10. 已知反比例函数$y=\dfrac{3k-6}{x}$的图像在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，则$k$的取值范围是________.

$k＞2$

【分析】
本题考查反比例函数的增减性应用，解题思路如下：首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数且$a≠0$），若图像在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，则比例系数$a＞0$；本题中反比例函数的比例系数为$3k-6$，据此列出不等式，再解一元一次不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的性质：当反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a≠0$）的图像在每个象限内$y$随$x$的增大而减小时，比例系数$a＞0$。
结合本题题意可得：
$3k-6＞0$
移项得：$3k＞6$
不等式两边同时除以3，得：$k＞2$
【答案】
$k＞2$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握反比例函数的增减性与比例系数符号的对应关系，避免将增减性对应的系数符号记反即可正确求解。
【难度系数】
0.8

1. 函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图像与$x$轴的交点的个数是 （）

A.零个
B.一个
C.两个
D.不能确定

A

【分析】
解题时首先明确函数图像与x轴交点的特征：x轴上所有点的纵坐标都为0，因此要判断交点个数，只需令函数的y值为0，看方程是否有符合要求的解。结合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，$k\ne0$）的性质，x的取值范围是$x\ne0$，且$k\ne0$时y的值永远不可能为0，因此可以推导出该函数和x轴没有交点。
【解析】
要确定函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图像与x轴的交点个数，根据x轴上点的纵坐标为0的性质，令$y=0$，可得：
$-\dfrac{4}{x}=0$
根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，该式中分子为$-4\ne0$，因此该方程无实数解。
即不存在x使得函数$y=-\dfrac{4}{x}$的函数值为0，因此该函数图像与x轴没有交点，交点个数为0。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；函数与坐标轴交点的求解；分式值为0的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对反比例函数基本特征的掌握，以及函数图像与坐标轴交点的求解逻辑，解题的关键是抓住x轴上点的坐标特点，结合分式的性质快速判断，熟练掌握相关基础概念就能轻松得分。
【难度系数】
0.9

2. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+k$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k$为常数,$k≠0)$的图像可能是 （）

A

【分析】
解题时先明确两个函数的参数均为k，k的正负会同时决定两个函数的图像位置，因此采用分类讨论的思路：先分别推导k＞0、k＜0两种情况下一次函数和反比例函数的图像所在象限，再逐一比对选项，排除k的符号矛盾的选项即可得到答案。其中一次函数y=kx+k可变形为y=k(x+1)，恒过定点(-1,0)，也可结合该性质辅助判断。
【解析】
分两种情况讨论参数k的取值：
1. 当k＞0时：
① 一次函数y=kx+k：斜率k＞0，y轴截距为k＞0，因此图像经过第一、二、三象限；
② 反比例函数$y=\frac{k}{x}$：k＞0，因此图像的两个分支分别位于第一、第三象限。
观察选项，A选项的图像符合该情况。
2. 当k＜0时：
① 一次函数y=kx+k：斜率k＜0，y轴截距为k＜0，因此图像经过第二、三、四象限；
② 反比例函数$y=\frac{k}{x}$：k＜0，因此图像的两个分支分别位于第二、第四象限。
其余选项均不符合该情况：B选项一次函数对应k＜0，但反比例函数对应k＞0，符号矛盾；C选项一次函数y轴截距为正，说明k＞0，与斜率为负的k＜0矛盾；D选项一次函数对应k＞0，但反比例函数对应k＜0，符号矛盾。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质，反比例函数图象性质
【点评】
本题是函数图像判断的典型题，解题核心是抓住两个函数共用参数k的特点，通过分类讨论判断k的正负对两类函数图像的共同影响，排除矛盾选项即可快速解题。
【难度系数】
0.7

3. 如图,函数$y_1=x-1$和函数$y_2=\dfrac{2}{x}$的图像相交于点$M(m,1)$,$N(n,-2)$,若$y_1＜y_2$,则$x$的取值范围是 （）

A.$-1＜x＜2$
B.$-1＜x＜0$或$0＜x＜2$
C.$x＜-1$或$0＜x＜2$
D.$-1＜x＜0$或$x＞2$

C

【分析】
解题时首先需要求出两个函数交点的具体坐标：交点同时在两个函数图象上，将两点已知的纵坐标代入一次函数解析式即可算出m、n的值，得到交点坐标后，结合图象分区间观察一次函数图象位于反比例函数图象下方对应的x的取值范围即可，注意反比例函数自变量x≠0，不能忽略x=0这个分界点。
【解析】
1. 求点M的横坐标：
已知点$M(m,1)$在$y_1=x-1$上，将$y=1$代入$y_1=x-1$，得$1=m-1$，解得$m=2$，即$M(2,1)$。
2. 求点N的横坐标：
已知点$N(n,-2)$在$y_1=x-1$上，将$y=-2$代入$y_1=x-1$，得$-2=n-1$，解得$n=-1$，即$N(-1,-2)$。
3. 结合图象判断$y_1＜y_2$的x范围：
观察图象可知：
①当$x＜-1$时，$y_1$的图象在$y_2$图象下方，满足$y_1＜y_2$；
②当$-1＜x＜0$时，$y_1$的图象在$y_2$图象上方，不满足；
③当$0＜x＜2$时，$y_1$的图象在$y_2$图象下方，满足$y_1＜y_2$；
④当$x＞2$时，$y_1$的图象在$y_2$图象上方，不满足。
综上，$y_1＜y_2$时x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜2$。
【答案】
C
【知识点】
点与函数图象的关系，一次函数与反比例函数交点，图象法比较函数值
【点评】
本题是一次函数和反比例函数的综合常考题，解题核心是先确定交点坐标，再结合图象分区间判断函数值大小，需要注意反比例函数自变量不能为0，不要漏了x=0这个分界点。
【难度系数】
0.7

4. 如图所示是反比例函数$y=\frac{3}{x}$和$y=-\frac{7}{x}$在$x$轴上方的图像，$x$轴的平行线$AB$分别与这两个函数图像相交于点$A,B$，点$P$在$x$轴上.则点$P$从左到右的运动过程中，$△ APB$的面积是（）

A.10
B.4
C.5
D.从小变大再变小

C

【分析】
解题时先抓住AB平行于x轴的特征，可知A、B两点纵坐标相等，且△APB的高为AB到x轴的垂直距离，与点P在x轴上的位置无关。我们可以先设出AB的纵坐标，分别求出A、B两点的横坐标，计算出AB的长度，再代入三角形面积公式计算即可，计算过程中参数会自动消去，得到面积定值。
【解析】
设直线AB的解析式为$ y=k $（$ k＞0 $，因图象在x轴上方）：
1. 求点A坐标：点A在$ y=\frac{3}{x} $上，令$ y=k $，解得$ x=\frac{3}{k} $，即$ A(\frac{3}{k},k) $；
2. 求点B坐标：点B在$ y=-\frac{7}{x} $上，令$ y=k $，解得$ x=-\frac{7}{k} $，即$ B(-\frac{7}{k},k) $；
3. 计算AB长度：因AB平行x轴，AB的长为两点横坐标差的绝对值，即$ AB=\frac{3}{k}-(-\frac{7}{k})=\frac{10}{k} $；
4. 计算△APB的面积：△APB的高为AB到x轴的距离，即$ h=k $，根据三角形面积公式：
$ S_{△ APB}=\frac{1}{2} × AB × h=\frac{1}{2} × \frac{10}{k} × k=5 $
可知△APB的面积为定值5，与点P的位置无关。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础题型，解题核心是发现△APB的面积不受点P位置的影响，通过设参数的方法消去未知量得到定值，能够有效考察对反比例函数坐标特征的掌握程度。
【难度系数】
0.6

5. 如图,在平面直角坐标系中,$AB⊥x$轴,
$AB=4$,点$A,C$均在反比例函数$y=\frac{k}{x}$
$(k＞0,x＞0)$的图像上,若$△ ABC$是等
边三角形,则$k$的值为 （）

A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$

D

【分析】
解题时先从已知条件AB⊥x轴、AB=4入手，设点B坐标为(a,0)，即可得到点A的坐标为(a,4)，结合反比例函数解析式的特征可得k=4a，只需算出a的值就能求k。再利用等边三角形的性质，求出点C的坐标：等边三角形边长为4，可算出AB边上的高为2√3，又因为AB是竖直线段，点C在AB右侧的第一象限，因此C的纵坐标为AB中点的纵坐标2，横坐标为a加等边三角形的高2√3。最后将点C坐标代入反比例函数解析式，联立方程即可求出a，进而得到k的值。
【解析】
设点B的坐标为$(a,0)$（$a＞0$）
$\because AB⊥ x$轴，$AB=4$
$\therefore$点A的坐标为$(a,4)$
$\because$点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上
$\therefore k = a×4 = 4a$ ①
$\because △ ABC$是等边三角形，$AB=4$
$\therefore AB$边上的高为$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
$\because AB$为竖直线段，点C在第一象限、AB右侧
$\therefore$点C的纵坐标为AB中点的纵坐标：$\frac{0+4}{2}=2$，横坐标为$a+2\sqrt{3}$，即$C(a+2\sqrt{3},2)$
$\because$点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上
$\therefore k=(a+2\sqrt{3})×2=2a+4\sqrt{3}$ ②
联立①②得：$4a=2a+4\sqrt{3}$
解得$a=2\sqrt{3}$
$\therefore k=4a=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；等边三角形的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是通过设参数表示出两点坐标，结合反比例函数解析式建立方程求解，是这类综合题的典型考法，需要熟练掌握几何图形的性质和反比例函数的基本特征。
【难度系数】
0.6

6. 已知$A(-1,y_1)$、$B(2,y_2)$两点在反比例函数$y=\frac{3+2m}{x}$的图像上，且$y_1＞y_2$，则$m$的取值范围是（）

A.$m＜0$
B.$m＞0$
C.$m＞-\frac{3}{2}$
D.$m＜-\frac{3}{2}$

D

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k＞0$时图像在一、三象限，$k＜0$时图像在二、四象限。本题中A点横坐标为负，B点横坐标为正，两点不在同一象限，因此可通过判断两点所在象限对应的$y$值正负，结合$y_1＞y_2$的条件确定$k=3+2m$的符号，再解不等式得到$m$的取值范围。
【解析】
已知点$A(-1,y_1)$的横坐标$-1＜0$，点$B(2,y_2)$的横坐标$2＞0$，两点横坐标异号，不在同一象限：
1. 若$3+2m＞0$，反比例函数图像位于第一、三象限：
此时$x＜0$时$y＜0$，即$y_1＜0$；$x＞0$时$y＞0$，即$y_2＞0$，可得$y_1＜y_2$，与题设$y_1＞y_2$矛盾，不符合要求。
2. 若$3+2m＜0$，反比例函数图像位于第二、四象限：
此时$x＜0$时$y＞0$，即$y_1＞0$；$x＞0$时$y＜0$，即$y_2＜0$，可得$y_1＞y_2$，符合题设条件。
解不等式$3+2m＜0$：
移项得$2m＜-3$，
两边同时除以2得$m＜-\frac{3}{2}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图像与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查反比例函数的象限性质，解题关键是根据两点横坐标的正负判断两点所处的象限，结合函数值的大小关系确定比例系数的符号，进而求解参数范围，解题时需注意不要直接套用同象限内的增减性，避免出错。
【难度系数】
0.6

7. 已知点$M(2,a)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上，其中$a,k$为常数，且$k＞0$，则点$M$一定在 （）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

A

【分析】
解题思路如下：第一步，根据“点在函数图像上，则点的坐标满足函数解析式”的性质，将点M的坐标代入反比例函数解析式，得到a与k的关系；第二步，结合已知条件k＞0，判断a的符号；第三步，根据各象限内点的坐标符号特征，确定点M所在的象限。
【解析】
∵ 点M(2,a)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上，
∴ 将x=2，y=a代入解析式，得 $a=\frac{k}{2}$，
又
∵ k＞0，
∴ $a=\frac{k}{2}＞0$，
∴ 点M的横坐标2＞0，纵坐标a＞0，
∵ 横、纵坐标均为正数的点在第一象限，
∴ 点M一定在第一象限，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；点在函数图像上的坐标特征；象限内点的符号特征
【点评】
本题是基础类题目，核心考察对函数图像上点的坐标性质的理解，以及象限坐标符号的记忆，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9