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例3 已知 $ \sqrt{\frac{x-1}{2-x}}=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{2-x}} $成立.
(1) 求 x的取值范围；
(2) 化简： $ \sqrt{\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-4x+4}}. $
解(1)根据题意得 $ \{\begin{array}{l l}x-1≥ 0,\\ 2-x＞0,\end{array} $解得 1≤x＜2.
(2) $ \sqrt{\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-4x+4}}=\sqrt{\frac{(x-1)^{2}}{(x-2)^{2}}}=\frac{\sqrt{(x-1)^{2}}}{\sqrt{(x-2)^{2}}}=\frac{|x-1|}{|x-2|}. $
由(1)知 $1≤ x ＜ 2$ ，所以 $x - 1≥ 0$ ， $x - 2 ＜ 0$
所以原式 $ \frac{x-1}{2-x}. $
(1) 求 x的取值范围；
(2) 化简： $ \sqrt{\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-4x+4}}. $
解(1)根据题意得 $ \{\begin{array}{l l}x-1≥ 0,\\ 2-x＞0,\end{array} $解得 1≤x＜2.
(2) $ \sqrt{\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-4x+4}}=\sqrt{\frac{(x-1)^{2}}{(x-2)^{2}}}=\frac{\sqrt{(x-1)^{2}}}{\sqrt{(x-2)^{2}}}=\frac{|x-1|}{|x-2|}. $
由(1)知 $1≤ x ＜ 2$ ，所以 $x - 1≥ 0$ ， $x - 2 ＜ 0$
所以原式 $ \frac{x-1}{2-x}. $
答案
解：
(1) 根据题意得
$\begin{cases}x-1≥0 \\2-x＞0\end{cases}$
解得 $1≤ x＜2$。
(2) $\sqrt{\frac{x^2-2x+1}{x^2-4x+4}}=\sqrt{\frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}}=\frac{\sqrt{(x-1)^2}}{\sqrt{(x-2)^2}}=\frac{|x-1|}{|x-2|}$
由(1)知 $1≤ x＜2$，所以 $x-1≥0$，$x-2＜0$
所以原式$=\frac{x-1}{2-x}$。
(1) 根据题意得
$\begin{cases}x-1≥0 \\2-x＞0\end{cases}$
解得 $1≤ x＜2$。
(2) $\sqrt{\frac{x^2-2x+1}{x^2-4x+4}}=\sqrt{\frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}}=\frac{\sqrt{(x-1)^2}}{\sqrt{(x-2)^2}}=\frac{|x-1|}{|x-2|}$
由(1)知 $1≤ x＜2$，所以 $x-1≥0$，$x-2＜0$
所以原式$=\frac{x-1}{2-x}$。
1. 若 mn＞0，m+n＜0，则化简 $ \sqrt{mn}÷ \sqrt{\frac{n}{m}}= $ ( )
A.m
B.-m
C.n
D.-n
A.m
B.-m
C.n
D.-n
答案
1. B
2. 已知 x=3，y=4，z=5，那么 $ \sqrt{yz}÷ $ $ \sqrt{xy} $的结果是_______.
答案
2. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
3. 若 $ \sqrt{2 4} ×4 \ \sqrt{\frac{1}{2}} ÷\sqrt{4 8}=2 \ \sqrt{6} ×4 ×\frac{a}{2} ÷ $
$ (4 \sqrt{3})=b $ ，则 a=___，b=___.
$ (4 \sqrt{3})=b $ ，则 a=___，b=___.
答案
3. $\sqrt{2}$ 2
4. 计算：
(1) $ \sqrt{\frac{2}{3 m}} ÷\sqrt{6 m} ·\sqrt{8 m^{3}} ( m ＞ 0 ). $
(2) $ \frac{2}{b}\sqrt{a b^{3}}·(-\frac{2}{3}\sqrt{b})÷(\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b}{a}}) ( a＞0, $ b＞0).
(1) $ \sqrt{\frac{2}{3 m}} ÷\sqrt{6 m} ·\sqrt{8 m^{3}} ( m ＞ 0 ). $
(2) $ \frac{2}{b}\sqrt{a b^{3}}·(-\frac{2}{3}\sqrt{b})÷(\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b}{a}}) ( a＞0, $ b＞0).
答案
4. (1) $\dfrac{2\sqrt{2m}}{3}$ (2) $-4a\sqrt{b}$
