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1. 写出反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$图像上一点的坐标：______。
答案
(-1,6)(答案不唯一)
解析
【分析】
要写出反比例函数图像上一点的坐标，首先要明确：函数图像上任意一点的横纵坐标都满足该函数的解析式。对于反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$，自变量$x$不能为0（分母不能为0），因此我们只需任意选取一个不为0的$x$值，代入解析式算出对应的$y$值，二者组成的坐标就是符合要求的答案。
【解析】
解：
∵反比例函数图像上的点的坐标满足函数解析式，且该函数自变量$x$的取值范围是$x≠0$，
∴我们可以任选一个非零的$x$值代入计算，例如取$x=-1$，
将$x=-1$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$y=-\dfrac{6}{-1}=6$，
因此点$(-1,6)$就是该反比例函数图像上的一点，选取其他非零$x$值计算得到的坐标也符合要求。
【答案】
$(-1,6)$(答案不唯一)
【知识点】
1. 反比例函数自变量取值范围
2. 函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是理解函数图像上的点的坐标和函数解析式的对应关系，作答时注意不要取$x=0$即可。
【难度系数】
0.9
要写出反比例函数图像上一点的坐标，首先要明确：函数图像上任意一点的横纵坐标都满足该函数的解析式。对于反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$，自变量$x$不能为0（分母不能为0），因此我们只需任意选取一个不为0的$x$值，代入解析式算出对应的$y$值，二者组成的坐标就是符合要求的答案。
【解析】
解：
∵反比例函数图像上的点的坐标满足函数解析式，且该函数自变量$x$的取值范围是$x≠0$，
∴我们可以任选一个非零的$x$值代入计算，例如取$x=-1$，
将$x=-1$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$y=-\dfrac{6}{-1}=6$，
因此点$(-1,6)$就是该反比例函数图像上的一点，选取其他非零$x$值计算得到的坐标也符合要求。
【答案】
$(-1,6)$(答案不唯一)
【知识点】
1. 反比例函数自变量取值范围
2. 函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是理解函数图像上的点的坐标和函数解析式的对应关系，作答时注意不要取$x=0$即可。
【难度系数】
0.9
2. 已知$y$与$2x+1$成反比例，且当$x=1$时，$y=2$，那么当$x=0$时，$y=\_\_\_\_\_\_$.
答案
6
解析
【分析】
本题需要先根据反比例的定义设出函数解析式，再利用已知条件求出未知系数，最后代入x的值计算对应的y值。解题思路如下：1. 若两个量成反比例，则可表示为$y=\frac{k}{B}$（k为常数，$k≠0$，B为成反比例的量），本题中B为$2x+1$，据此设出含待定系数k的解析式；2. 将已知的$x=1$、$y=2$代入解析式，求出k的值，确定完整的函数解析式；3. 将$x=0$代入确定好的解析式，计算得到y的值。
【解析】
∵ y与$2x+1$成反比例
∴ 设函数解析式为$y=\frac{k}{2x+1}$（$k≠0$）
把$x=1$，$y=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{2×1 + 1}$
即$2=\frac{k}{3}$，解得$k=6$
∴ 函数解析式为$y=\frac{6}{2x+1}$
把$x=0$代入解析式，得：
$y=\frac{6}{2×0 + 1}=6$
【答案】
6
【知识点】
反比例关系定义；待定系数法；求函数值
【点评】
本题是函数部分的基础题型，重点考查对反比例关系的理解和待定系数法的应用，熟练掌握反比例的定义是解题的前提，计算时注意代入数值后运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
本题需要先根据反比例的定义设出函数解析式，再利用已知条件求出未知系数，最后代入x的值计算对应的y值。解题思路如下：1. 若两个量成反比例，则可表示为$y=\frac{k}{B}$（k为常数，$k≠0$，B为成反比例的量），本题中B为$2x+1$，据此设出含待定系数k的解析式；2. 将已知的$x=1$、$y=2$代入解析式，求出k的值，确定完整的函数解析式；3. 将$x=0$代入确定好的解析式，计算得到y的值。
【解析】
∵ y与$2x+1$成反比例
∴ 设函数解析式为$y=\frac{k}{2x+1}$（$k≠0$）
把$x=1$，$y=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{2×1 + 1}$
即$2=\frac{k}{3}$，解得$k=6$
∴ 函数解析式为$y=\frac{6}{2x+1}$
把$x=0$代入解析式，得：
$y=\frac{6}{2×0 + 1}=6$
【答案】
6
【知识点】
反比例关系定义；待定系数法；求函数值
【点评】
本题是函数部分的基础题型，重点考查对反比例关系的理解和待定系数法的应用，熟练掌握反比例的定义是解题的前提，计算时注意代入数值后运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
3. 若 $ y = (5 + m)x^{2 + n} $ 是反比例函数，则 $ m, n $ 的取值是\underline{\qquad}.
答案
$n=-3,m≠-5$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠ 0$），即需同时满足两个条件：①自变量$x$的指数为$-1$；②自变量的系数不为0。我们根据这两个条件分别列方程和不等式，就能求出$m$、$n$的取值。
【解析】
已知$y=(5+m)x^{2+n}$是反比例函数，结合反比例函数的定义：
1. 自变量$x$的指数等于$-1$，可列方程：
$2 + n = -1$
解得：$n = -1 - 2 = -3$
2. 自变量的系数不为0，可列不等式：
$5 + m ≠ 0$
解得：$m ≠ -5$
【答案】
$n=-3,m≠-5$
【知识点】
反比例函数的定义、一元一次方程求解、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记反比例函数定义的两个核心要求，易错点是容易忽略比例系数不能为0的限制条件，掌握定义后即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠ 0$），即需同时满足两个条件：①自变量$x$的指数为$-1$；②自变量的系数不为0。我们根据这两个条件分别列方程和不等式，就能求出$m$、$n$的取值。
【解析】
已知$y=(5+m)x^{2+n}$是反比例函数，结合反比例函数的定义：
1. 自变量$x$的指数等于$-1$，可列方程：
$2 + n = -1$
解得：$n = -1 - 2 = -3$
2. 自变量的系数不为0，可列不等式：
$5 + m ≠ 0$
解得：$m ≠ -5$
【答案】
$n=-3,m≠-5$
【知识点】
反比例函数的定义、一元一次方程求解、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记反比例函数定义的两个核心要求，易错点是容易忽略比例系数不能为0的限制条件，掌握定义后即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 已知反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图像经过点$(2,3)$，当$x＜-3$时，$y$的取值范围是________.
答案
$-2＜y＜0$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，利用待定系数法，将已知点(2,3)代入反比例函数解析式，求出k的值，确定完整的函数表达式；第二步，根据反比例函数的增减性，结合x的取值范围x＜-3，先计算x=-3时对应的y值，再结合第三象限内函数的变化规律，推导得到y的取值范围，注意要判断对应象限内y的正负性。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点(2,3)代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$3=\dfrac{k}{2}$，解得$k=2×3=6$，因此反比例函数为$y=\dfrac{6}{x}$。
2. 分析函数性质：
因为$k=6＞0$，所以该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
3. 求取值范围：
当$x=-3$时，$y=\dfrac{6}{-3}=-2$。
当$x＜-3$时，对应图象在第三象限，因此$y＜0$；又因为该象限内$y$随$x$的增大而减小，$x＜-3$说明$x$小于$-3$，所以对应的$y$值大于$-2$。
综上，$y$的取值范围是$-2＜y＜0$。
【答案】
$-2＜y＜0$
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数的性质；函数取值范围计算
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，解题核心是先确定函数解析式，再结合函数的增减性分析取值范围，解题时要注意结合函数所在象限判断y的符号，避免出现漏判y为负数的错误。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，利用待定系数法，将已知点(2,3)代入反比例函数解析式，求出k的值，确定完整的函数表达式；第二步，根据反比例函数的增减性，结合x的取值范围x＜-3，先计算x=-3时对应的y值，再结合第三象限内函数的变化规律，推导得到y的取值范围，注意要判断对应象限内y的正负性。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点(2,3)代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$3=\dfrac{k}{2}$，解得$k=2×3=6$，因此反比例函数为$y=\dfrac{6}{x}$。
2. 分析函数性质：
因为$k=6＞0$，所以该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
3. 求取值范围：
当$x=-3$时，$y=\dfrac{6}{-3}=-2$。
当$x＜-3$时，对应图象在第三象限，因此$y＜0$；又因为该象限内$y$随$x$的增大而减小，$x＜-3$说明$x$小于$-3$，所以对应的$y$值大于$-2$。
综上，$y$的取值范围是$-2＜y＜0$。
【答案】
$-2＜y＜0$
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数的性质；函数取值范围计算
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，解题核心是先确定函数解析式，再结合函数的增减性分析取值范围，解题时要注意结合函数所在象限判断y的符号，避免出现漏判y为负数的错误。
【难度系数】
0.7
5. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(0,2).若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图像经过点C,则k的值为
-6
.答案
-6
解析
【分析】
要求反比例函数中k的值，需先求出点C的坐标。已知正方形ABCD的顶点A、B坐标，可利用正方形边相等、内角为90°的性质，通过作辅助线构造全等三角形，得到点C横纵坐标对应的线段长度，进而确定点C坐标，最后代入反比例函数解析式计算k。
【解析】
过点C作$CE⊥ y$轴于点E。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABO + ∠ CBE=90°$。
又
∵在$Rt△ AOB$中，$∠ ABO + ∠ OAB=90°$，
∴$∠ OAB=∠ CBE$。
在$△ AOB$和$△ BEC$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BEC=90° \\∠ OAB=∠ EBC \\AB=BC\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ BEC$（AAS）。
已知$A(-1,0)$，$B(0,2)$，则$OA=1$，$OB=2$。
由全等三角形对应边相等可得：$BE=OA=1$，$CE=OB=2$，
∴点E的纵坐标为$OB+BE=2+1=3$，
∵点C在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点C的坐标为$(-2,3)$。
将$C(-2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=xy=(-2)×3=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是通过构造全等三角形将已知点的坐标转化为未知点对应线段的长度，进而求出反比例函数上点的坐标，这类题是初中阶段的常考题型。
【难度系数】
0.6
要求反比例函数中k的值，需先求出点C的坐标。已知正方形ABCD的顶点A、B坐标，可利用正方形边相等、内角为90°的性质，通过作辅助线构造全等三角形，得到点C横纵坐标对应的线段长度，进而确定点C坐标，最后代入反比例函数解析式计算k。
【解析】
过点C作$CE⊥ y$轴于点E。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABO + ∠ CBE=90°$。
又
∵在$Rt△ AOB$中，$∠ ABO + ∠ OAB=90°$，
∴$∠ OAB=∠ CBE$。
在$△ AOB$和$△ BEC$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BEC=90° \\∠ OAB=∠ EBC \\AB=BC\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ BEC$（AAS）。
已知$A(-1,0)$，$B(0,2)$，则$OA=1$，$OB=2$。
由全等三角形对应边相等可得：$BE=OA=1$，$CE=OB=2$，
∴点E的纵坐标为$OB+BE=2+1=3$，
∵点C在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点C的坐标为$(-2,3)$。
将$C(-2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=xy=(-2)×3=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是通过构造全等三角形将已知点的坐标转化为未知点对应线段的长度，进而求出反比例函数上点的坐标，这类题是初中阶段的常考题型。
【难度系数】
0.6
6. 已知一次函数 $ y = -x + 5 $ 和反比例函数 $ y = \frac{-3}{x} $ 相交于点 $ A(a,b) $，则 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
$-\frac{5}{3}$
解析
【分析】
首先，交点A的坐标同时满足两个函数的解析式，因此可以得到a与b的两组对应关系。观察待求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，通分后可变形为$\frac{a+b}{ab}$，因此不需要分别求解a、b的具体值，只需要求出$a+b$和$ab$的整体值代入计算即可，能大幅简化计算过程。
【解析】
∵点$A(a,b)$是一次函数$y=-x+5$和反比例函数$y=\frac{-3}{x}$的交点
∴将$A(a,b)$代入一次函数解析式得：$b = -a + 5$，移项可得$a + b = 5$
将$A(a,b)$代入反比例函数解析式得：$b = \frac{-3}{a}$，两边同乘非零实数a可得$ab = -3$
对待求式通分化简：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$
将$a+b=5$，$ab=-3$代入化简后的式子得：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{-3}=-\frac{5}{3}$
【答案】
$-\frac{5}{3}$
【知识点】
函数交点坐标意义，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题解题核心是利用函数交点的性质得到a、b的数量关系，无需计算a、b的具体数值，通过整体代入的方法简化计算，重点考查代数式变形能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
首先，交点A的坐标同时满足两个函数的解析式，因此可以得到a与b的两组对应关系。观察待求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，通分后可变形为$\frac{a+b}{ab}$，因此不需要分别求解a、b的具体值，只需要求出$a+b$和$ab$的整体值代入计算即可，能大幅简化计算过程。
【解析】
∵点$A(a,b)$是一次函数$y=-x+5$和反比例函数$y=\frac{-3}{x}$的交点
∴将$A(a,b)$代入一次函数解析式得：$b = -a + 5$，移项可得$a + b = 5$
将$A(a,b)$代入反比例函数解析式得：$b = \frac{-3}{a}$，两边同乘非零实数a可得$ab = -3$
对待求式通分化简：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$
将$a+b=5$，$ab=-3$代入化简后的式子得：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{-3}=-\frac{5}{3}$
【答案】
$-\frac{5}{3}$
【知识点】
函数交点坐标意义，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题解题核心是利用函数交点的性质得到a、b的数量关系，无需计算a、b的具体数值，通过整体代入的方法简化计算，重点考查代数式变形能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
7. 点A,M在函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图像上，点B,N在函数$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$的图像上，分别过点A,B作x轴的垂线，垂足为D,C，再分别过点M,N作线段AB的垂线，垂足为Q,P，若四边形ABCD与四边形MNPQ均为正方形，则正方形MNPQ的面积是________。
答案
$6-2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时先从第一个正方形ABCD入手，设出点A的横坐标，利用反比例函数解析式表示出点A、B的坐标，结合正方形邻边相等的性质求出正方形ABCD的边长，得到AB所在直线的纵坐标；再设正方形MNPQ的边长为s，同理表示出点M、N的横坐标，根据MN的长度等于边长s列方程求解，最后计算边长的平方得到正方形面积。
【解析】
1. 求正方形ABCD的边长：
设点A的横坐标为$a(a＞0)$，因为A在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$上，所以A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$，AD垂直x轴，故AD的长度为$\frac{1}{a}$。
因为四边形ABCD是正方形，AB平行于x轴，所以点B的纵坐标与A相同，为$\frac{1}{a}$。又B在$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$上，代入得$\frac{1}{a}=-\frac{3}{x}$，解得$x=-3a$，即B点坐标为$(-3a,\frac{1}{a})$。
AB的长度为$a - (-3a)=4a$，由正方形边长相等得$AB=AD$，即$4a=\frac{1}{a}$，解得$a=\frac{1}{2}$（$a＞0$，舍去负根），所以正方形ABCD的边长为$4×\frac{1}{2}=2$，AB所在水平线的纵坐标为2。
2. 求正方形MNPQ的面积：
设正方形MNPQ的边长为$s$，因为MN平行于AB，所以M、N的纵坐标为$2+s$。
M在$y=\frac{1}{x}$上，故M的横坐标为$\frac{1}{2+s}$；N在$y=-\frac{3}{x}$上，故N的横坐标为$-\frac{3}{2+s}$。
MN的长度为$\frac{1}{2+s}-(-\frac{3}{2+s})=\frac{4}{2+s}$，由正方形边长相等得$MN=s$，即$\frac{4}{2+s}=s$，整理得$s^2+2s-4=0$。
解这个方程，得$s=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，因为边长为正，所以取$s=\sqrt{5}-1$。
正方形MNPQ的面积为$s^2=(\sqrt{5}-1)^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$。
【答案】
$6-2\sqrt{5}$
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数与正方形结合的综合题，解题核心是利用函数图像上点的坐标满足函数解析式，结合正方形边长相等的特征建立方程求解，考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
解题时先从第一个正方形ABCD入手，设出点A的横坐标，利用反比例函数解析式表示出点A、B的坐标，结合正方形邻边相等的性质求出正方形ABCD的边长，得到AB所在直线的纵坐标；再设正方形MNPQ的边长为s，同理表示出点M、N的横坐标，根据MN的长度等于边长s列方程求解，最后计算边长的平方得到正方形面积。
【解析】
1. 求正方形ABCD的边长：
设点A的横坐标为$a(a＞0)$，因为A在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$上，所以A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$，AD垂直x轴，故AD的长度为$\frac{1}{a}$。
因为四边形ABCD是正方形，AB平行于x轴，所以点B的纵坐标与A相同，为$\frac{1}{a}$。又B在$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$上，代入得$\frac{1}{a}=-\frac{3}{x}$，解得$x=-3a$，即B点坐标为$(-3a,\frac{1}{a})$。
AB的长度为$a - (-3a)=4a$，由正方形边长相等得$AB=AD$，即$4a=\frac{1}{a}$，解得$a=\frac{1}{2}$（$a＞0$，舍去负根），所以正方形ABCD的边长为$4×\frac{1}{2}=2$，AB所在水平线的纵坐标为2。
2. 求正方形MNPQ的面积：
设正方形MNPQ的边长为$s$，因为MN平行于AB，所以M、N的纵坐标为$2+s$。
M在$y=\frac{1}{x}$上，故M的横坐标为$\frac{1}{2+s}$；N在$y=-\frac{3}{x}$上，故N的横坐标为$-\frac{3}{2+s}$。
MN的长度为$\frac{1}{2+s}-(-\frac{3}{2+s})=\frac{4}{2+s}$，由正方形边长相等得$MN=s$，即$\frac{4}{2+s}=s$，整理得$s^2+2s-4=0$。
解这个方程，得$s=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，因为边长为正，所以取$s=\sqrt{5}-1$。
正方形MNPQ的面积为$s^2=(\sqrt{5}-1)^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$。
【答案】
$6-2\sqrt{5}$
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数与正方形结合的综合题，解题核心是利用函数图像上点的坐标满足函数解析式，结合正方形边长相等的特征建立方程求解，考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
8. 如图是一个9级台阶在平面直角坐标系中的示意图，每级台阶的高是0.5，宽是1，每级台阶凸出的角的顶点从左到右分别记作$T_1,T_2,T_3,\dots,T_9$. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图像为曲线$L$，若$T_1,T_2,T_3,\dots,T_9$这些点分布在曲线$L$的两侧，且一侧有4个点，另一侧有5个点，则$k$的取值范围是$\underline{\hspace{3cm}}$.
答案
$-\frac{21}{2}＜k＜-8$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据台阶的宽和高确定$T_1$到$T_9$的坐标，台阶宽为1、高为0.5，横坐标从左到右依次为-9到-1，纵坐标依次为0.5到4.5；2. 对反比例函数$y=\frac{k}{x}$变形得$k=xy$，若点在曲线上，则对应的$k$值等于该点横纵坐标的乘积，先计算每个$T_n$对应的$k$值；3. 观察$k$值的分布，要让9个点分在曲线两侧、一侧4个一侧5个，说明$k$需取在两个分界$k$值之间，端点处有点落在曲线上，不符合“两侧”的要求，因此不取等号。
【解析】
首先确定各点坐标：每级台阶宽为1，高为0.5，因此$T_n$（$n=1,2,\dots,9$）的坐标为$(-(10-n), 0.5n)$。
计算每个点对应的$k$值（若点在曲线$L$上，$k=xy$）：
$T_1$：$x=-9,y=0.5$，$k_1=-9×0.5=-4.5$
$T_2$：$x=-8,y=1$，$k_2=-8×1=-8$
$T_3$：$x=-7,y=1.5$，$k_3=-7×1.5=-\frac{21}{2}$
$T_4$：$x=-6,y=2$，$k_4=-6×2=-12$
$T_5$：$x=-5,y=2.5$，$k_5=-5×2.5=-12.5$
$T_6$：$x=-4,y=3$，$k_6=-4×3=-12$
$T_7$：$x=-3,y=3.5$，$k_7=-3×3.5=-\frac{21}{2}$
$T_8$：$x=-2,y=4$，$k_8=-2×4=-8$
$T_9$：$x=-1,y=4.5$，$k_9=-1×4.5=-4.5$
当$-\frac{21}{2}＜k＜-8$时，$T_1、T_2、T_8、T_9$共4个点在曲线一侧，剩余5个点在另一侧，符合题意；若$k=-\frac{21}{2}$或$k=-8$，则有点落在曲线上，不符合“分布在两侧”的要求，因此不取等号。
【答案】
$-\frac{21}{2}＜k＜-8$
【知识点】
反比例函数的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题结合台阶图形考查反比例函数的应用，解题的关键是准确求出各点坐标，通过计算各点对应的$k$值找到分界范围，需要注意$x＜0$时反比例函数的变化规律，避免搞反$k$的取值区间。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先根据台阶的宽和高确定$T_1$到$T_9$的坐标，台阶宽为1、高为0.5，横坐标从左到右依次为-9到-1，纵坐标依次为0.5到4.5；2. 对反比例函数$y=\frac{k}{x}$变形得$k=xy$，若点在曲线上，则对应的$k$值等于该点横纵坐标的乘积，先计算每个$T_n$对应的$k$值；3. 观察$k$值的分布，要让9个点分在曲线两侧、一侧4个一侧5个，说明$k$需取在两个分界$k$值之间，端点处有点落在曲线上，不符合“两侧”的要求，因此不取等号。
【解析】
首先确定各点坐标：每级台阶宽为1，高为0.5，因此$T_n$（$n=1,2,\dots,9$）的坐标为$(-(10-n), 0.5n)$。
计算每个点对应的$k$值（若点在曲线$L$上，$k=xy$）：
$T_1$：$x=-9,y=0.5$，$k_1=-9×0.5=-4.5$
$T_2$：$x=-8,y=1$，$k_2=-8×1=-8$
$T_3$：$x=-7,y=1.5$，$k_3=-7×1.5=-\frac{21}{2}$
$T_4$：$x=-6,y=2$，$k_4=-6×2=-12$
$T_5$：$x=-5,y=2.5$，$k_5=-5×2.5=-12.5$
$T_6$：$x=-4,y=3$，$k_6=-4×3=-12$
$T_7$：$x=-3,y=3.5$，$k_7=-3×3.5=-\frac{21}{2}$
$T_8$：$x=-2,y=4$，$k_8=-2×4=-8$
$T_9$：$x=-1,y=4.5$，$k_9=-1×4.5=-4.5$
当$-\frac{21}{2}＜k＜-8$时，$T_1、T_2、T_8、T_9$共4个点在曲线一侧，剩余5个点在另一侧，符合题意；若$k=-\frac{21}{2}$或$k=-8$，则有点落在曲线上，不符合“分布在两侧”的要求，因此不取等号。
【答案】
$-\frac{21}{2}＜k＜-8$
【知识点】
反比例函数的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题结合台阶图形考查反比例函数的应用，解题的关键是准确求出各点坐标，通过计算各点对应的$k$值找到分界范围，需要注意$x＜0$时反比例函数的变化规律，避免搞反$k$的取值区间。
【难度系数】
0.6
9. 如图,点 A 的坐标是$(-2,0)$,点 B 的坐标是$(0,6)$,C 为 OB 的中点,将$△ ABC$绕点 B 逆时针旋转$90°$后得到$△ A'B'C'$.若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像恰好经过$A'B$的中点 D,则$k=$
15
.答案
15
解析
【分析】
解题思路分为三步：①先求旋转后点$A'$的坐标，利用旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，构造直角三角形证明全等，即可得到$A'$的横纵坐标；②利用中点坐标公式求出$A'B$的中点$D$的坐标；③将$D$点坐标代入反比例函数解析式，即可求出$k$的值。
【解析】
过点$A'$作$A'E ⊥ y$轴于点$E$。
已知$A(-2,0)$，$B(0,6)$，则$OA=2$，$OB=6$。
$\because △ ABC$绕点$B$逆时针旋转$90°$得到$△ A'BC'$，
$\therefore BA'=BA$，$∠ A'BA=90°$，
$\therefore ∠ A'BE + ∠ ABO = 90°$。
又$\because ∠ ABO + ∠ BAO = 90°$，
$\therefore ∠ A'BE = ∠ BAO$。
在$△ A'EB$和$△ BOA$中：
$\begin{cases}∠ A'EB = ∠ BOA = 90° \\∠ A'BE = ∠ BAO \\BA' = BA\end{cases}$
$\therefore △ A'EB ≌ △ BOA \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore A'E = OB = 6$，$BE = OA = 2$。
$\because B(0,6)$，$\therefore OE = OB - BE = 6 - 2 = 4$，即$A'$的坐标为$(6,4)$。
$\because D$是$A'B$的中点，根据中点坐标公式，$D$的坐标为$(\dfrac{0+6}{2},\dfrac{6+4}{2})=(3,5)$。
将$D(3,5)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$得：$5 = \dfrac{k}{3}$，解得$k=15$。
【答案】
$\boxed{15}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；反比例函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是几何变换与反比例函数的综合题，解题核心是通过构造全等三角形求出旋转后对应点的坐标，再结合中点公式和反比例函数的性质计算，是几何与代数结合的典型考法。
【难度系数】
$0.65$
解题思路分为三步：①先求旋转后点$A'$的坐标，利用旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，构造直角三角形证明全等，即可得到$A'$的横纵坐标；②利用中点坐标公式求出$A'B$的中点$D$的坐标；③将$D$点坐标代入反比例函数解析式，即可求出$k$的值。
【解析】
过点$A'$作$A'E ⊥ y$轴于点$E$。
已知$A(-2,0)$，$B(0,6)$，则$OA=2$，$OB=6$。
$\because △ ABC$绕点$B$逆时针旋转$90°$得到$△ A'BC'$，
$\therefore BA'=BA$，$∠ A'BA=90°$，
$\therefore ∠ A'BE + ∠ ABO = 90°$。
又$\because ∠ ABO + ∠ BAO = 90°$，
$\therefore ∠ A'BE = ∠ BAO$。
在$△ A'EB$和$△ BOA$中：
$\begin{cases}∠ A'EB = ∠ BOA = 90° \\∠ A'BE = ∠ BAO \\BA' = BA\end{cases}$
$\therefore △ A'EB ≌ △ BOA \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore A'E = OB = 6$，$BE = OA = 2$。
$\because B(0,6)$，$\therefore OE = OB - BE = 6 - 2 = 4$，即$A'$的坐标为$(6,4)$。
$\because D$是$A'B$的中点，根据中点坐标公式，$D$的坐标为$(\dfrac{0+6}{2},\dfrac{6+4}{2})=(3,5)$。
将$D(3,5)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$得：$5 = \dfrac{k}{3}$，解得$k=15$。
【答案】
$\boxed{15}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；反比例函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是几何变换与反比例函数的综合题，解题核心是通过构造全等三角形求出旋转后对应点的坐标，再结合中点公式和反比例函数的性质计算，是几何与代数结合的典型考法。
【难度系数】
$0.65$
