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10. 如图,过正方形ABCD的顶点B作直线l,过点A,C作l的垂线,垂足分别为E,F.若AE=1,CF=3,则AB的长度为
$\sqrt{10}$
.答案
10.$\sqrt{10}$
11. 如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,将一边AD折叠,使点A恰好落在边BC的点F处,折痕为DE,若AB=8,BF=4,则ED=
$5\sqrt{5}$
cm.答案
11.$5\sqrt{5}$
12. 如图,菱形ABCD的面积为120 cm²,正方形AECF的面积为50 cm²,则菱形的边长为
13
cm.答案
12.13
13. 如图,在$□ ABCD$中,点$D$是定点,点$A,C$是直线$l_1$和$l_2$上的两个动点,$l_1 // l_2$,且点$D$到直线$l_1$和$l_2$的距离分别是1和4,则对角线$BD$长度的最小值是________.
答案
13.5
14. 如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在$AD,BC$上,且$AE=CF,EF,BD$相交于点$O$.求证:$OE=OF$.
答案
证明过程如上，$OE=OF$得证。
解析
要证明$OE=OF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导，步骤如下：
1. 由平行四边形的性质可知，在$□ ABCD$中，$AD// BC$，且$AD=BC$。
2. 已知$AE=CF$，因此$AD-AE=BC-CF$，即$DE=BF$。
3. 由$AD// BC$，可得内错角相等：$∠ EDO=∠ FBO$；又$EF$与$BD$交于点$O$，因此对顶角相等：$∠ DOE=∠ BOF$。
4. 在$△ DOE$和$△ BOF$中：
$\begin{cases}∠ EDO=∠ FBO \\∠ DOE=∠ BOF \\DE=BF\end{cases}$
因此$△ DOE≌△ BOF$（AAS），根据全等三角形对应边相等的性质，即可证得$OE=OF$。
1. 由平行四边形的性质可知，在$□ ABCD$中，$AD// BC$，且$AD=BC$。
2. 已知$AE=CF$，因此$AD-AE=BC-CF$，即$DE=BF$。
3. 由$AD// BC$，可得内错角相等：$∠ EDO=∠ FBO$；又$EF$与$BD$交于点$O$，因此对顶角相等：$∠ DOE=∠ BOF$。
4. 在$△ DOE$和$△ BOF$中：
$\begin{cases}∠ EDO=∠ FBO \\∠ DOE=∠ BOF \\DE=BF\end{cases}$
因此$△ DOE≌△ BOF$（AAS），根据全等三角形对应边相等的性质，即可证得$OE=OF$。
15. 如图,在四边形 ABCD 中,点 E,F 是对角线 BD 上的两点,且$BE=DF$.若四边形AECF 是平行四边形,求证:四边形 ABCD 是平行四边形.
答案
四边形ABCD是平行四边形，证明如上。
解析
本题利用平行四边形的性质和判定定理证明，解题步骤如下：
1. 作辅助线：连接AC，交BD于点O。
2. 已知四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=OC$，$OE=OF$。
3. 已知$BE=DF$，等式两边同时加$OE$、$OF$可得：
$BE+OE=DF+OF$，即$OB=OD$。
4. 此时四边形ABCD的对角线满足$OA=OC$，$OB=OD$，也就是对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论。
1. 作辅助线：连接AC，交BD于点O。
2. 已知四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=OC$，$OE=OF$。
3. 已知$BE=DF$，等式两边同时加$OE$、$OF$可得：
$BE+OE=DF+OF$，即$OB=OD$。
4. 此时四边形ABCD的对角线满足$OA=OC$，$OB=OD$，也就是对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论。
