例1下列运算错误的是 ( )

A.$ \sqrt{8}÷\sqrt{2}=2 $
B.$ \sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{2}=\frac{1}{2} $
C.$ \sqrt{3}÷\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{2} $
D.$ \sqrt{\frac{2}{3}}÷\sqrt{\frac{3}{2}}=1 $
解析 $ \sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2 $ ，运算正确，A项不符合题意；
$ \sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} $ ，运算正确，B项不符合题意；
$ \sqrt{3}÷\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{3×\frac{2}{3}}=\sqrt{2} $ ，运算正确，C项不符合题意；
$ \sqrt{\frac{2}{3}}÷\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}×\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}≠1 $ ，运算错误，D项符合题意.
答案 D

D

根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）逐一计算：
1. 选项A：$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2$，运算正确，不符合题意；
2. 选项B：$\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{1}{2}÷2}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，运算正确，不符合题意；
3. 选项C：$\sqrt{3}÷\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{3÷\frac{3}{2}}=\sqrt{2}$，运算正确，不符合题意；
4. 选项D：$\sqrt{\frac{2}{3}}÷\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}÷\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}≠1$，运算错误，符合题意。

例2化简：(1) $ \sqrt{2\frac{1}{4}} $；(2) $ \sqrt{-\frac{81a^{3}}{16}}. $
解(1) $ \sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}. $

解：
(1) $\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}$
(2) 由二次根式有意义的条件可知$-\frac{81a^3}{16}≥0$，即$a^3≤0$，得$a≤0$
$\sqrt{-\frac{81a^3}{16}}=\frac{\sqrt{81a^2·(-a)}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{81a^2}·\sqrt{-a}}{\sqrt{16}}=\frac{9|a|\sqrt{-a}}{4}$
因为$a≤0$，所以$|a|=-a$，
则原式$=\frac{9(-a)\sqrt{-a}}{4}=-\frac{9a\sqrt{-a}}{4}$