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3. 已知$ x + y = xy $，求代数式$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - (1 - x)(1 - y) $的值.
答案
解：
先对代数式进行化简变形：
$\begin{aligned}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - (1 - x)(1 - y)&= \frac{x+y}{xy} - [1 - (x+y) + xy]\end{aligned}$
已知$x + y = xy$，将其整体代入上式：
把$x+y$替换为$xy$，可得$\frac{x+y}{xy}=\frac{xy}{xy}=1$；
同时$1 - (x+y) + xy = 1 - xy + xy = 1$。
因此原式$= 1 - 1 = 0$。
答：该代数式的值为$\boldsymbol{0}$。
先对代数式进行化简变形：
$\begin{aligned}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - (1 - x)(1 - y)&= \frac{x+y}{xy} - [1 - (x+y) + xy]\end{aligned}$
已知$x + y = xy$，将其整体代入上式：
把$x+y$替换为$xy$，可得$\frac{x+y}{xy}=\frac{xy}{xy}=1$；
同时$1 - (x+y) + xy = 1 - xy + xy = 1$。
因此原式$= 1 - 1 = 0$。
答：该代数式的值为$\boldsymbol{0}$。
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构，我们可以将代数式拆成两部分分别化简：第一部分是两个分式相加，可通过通分转化为含x+y和xy的形式，刚好对应已知条件x+y=xy；第二部分是两个多项式相乘，展开后也可以整理为含x+y和xy的形式，最后将已知条件整体代入化简后的式子计算即可，不需要单独求解x、y的具体数值。
【解析】
解：
∵x、y分别在分母位置，
∴x≠0，y≠0
对所求代数式分步化简：
1. 化简$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$：
通分得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$
已知$x+y=xy$，代入得$\frac{x+y}{xy}=\frac{xy}{xy}=1$
2. 化简$(1-x)(1-y)$：
根据多项式乘多项式法则展开得：
$(1-x)(1-y)=1 - x - y + xy=1-(x+y)+xy$
将$x+y=xy$代入得：
$1 - xy + xy=1$
3. 代入原式计算：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-(1-x)(1-y)=1 - 1=0$
【答案】
0
【知识点】
分式通分，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题是典型的代数式化简求值问题，核心解题技巧是整体代入，无需计算未知量的具体值，既简化了计算过程，也避免了因变量取值不唯一带来的计算障碍，需要熟练掌握通分、整式乘法的基础运算，灵活运用整体思想。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构，我们可以将代数式拆成两部分分别化简：第一部分是两个分式相加，可通过通分转化为含x+y和xy的形式，刚好对应已知条件x+y=xy；第二部分是两个多项式相乘，展开后也可以整理为含x+y和xy的形式，最后将已知条件整体代入化简后的式子计算即可，不需要单独求解x、y的具体数值。
【解析】
解：
∵x、y分别在分母位置，
∴x≠0，y≠0
对所求代数式分步化简：
1. 化简$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$：
通分得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$
已知$x+y=xy$，代入得$\frac{x+y}{xy}=\frac{xy}{xy}=1$
2. 化简$(1-x)(1-y)$：
根据多项式乘多项式法则展开得：
$(1-x)(1-y)=1 - x - y + xy=1-(x+y)+xy$
将$x+y=xy$代入得：
$1 - xy + xy=1$
3. 代入原式计算：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-(1-x)(1-y)=1 - 1=0$
【答案】
0
【知识点】
分式通分，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题是典型的代数式化简求值问题，核心解题技巧是整体代入，无需计算未知量的具体值，既简化了计算过程，也避免了因变量取值不唯一带来的计算障碍，需要熟练掌握通分、整式乘法的基础运算，灵活运用整体思想。
【难度系数】
0.8
4. 解分式方程：$\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{x+2}{1-x}=3.$
答案
4. $x=\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解本题首先观察分式方程的分母特征，发现$x-1$和$1-x$互为相反数，可先将第二个分式的分母转化为$x-1$统一形式，再确定最简公分母为$x-1$，两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得的解是否使原方程分母不为0，排除增根。
【解析】
原方程可变形为：
$\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{x+2}{x-1}=3$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（$x≠1$），去分母得：
$2-(x+2)=3(x-1)$
去括号得：
$2-x-2=3x-3$
合并同类项得：
$-x=3x-3$
移项得：
$-x-3x=-3$
合并同类项得：
$-4x=-3$
系数化为1得：
$x=\dfrac{3}{4}$
检验：当$x=\dfrac{3}{4}$时，$x-1=\dfrac{3}{4}-1=-\dfrac{1}{4}≠0$，所以$x=\dfrac{3}{4}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\dfrac{3}{4}$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程的求解；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程的常规基础题，解题核心是通过去分母将分式方程转化为已学的整式方程求解，解题过程中要注意处理互为相反数的分母时的符号变化，同时牢记解分式方程必须检验，避免因增根出现错误。
【难度系数】
0.8
解本题首先观察分式方程的分母特征，发现$x-1$和$1-x$互为相反数，可先将第二个分式的分母转化为$x-1$统一形式，再确定最简公分母为$x-1$，两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得的解是否使原方程分母不为0，排除增根。
【解析】
原方程可变形为：
$\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{x+2}{x-1}=3$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（$x≠1$），去分母得：
$2-(x+2)=3(x-1)$
去括号得：
$2-x-2=3x-3$
合并同类项得：
$-x=3x-3$
移项得：
$-x-3x=-3$
合并同类项得：
$-4x=-3$
系数化为1得：
$x=\dfrac{3}{4}$
检验：当$x=\dfrac{3}{4}$时，$x-1=\dfrac{3}{4}-1=-\dfrac{1}{4}≠0$，所以$x=\dfrac{3}{4}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\dfrac{3}{4}$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程的求解；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程的常规基础题，解题核心是通过去分母将分式方程转化为已学的整式方程求解，解题过程中要注意处理互为相反数的分母时的符号变化，同时牢记解分式方程必须检验，避免因增根出现错误。
【难度系数】
0.8
5. 关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{7x}{x-1} + 5 = \frac{2m-1}{x-1}$ 无解，求 $ m $ 的值.
答案
5. $m=4$
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两类常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是使原分式方程分母为0的增根。本题中去分母后得到的是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑解为增根的情况：原方程分母为$x-1$，所以增根为$x=1$，将$x=1$代入去分母后的整式方程即可求出$m$的值。
【解析】
给原方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（此时$x≠1$），消去分母得：
$7x + 5(x-1) = 2m - 1$
展开并整理左边：
$7x + 5x - 5 = 12x - 5$
因此方程变为：
$12x - 5 = 2m - 1$
移项化简得：
$12x = 2m + 4$
$x = \frac{m+2}{6}$
因为原分式方程无解，所以上述整式方程的解是原方程的增根，令$x-1=0$，得增根$x=1$。
将$x=1$代入$x = \frac{m+2}{6}$得：
$1 = \frac{m+2}{6}$
解得$m=4$。
【答案】
$m=4$
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解条件，解分式方程
【点评】
本题是分式方程无解类的常考题型，解题核心是掌握分式方程无解的两种情形，本题整式方程为一元一次方程必有解，只需代入增根计算即可，解题时注意不要遗漏增根的判断。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两类常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是使原分式方程分母为0的增根。本题中去分母后得到的是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑解为增根的情况：原方程分母为$x-1$，所以增根为$x=1$，将$x=1$代入去分母后的整式方程即可求出$m$的值。
【解析】
给原方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（此时$x≠1$），消去分母得：
$7x + 5(x-1) = 2m - 1$
展开并整理左边：
$7x + 5x - 5 = 12x - 5$
因此方程变为：
$12x - 5 = 2m - 1$
移项化简得：
$12x = 2m + 4$
$x = \frac{m+2}{6}$
因为原分式方程无解，所以上述整式方程的解是原方程的增根，令$x-1=0$，得增根$x=1$。
将$x=1$代入$x = \frac{m+2}{6}$得：
$1 = \frac{m+2}{6}$
解得$m=4$。
【答案】
$m=4$
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解条件，解分式方程
【点评】
本题是分式方程无解类的常考题型，解题核心是掌握分式方程无解的两种情形，本题整式方程为一元一次方程必有解，只需代入增根计算即可，解题时注意不要遗漏增根的判断。
【难度系数】
0.7
6. 两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲、乙两地相距7.5千米，第一小组步行的速度是第二组的1.2倍，并且比第二小组早$\frac{1}{4}$小时到达乙地。
（1）求第二小组的步行速度；
（2）返回时，第二小组为了加快速度，准备进行提速，现有两种方案。
方案1:前半程速度为$a$，后半程速度为$b$；
方案2:全程速度均为$\frac{1}{2}(a+b)$。（方案中速度单位均为千米/时）
其中$a$和$b$是不相等的正数，请比较哪种方案平均速度更快，并说明你的理由。
（1）求第二小组的步行速度；
（2）返回时，第二小组为了加快速度，准备进行提速，现有两种方案。
方案1:前半程速度为$a$，后半程速度为$b$；
方案2:全程速度均为$\frac{1}{2}(a+b)$。（方案中速度单位均为千米/时）
其中$a$和$b$是不相等的正数，请比较哪种方案平均速度更快，并说明你的理由。
答案
6. (1) 5千米/时.
(2) 方案2的平均速度更快,理由略.
(2) 方案2的平均速度更快,理由略.
解析
【分析】
（1）本题为行程类应用题，核心公式为$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，解题的关键是找到时间的等量关系：第二小组走完全程的时间减去第一小组走完全程的时间等于$\frac{1}{4}$小时。我们可以设第二小组的速度为未知数，根据等量关系列分式方程求解，最后要检验分式方程的根是否符合题意。
（2）比较两种方案的平均速度，首先要明确平均速度的定义是$\mathrm{平均速度}=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}$，我们可以巧设总路程为$2s$简化计算，分别求出两种方案的平均速度后，用作差法结合完全平方公式判断两个平均速度的大小关系即可。
【解析】
（1）设第二小组的步行速度为$x$千米/时，则第一小组的步行速度为$1.2x$千米/时。
根据题意列方程：
$\frac{7.5}{x}-\frac{7.5}{1.2x}=\frac{1}{4}$
方程两边同时乘$1.2x$去分母得：
$7.5×1.2 -7.5 = \frac{1}{4}×1.2x$
计算得：$9-7.5=0.3x$，即$1.5=0.3x$，解得$x=5$。
检验：当$x=5$时，$1.2x=6≠0$，所以$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
（2）设甲乙两地全程为$2s$千米，分别计算两种方案的平均速度：
方案1：前半程时间为$\frac{s}{a}$，后半程时间为$\frac{s}{b}$，总时间为$\frac{s}{a}+\frac{s}{b}=\frac{s(a+b)}{ab}$，
平均速度$v_1=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}=\frac{2s}{\frac{s(a+b)}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}$。
方案2：平均速度$v_2=\frac{1}{2}(a+b)$。
用作差法比较大小：
$v_2 - v_1=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
因为$a$、$b$是不相等的正数，所以$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，因此$v_2 -v_1＞0$，即$v_2＞v_1$。
【答案】
（1）5千米/时；（2）方案2的平均速度更快。
【知识点】
分式方程应用，平均速度计算，作差法比较大小
【点评】
本题结合实际行程场景考察分式相关知识，第一问要注意分式方程必须验根，避免出现增根；第二问要牢记平均速度的定义是总路程除以总时间，不能直接取两个速度的平均值，计算过程中巧用设未知数的技巧可以简化运算。
【难度系数】
0.7
（1）本题为行程类应用题，核心公式为$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，解题的关键是找到时间的等量关系：第二小组走完全程的时间减去第一小组走完全程的时间等于$\frac{1}{4}$小时。我们可以设第二小组的速度为未知数，根据等量关系列分式方程求解，最后要检验分式方程的根是否符合题意。
（2）比较两种方案的平均速度，首先要明确平均速度的定义是$\mathrm{平均速度}=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}$，我们可以巧设总路程为$2s$简化计算，分别求出两种方案的平均速度后，用作差法结合完全平方公式判断两个平均速度的大小关系即可。
【解析】
（1）设第二小组的步行速度为$x$千米/时，则第一小组的步行速度为$1.2x$千米/时。
根据题意列方程：
$\frac{7.5}{x}-\frac{7.5}{1.2x}=\frac{1}{4}$
方程两边同时乘$1.2x$去分母得：
$7.5×1.2 -7.5 = \frac{1}{4}×1.2x$
计算得：$9-7.5=0.3x$，即$1.5=0.3x$，解得$x=5$。
检验：当$x=5$时，$1.2x=6≠0$，所以$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
（2）设甲乙两地全程为$2s$千米，分别计算两种方案的平均速度：
方案1：前半程时间为$\frac{s}{a}$，后半程时间为$\frac{s}{b}$，总时间为$\frac{s}{a}+\frac{s}{b}=\frac{s(a+b)}{ab}$，
平均速度$v_1=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}=\frac{2s}{\frac{s(a+b)}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}$。
方案2：平均速度$v_2=\frac{1}{2}(a+b)$。
用作差法比较大小：
$v_2 - v_1=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
因为$a$、$b$是不相等的正数，所以$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，因此$v_2 -v_1＞0$，即$v_2＞v_1$。
【答案】
（1）5千米/时；（2）方案2的平均速度更快。
【知识点】
分式方程应用，平均速度计算，作差法比较大小
【点评】
本题结合实际行程场景考察分式相关知识，第一问要注意分式方程必须验根，避免出现增根；第二问要牢记平均速度的定义是总路程除以总时间，不能直接取两个速度的平均值，计算过程中巧用设未知数的技巧可以简化运算。
【难度系数】
0.7
7. 已知$A=\dfrac{m+1}{2},B=\dfrac{2m}{m+1}.$
（1）当$m＞0$时，比较$A-B$与$0$的大小，并说明理由；
（2）设$y=\dfrac{2}{A}+B,$
① 当$y=4$时，求$m$的值；
② 若$m$为整数，求正整数$y$的值。
（1）当$m＞0$时，比较$A-B$与$0$的大小，并说明理由；
（2）设$y=\dfrac{2}{A}+B,$
① 当$y=4$时，求$m$的值；
② 若$m$为整数，求正整数$y$的值。
答案
7. (1) $A-B≥0$,理由略.
(2) ① $m=0$;② $y=1$ 或 $y=3$ 或 $y=4$.
(2) ① $m=0$;② $y=1$ 或 $y=3$ 或 $y=4$.
解析
【分析】
（1）要比较$A-B$与0的大小，首先计算$A-B$的差，通过通分化简为最简分式，再结合$m＞0$的条件判断差的符号即可；（2）①先将$A$、$B$代入$y$的表达式，化简得到$y$关于$m$的最简式子，再令$y=4$解分式方程，注意验根；②由化简后的$y$的表达式，结合$m$是整数、$y$是正整数的条件，分析$m+1$的可能取值，代入求出对应的正整数$y$即可。
【解析】
（1）计算$A-B$：
$A-B=\frac{m+1}{2}-\frac{2m}{m+1}=\frac{(m+1)^2-4m}{2(m+1)}=\frac{m^2-2m+1}{2(m+1)}=\frac{(m-1)^2}{2(m+1)}$
∵$m＞0$，
∴$m+1＞0$，又$(m-1)^2≥0$，
∴$\frac{(m-1)^2}{2(m+1)}≥0$，即$A-B≥0$。
（2）先化简$y$的表达式：
将$A=\frac{m+1}{2}$、$B=\frac{2m}{m+1}$代入$y=\frac{2}{A}+B$得：
$y=\frac{4}{m+1}+\frac{2m}{m+1}=\frac{2m+4}{m+1}=2+\frac{2}{m+1}$
①当$y=4$时：
$2+\frac{2}{m+1}=4$，解得$\frac{2}{m+1}=2$，两边同乘$(m+1)$得$2=2(m+1)$，解得$m=0$。
检验：当$m=0$时，$m+1=1≠0$，故$m=0$是原方程的解。
②
∵$m$为整数，$y$为正整数，
∴$\frac{2}{m+1}$为整数，且$2+\frac{2}{m+1}＞0$。
$m+1$是2的整数因数，即$m+1=±1、±2$：
当$m+1=1$时，$m=0$，$y=2+2=4$，符合要求；
当$m+1=-1$时，$m=-2$，$y=2-2=0$，不是正整数，舍去；
当$m+1=2$时，$m=1$，$y=2+1=3$，符合要求；
当$m+1=-2$时，$m=-3$，$y=2-1=1$，符合要求。
故正整数$y$的值为1、3、4。
【答案】
(1) $A-B≥0$；(2) ① $m=0$；② $y=1$或$y=3$或$y=4$
【知识点】
分式的运算，解分式方程，分式整数解
【点评】
本题考查分式的相关运算与应用，解题时需注意分式分母不为0的隐含条件，求整数解时要全面考虑因数的所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）要比较$A-B$与0的大小，首先计算$A-B$的差，通过通分化简为最简分式，再结合$m＞0$的条件判断差的符号即可；（2）①先将$A$、$B$代入$y$的表达式，化简得到$y$关于$m$的最简式子，再令$y=4$解分式方程，注意验根；②由化简后的$y$的表达式，结合$m$是整数、$y$是正整数的条件，分析$m+1$的可能取值，代入求出对应的正整数$y$即可。
【解析】
（1）计算$A-B$：
$A-B=\frac{m+1}{2}-\frac{2m}{m+1}=\frac{(m+1)^2-4m}{2(m+1)}=\frac{m^2-2m+1}{2(m+1)}=\frac{(m-1)^2}{2(m+1)}$
∵$m＞0$，
∴$m+1＞0$，又$(m-1)^2≥0$，
∴$\frac{(m-1)^2}{2(m+1)}≥0$，即$A-B≥0$。
（2）先化简$y$的表达式：
将$A=\frac{m+1}{2}$、$B=\frac{2m}{m+1}$代入$y=\frac{2}{A}+B$得：
$y=\frac{4}{m+1}+\frac{2m}{m+1}=\frac{2m+4}{m+1}=2+\frac{2}{m+1}$
①当$y=4$时：
$2+\frac{2}{m+1}=4$，解得$\frac{2}{m+1}=2$，两边同乘$(m+1)$得$2=2(m+1)$，解得$m=0$。
检验：当$m=0$时，$m+1=1≠0$，故$m=0$是原方程的解。
②
∵$m$为整数，$y$为正整数，
∴$\frac{2}{m+1}$为整数，且$2+\frac{2}{m+1}＞0$。
$m+1$是2的整数因数，即$m+1=±1、±2$：
当$m+1=1$时，$m=0$，$y=2+2=4$，符合要求；
当$m+1=-1$时，$m=-2$，$y=2-2=0$，不是正整数，舍去；
当$m+1=2$时，$m=1$，$y=2+1=3$，符合要求；
当$m+1=-2$时，$m=-3$，$y=2-1=1$，符合要求。
故正整数$y$的值为1、3、4。
【答案】
(1) $A-B≥0$；(2) ① $m=0$；② $y=1$或$y=3$或$y=4$
【知识点】
分式的运算，解分式方程，分式整数解
【点评】
本题考查分式的相关运算与应用，解题时需注意分式分母不为0的隐含条件，求整数解时要全面考虑因数的所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
