20. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,点P是BD上的一个点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为点M,N.
(1) 求证:∠ADB=∠CDB;
(2) 若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.

(1) 可证得∠ADB=∠CDB成立；(2) 可证得四边形MPND是正方形成立。

(1) 证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠CBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS），
由全等三角形对应角相等可得：∠ADB = ∠CDB。
(2) 证明：
∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ ∠PMD = ∠PND = 90°，
又∵ ∠ADC = 90°，
∴ 四边形MPND有三个内角均为直角，因此四边形MPND是矩形。
由(1)得∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PM = PN，
∴ 矩形MPND的一组邻边相等，因此四边形MPND是正方形。

1. 已知:在正方形ABCD和正方形DEFG中,顶点B、D、F在同一直线上,点H是BF的中点.
(1) 如图1,若$AB=1,DG=2$,求BH的长;
(2) 如图2,连接AH、GH,求证:$AH=GH$且$AH⊥ GH$.

1.(1)$\frac{3}{2}\sqrt{2}$ (2)略

2. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD边上的点，则称四边形EFGH是四边形ABCD的内接四边形.
（1）如图1，在$□ ABCD$中，AC、BD交于点O，四边形EFGH是$□ ABCD$的内接四边形，对角线EG、FH都经过点O.求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规在$□ ABCD$中作出对角线最短的内接矩形EFGH；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）如图3，在矩形ABCD中，$AB=4$，$BC=6$，若四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形，则AE的取值范围是.

2.(1)略 (2)略 (3)$\frac{5}{3} ≤ AE ≤ \frac{13}{3}$