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五、解决问题。
1. 明代程大位所著的《算法统宗》和元代朱世杰所著的《算学启蒙》共收集854个问题，《算法统宗》收集问题的个数比《算学启蒙》的2倍多77个。《算学启蒙》收集了多少个问题？
1. 明代程大位所著的《算法统宗》和元代朱世杰所著的《算学启蒙》共收集854个问题，《算法统宗》收集问题的个数比《算学启蒙》的2倍多77个。《算学启蒙》收集了多少个问题？
答案
1. 解:设《算学启蒙》收集了$x$个问题。 $2x +77 +x =854$ $x =259$
解析
【分析】
这是一道和倍关系的实际应用题，我们可以用列方程的方法求解。首先梳理题目中的等量关系：《算法统宗》的问题个数 + 《算学启蒙》的问题个数 = 总问题数854个。已知《算法统宗》的问题数比《算学启蒙》的2倍多77个，我们将数量更少的《算学启蒙》的问题数设为未知数x，就能用含x的式子表示出《算法统宗》的问题数，代入等量关系列方程后按等式性质计算即可得到结果。
【解析】
解：设《算学启蒙》收集了$x$个问题，则《算法统宗》收集的问题个数为$(2x+77)$个。
根据总问题数列方程：
$2x +77 +x =854$
合并同类项得：$3x +77 = 854$
等式两边同时减77：$3x = 854 - 77$
计算得：$3x = 777$
等式两边同时除以3：$x = 777÷3$
解得：$x = 259$
【答案】
《算学启蒙》收集了259个问题。
【知识点】
列方程解应用题、和倍问题、简易方程求解
【点评】
本题结合我国古代数学著作背景出题，既考查了用方程解决实际问题的能力，也能让学生感受到传统数学文化的魅力，解题核心是准确找到等量关系，计算时注意退位减法和除法运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
这是一道和倍关系的实际应用题，我们可以用列方程的方法求解。首先梳理题目中的等量关系：《算法统宗》的问题个数 + 《算学启蒙》的问题个数 = 总问题数854个。已知《算法统宗》的问题数比《算学启蒙》的2倍多77个，我们将数量更少的《算学启蒙》的问题数设为未知数x，就能用含x的式子表示出《算法统宗》的问题数，代入等量关系列方程后按等式性质计算即可得到结果。
【解析】
解：设《算学启蒙》收集了$x$个问题，则《算法统宗》收集的问题个数为$(2x+77)$个。
根据总问题数列方程：
$2x +77 +x =854$
合并同类项得：$3x +77 = 854$
等式两边同时减77：$3x = 854 - 77$
计算得：$3x = 777$
等式两边同时除以3：$x = 777÷3$
解得：$x = 259$
【答案】
《算学启蒙》收集了259个问题。
【知识点】
列方程解应用题、和倍问题、简易方程求解
【点评】
本题结合我国古代数学著作背景出题，既考查了用方程解决实际问题的能力，也能让学生感受到传统数学文化的魅力，解题核心是准确找到等量关系，计算时注意退位减法和除法运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
2. 放学后,小华和爸爸约定分别从学校和家出发步行到体育馆健身。小华的步行速度是52米/分,他每分走的路程比爸爸的$\frac{4}{5}$还多4 m。爸爸每分走多少米?
（用方程解答）
（用方程解答）
答案
2. 解:设爸爸每分走$x$米。 $\frac{4}{5}x +4 =52$ $x =60$
解析
【分析】
要使用方程解答本题，首先需要找准题目中的等量关系：爸爸每分钟步行的路程×$\frac{4}{5}$ + 4米 = 小华的步行速度。接下来我们设爸爸每分钟走的路程为未知数，再根据等量关系列出方程，最后求解方程就能得到答案。
【解析】
解：设爸爸每分走$x$米。
根据题意列方程：
$\frac{4}{5}x +4 =52$
移项计算得：
$\frac{4}{5}x = 52-4$
$\frac{4}{5}x = 48$
两边同时除以$\frac{4}{5}$：
$x = 48÷\frac{4}{5}$
$x = 60$
【答案】
爸爸每分走60米。
【知识点】
列方程解应用题、分数四则运算
【点评】
本题是基础的实际应用类方程题，解题关键是理清两个量之间的数量关系，找到对应的等量关系后列方程求解即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
要使用方程解答本题，首先需要找准题目中的等量关系：爸爸每分钟步行的路程×$\frac{4}{5}$ + 4米 = 小华的步行速度。接下来我们设爸爸每分钟走的路程为未知数，再根据等量关系列出方程，最后求解方程就能得到答案。
【解析】
解：设爸爸每分走$x$米。
根据题意列方程：
$\frac{4}{5}x +4 =52$
移项计算得：
$\frac{4}{5}x = 52-4$
$\frac{4}{5}x = 48$
两边同时除以$\frac{4}{5}$：
$x = 48÷\frac{4}{5}$
$x = 60$
【答案】
爸爸每分走60米。
【知识点】
列方程解应用题、分数四则运算
【点评】
本题是基础的实际应用类方程题，解题关键是理清两个量之间的数量关系，找到对应的等量关系后列方程求解即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 将一块石头浸没在一个长 80 cm、宽 40 cm 的长方体水槽中,这时水深30 cm,取出石头后水深25 cm,石头的体积是多少立方分米？
答案
3. $80 ×40 ×(30 -25) =16000(\mathrm{cm}^3) =16 \mathrm{ dm}^3$
解析
【分析】
这道题采用排水法求解不规则物体的体积。解题思路：石头浸没在水中时会占据水的空间，取出石头后水面下降，水面下降部分的水的体积与石头的体积相等。我们先计算水面下降的高度，再用水槽的底面积乘下降的高度即可得到石头的体积，最后按要求换算体积单位。
【解析】
首先计算水面下降的高度：$30 - 25 = 5(\mathrm{cm})$
再计算长方体水槽的底面积：$80 × 40 = 3200(\mathrm{cm}^2)$
下降部分水的体积（即石头的体积）为底面积乘下降高度：$3200 × 5 = 16000(\mathrm{cm}^3)$
最后进行单位换算，因为$1\mathrm{dm}^3=1000\mathrm{cm}^3$，所以$16000\mathrm{cm}^3 = 16\mathrm{dm}^3$
也可列综合算式计算：$80 ×40 ×(30 -25) =16000(\mathrm{cm}^3) =16 \mathrm{ dm}^3$
【答案】
16立方分米
【知识点】
排水法求体积、长方体体积计算、体积单位换算
【点评】
本题结合实际场景考查不规则物体体积的计算，解题的关键是理解浸没状态下物体体积等于排开的水的体积，计算结束后要注意匹配题目要求的单位，避免因单位疏漏丢分。
【难度系数】
0.7
这道题采用排水法求解不规则物体的体积。解题思路：石头浸没在水中时会占据水的空间，取出石头后水面下降，水面下降部分的水的体积与石头的体积相等。我们先计算水面下降的高度，再用水槽的底面积乘下降的高度即可得到石头的体积，最后按要求换算体积单位。
【解析】
首先计算水面下降的高度：$30 - 25 = 5(\mathrm{cm})$
再计算长方体水槽的底面积：$80 × 40 = 3200(\mathrm{cm}^2)$
下降部分水的体积（即石头的体积）为底面积乘下降高度：$3200 × 5 = 16000(\mathrm{cm}^3)$
最后进行单位换算，因为$1\mathrm{dm}^3=1000\mathrm{cm}^3$，所以$16000\mathrm{cm}^3 = 16\mathrm{dm}^3$
也可列综合算式计算：$80 ×40 ×(30 -25) =16000(\mathrm{cm}^3) =16 \mathrm{ dm}^3$
【答案】
16立方分米
【知识点】
排水法求体积、长方体体积计算、体积单位换算
【点评】
本题结合实际场景考查不规则物体体积的计算，解题的关键是理解浸没状态下物体体积等于排开的水的体积，计算结束后要注意匹配题目要求的单位，避免因单位疏漏丢分。
【难度系数】
0.7
