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16. 证明:三角形中位线定理.
已知:如图,DE是$△ ABC$的中位线.
求证:$\underline{\hspace{5cm}}$.
证明:
已知:如图,DE是$△ ABC$的中位线.
求证:$\underline{\hspace{5cm}}$.
证明:
答案
求证：$\boldsymbol{DE// BC}$，且$\boldsymbol{DE=\dfrac{1}{2}BC}$
证明：
1. 延长DE到点F，使EF=DE，连接CF。
2. 因为DE是△ ABC的中位线，所以D是AB中点，E是AC中点，即AD=BD，AE=CE。
3. 在△ ADE和△ CFE中：
$ \begin{cases}$
AE=CE \\
∠ AED=∠ CEF \\
DE=FE
$ \end{cases} $所以△ ADE ≌ △ CFE（SAS）。4. 由全等可得：AD=CF，∠ ADE=∠ F，因此AB// CF，即BD// CF。 又因为AD=BD，所以BD=CF。5. 因为BD// CF且BD=CF，所以四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。6. 根据平行四边形的性质：DF// BC，且DF=BC。 又因为DF=DE+EF=2DE，因此2DE=BC，即$DE=\dfrac{1}{2}BC$，且DE// BC，定理得证。
证明：
1. 延长DE到点F，使EF=DE，连接CF。
2. 因为DE是△ ABC的中位线，所以D是AB中点，E是AC中点，即AD=BD，AE=CE。
3. 在△ ADE和△ CFE中：
$ \begin{cases}$
AE=CE \\
∠ AED=∠ CEF \\
DE=FE
$ \end{cases} $所以△ ADE ≌ △ CFE（SAS）。4. 由全等可得：AD=CF，∠ ADE=∠ F，因此AB// CF，即BD// CF。 又因为AD=BD，所以BD=CF。5. 因为BD// CF且BD=CF，所以四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。6. 根据平行四边形的性质：DF// BC，且DF=BC。 又因为DF=DE+EF=2DE，因此2DE=BC，即$DE=\dfrac{1}{2}BC$，且DE// BC，定理得证。
解析
本题要求证明三角形中位线定理，使用八年级已学的全等三角形判定、平行四边形性质完成推导，无超纲内容：首先明确中位线定理需要证明的位置关系和数量关系，通过延长中位线构造全等三角形，进行线段和位置关系的转化，进而得到平行四边形，借助平行四边形的性质推导出最终结论。
17. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$O$是$AB$上的一个点,$△ DEF$和$△ ABC$关于点$O$对称,连接$AF$,$CD$.
(1) 求证:四边形$ACDF$是平行四边形;
(2) 已知$AC=4$,$BC=3$,求四边形$ACDF$是菱形时$AO$的长.
(1) 求证:四边形$ACDF$是平行四边形;
(2) 已知$AC=4$,$BC=3$,求四边形$ACDF$是菱形时$AO$的长.
答案
17.(1)略 (2)$\frac{16}{5}$
18. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$,$AE$分别是$∠ BAC$和$∠ BAF$的角平分线,$BE ⊥ AE$,连接$DE$.求证:$AB=DE$.
答案
经上述证明，AB=DE成立。
解析
1. 已知AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，即∠ADB=90°。
2. 由图可知∠BAC + ∠BAF = 180°，因为AD平分∠BAC，AE平分∠BAF，因此：
$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAF$，
代入得$∠ DAE = ∠ BAD + ∠ BAE = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ BAF) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
3. 已知BE⊥AE，因此∠AEB=90°。
4. 四边形ADBE中，∠ADB=∠DAE=∠AEB=90°，根据“三个内角为直角的四边形是矩形”，可判定四边形ADBE是矩形。
5. 根据矩形对边相等的性质，即可推出AB=DE。
2. 由图可知∠BAC + ∠BAF = 180°，因为AD平分∠BAC，AE平分∠BAF，因此：
$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAF$，
代入得$∠ DAE = ∠ BAD + ∠ BAE = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ BAF) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
3. 已知BE⊥AE，因此∠AEB=90°。
4. 四边形ADBE中，∠ADB=∠DAE=∠AEB=90°，根据“三个内角为直角的四边形是矩形”，可判定四边形ADBE是矩形。
5. 根据矩形对边相等的性质，即可推出AB=DE。
19. 如图,在四边形ABCD中,AB=DC,点E,F分别是AD,BC的中点,点G,H分别是对角线BD,AC的中点.
(1) 求证:四边形EGFH是菱形;
(2) 已知$AB=1$,$∠ ABC+∠ DCB=90°$,求四边形EGFH的面积.
(1) 求证:四边形EGFH是菱形;
(2) 已知$AB=1$,$∠ ABC+∠ DCB=90°$,求四边形EGFH的面积.
答案
(1) 证明如上，四边形EGFH是菱形；(2) 四边形EGFH的面积为$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
解析
(1) 证明：
∵ 点E,G分别是AD,BD的中点，
∴ EG是△ABD的中位线，
∴ EG//AB，$EG=\frac{1}{2}AB$。
同理，点F,H分别是BC,AC的中点，FH是△ABC的中位线，
∴ FH//AB，$FH=\frac{1}{2}AB$。
∴ EG//FH，$EG=FH$，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
又∵ 点E,H分别是AD,AC的中点，
∴ EH是△ADC的中位线，
∴ $EH=\frac{1}{2}DC$。
已知$AB=DC$，因此$EG=EH$，
∴ 邻边相等的平行四边形EGFH是菱形。
(2) 解：
∵ 点G,F分别是BD,BC的中点，
∴ GF是△BCD的中位线，
∴ GF//DC，可得$∠GFB=∠DCB$。
由$FH//AB$，可得$∠HFC=∠ABC$。
已知$∠ABC+∠DCB=90°$，
∴ $∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°$，
∴ $∠GFH=180°-(∠HFC+∠GFB)=90°$。
结合(1)的结论，有一个内角为直角的菱形是正方形，因此四边形EGFH是正方形。
∵ $AB=1$，∴ $EG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$，
∴ 四边形EGFH的面积为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
∵ 点E,G分别是AD,BD的中点，
∴ EG是△ABD的中位线，
∴ EG//AB，$EG=\frac{1}{2}AB$。
同理，点F,H分别是BC,AC的中点，FH是△ABC的中位线，
∴ FH//AB，$FH=\frac{1}{2}AB$。
∴ EG//FH，$EG=FH$，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
又∵ 点E,H分别是AD,AC的中点，
∴ EH是△ADC的中位线，
∴ $EH=\frac{1}{2}DC$。
已知$AB=DC$，因此$EG=EH$，
∴ 邻边相等的平行四边形EGFH是菱形。
(2) 解：
∵ 点G,F分别是BD,BC的中点，
∴ GF是△BCD的中位线，
∴ GF//DC，可得$∠GFB=∠DCB$。
由$FH//AB$，可得$∠HFC=∠ABC$。
已知$∠ABC+∠DCB=90°$，
∴ $∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°$，
∴ $∠GFH=180°-(∠HFC+∠GFB)=90°$。
结合(1)的结论，有一个内角为直角的菱形是正方形，因此四边形EGFH是正方形。
∵ $AB=1$，∴ $EG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$，
∴ 四边形EGFH的面积为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
