为1，得$x ＞ -2$；
解不等式②$3x - 4 ≤ 2 + x$：
移项得$3x - x ≤ 2 + 4$，合并同类项得$2x ≤ 6$，系数化为1，得$x ≤ 3$；
两个解集的公共部分为$-2 ＜ x ≤ 3$，即该不等式组的解集。
(2) 解不等式①$5x - 3 ≤ 2x + 9$：
移项得$5x - 2x ≤ 9 + 3$，合并同类项得$3x ≤ 12$，系数化为1，得$x ≤ 4$；
解不等式②$3x ＞ \frac{x + 10}{2}$：
两边同乘2去分母得$6x ＞ x + 10$，移项得$6x - x ＞ 10$，合并同类项得$5x ＞ 10$，系数化为1，得$x ＞ 2$；
两个解集的公共部分为$2 ＜ x ≤ 4$，即该不等式组的解集。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2＜x≤3}$
(2) $\boldsymbol{2＜x≤4}$
【知识点】
一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是不等式组求解的基础题型，解题的关键是正确求出每个不等式的解集，运算时要注意移项变号、去分母不要漏乘的细节，再结合口诀准确找到公共解集即可，熟练掌握基础运算规则就能顺利得分。
【难度系数】
0.8