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8. 如图,线段 AB 是直线 $ y=3x+1 $ 的一部分,点 A 是直线与 y 轴的交点,点 B 的纵坐标为 4,曲线 BC 是双曲线 $ y=\frac{k}{x} $ 的一部分,已知点 C 的横坐标为 4,由点 C 开始不断重复“A—B—C”的过程,形成一组波浪线.若点 $ P(2\,025, m) $ 与点 $ Q(2\,028, n) $ 均在该波浪线上,分别过 P,Q 两点向 x 轴作垂线段,垂足为 D 和 E 两点,则四边形 PDEQ 的面积是 （
A.10
B.$ \frac{15}{2} $
C.$ \frac{45}{4} $
D.15
B
）A.10
B.$ \frac{15}{2} $
C.$ \frac{45}{4} $
D.15
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先确定A、B、C三个关键点的坐标，明确波浪线的变化周期；第二步根据周期规律求出P、Q两点的纵坐标；最后判断四边形PDEQ的形状，用对应面积公式计算结果。首先A是直线与y轴交点，代入x=0即可求坐标；B点纵坐标已知，代入直线解析式可求横坐标；再将B点代入双曲线解析式求出k，代入C点横坐标求C点纵坐标，由A、C纵坐标相同可得波浪线周期为4；再计算2025、2028除以4的余数，对应周期内点的纵坐标得到m、n，最后用直角梯形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点A坐标：直线$y=3x+1$与y轴交点，令$x=0$，得$y=1$，$\therefore A(0,1)$。
2. 求点B坐标：B在直线上且纵坐标为4，令$y=4$，得$4=3x+1$，解得$x=1$，$\therefore B(1,4)$。
3. 求双曲线解析式：将$B(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{1}$，$\therefore k=4$，即双曲线为$y=\frac{4}{x}$。
4. 求点C坐标：C在双曲线上且横坐标为4，令$x=4$，得$y=\frac{4}{4}=1$，$\therefore C(4,1)$。
5. 确定周期：由$A(0,1)$、$C(4,1)$可知，波浪线每4个x单位重复一次，周期为4。
6. 求m、n的值：
$2025÷4=506······1$，即$x=2025$对应周期内$x=1$的位置，纵坐标相同，$\therefore m=4$。
$2028÷4=507······0$，即$x=2028$对应周期内$x=0$的位置，纵坐标相同，$\therefore n=1$。
7. 计算四边形面积：$PD⊥ x$轴，$QE⊥ x$轴，四边形PDEQ是直角梯形，上底$QE=1$，下底$PD=4$，高$DE=2028-2025=3$，面积$S=(1+4)×3÷2=\frac{15}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数性质，反比例函数性质，周期规律探究
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数的坐标求解，结合图形的周期规律，再利用直角梯形面积公式求解，解题关键是准确找到波浪线的变化周期，根据余数确定对应点的纵坐标。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步先确定A、B、C三个关键点的坐标，明确波浪线的变化周期；第二步根据周期规律求出P、Q两点的纵坐标；最后判断四边形PDEQ的形状，用对应面积公式计算结果。首先A是直线与y轴交点，代入x=0即可求坐标；B点纵坐标已知，代入直线解析式可求横坐标；再将B点代入双曲线解析式求出k，代入C点横坐标求C点纵坐标，由A、C纵坐标相同可得波浪线周期为4；再计算2025、2028除以4的余数，对应周期内点的纵坐标得到m、n，最后用直角梯形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点A坐标：直线$y=3x+1$与y轴交点，令$x=0$，得$y=1$，$\therefore A(0,1)$。
2. 求点B坐标：B在直线上且纵坐标为4，令$y=4$，得$4=3x+1$，解得$x=1$，$\therefore B(1,4)$。
3. 求双曲线解析式：将$B(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{1}$，$\therefore k=4$，即双曲线为$y=\frac{4}{x}$。
4. 求点C坐标：C在双曲线上且横坐标为4，令$x=4$，得$y=\frac{4}{4}=1$，$\therefore C(4,1)$。
5. 确定周期：由$A(0,1)$、$C(4,1)$可知，波浪线每4个x单位重复一次，周期为4。
6. 求m、n的值：
$2025÷4=506······1$，即$x=2025$对应周期内$x=1$的位置，纵坐标相同，$\therefore m=4$。
$2028÷4=507······0$，即$x=2028$对应周期内$x=0$的位置，纵坐标相同，$\therefore n=1$。
7. 计算四边形面积：$PD⊥ x$轴，$QE⊥ x$轴，四边形PDEQ是直角梯形，上底$QE=1$，下底$PD=4$，高$DE=2028-2025=3$，面积$S=(1+4)×3÷2=\frac{15}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数性质，反比例函数性质，周期规律探究
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数的坐标求解，结合图形的周期规律，再利用直角梯形面积公式求解，解题关键是准确找到波浪线的变化周期，根据余数确定对应点的纵坐标。
【难度系数】
0.6
1. 如图,四边形ABCD为菱形,已知$A(0,4),B(-3,0)$.
(1) 求点D的坐标;
(2) 求经过点C的反比例函数的表达式.
(1) 求点D的坐标;
(2) 求经过点C的反比例函数的表达式.
答案
(1) $(0,-1)$
(2) $y=\frac{15}{x}$
(2) $y=\frac{15}{x}$
解析
【分析】
(1) 观察图形可知A、D均在y轴上，因此D点横坐标为0，只需求出纵坐标即可。首先根据A、B两点坐标，用勾股定理计算出菱形的边长AB，再利用菱形四边相等的性质得到AD=AB，结合A点坐标就能求出D点的纵坐标。
(2) 求经过点C的反比例函数表达式，需要先确定C点坐标。利用菱形对边平行且相等的性质，BC和AD平行且长度相等，AD为竖直方向，因此BC也为竖直方向，C点横坐标和B点相同，再结合BC的长度算出C点纵坐标，最后用待定系数法代入C点坐标求出反比例函数表达式即可。
【解析】
(1) 已知$A(0,4)$，$B(-3,0)$，可得$OA=4$，$OB=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=AB=5$
∵A、D都在y轴上，A点坐标为$(0,4)$，D在原点下方，
∴D点纵坐标为$4-5=-1$，横坐标为0，即$D(0,-1)$。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴$BC// AD$，且$BC=AB=5$
∵AD为竖直方向，
∴BC也为竖直方向，C点横坐标和B点相同，为$-3$
∵C在B点下方，B点坐标为$(-3,0)$，
∴C点纵坐标为$0-5=-5$，即$C(-3,-5)$
设经过点C的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$C(-3,-5)$代入得：
$-5=\frac{k}{-3}$，解得$k=15$
∴经过点C的反比例函数表达式为$y=\frac{15}{x}$。
【答案】
(1) $(0,-1)$
(2) $y=\frac{15}{x}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是菱形性质与反比例函数的基础综合题，解题核心是先求出菱形边长，再结合坐标系的特征推导各点坐标，解题思路清晰，属于基础常考题。
【难度系数】
0.75
(1) 观察图形可知A、D均在y轴上，因此D点横坐标为0，只需求出纵坐标即可。首先根据A、B两点坐标，用勾股定理计算出菱形的边长AB，再利用菱形四边相等的性质得到AD=AB，结合A点坐标就能求出D点的纵坐标。
(2) 求经过点C的反比例函数表达式，需要先确定C点坐标。利用菱形对边平行且相等的性质，BC和AD平行且长度相等，AD为竖直方向，因此BC也为竖直方向，C点横坐标和B点相同，再结合BC的长度算出C点纵坐标，最后用待定系数法代入C点坐标求出反比例函数表达式即可。
【解析】
(1) 已知$A(0,4)$，$B(-3,0)$，可得$OA=4$，$OB=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=AB=5$
∵A、D都在y轴上，A点坐标为$(0,4)$，D在原点下方，
∴D点纵坐标为$4-5=-1$，横坐标为0，即$D(0,-1)$。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴$BC// AD$，且$BC=AB=5$
∵AD为竖直方向，
∴BC也为竖直方向，C点横坐标和B点相同，为$-3$
∵C在B点下方，B点坐标为$(-3,0)$，
∴C点纵坐标为$0-5=-5$，即$C(-3,-5)$
设经过点C的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$C(-3,-5)$代入得：
$-5=\frac{k}{-3}$，解得$k=15$
∴经过点C的反比例函数表达式为$y=\frac{15}{x}$。
【答案】
(1) $(0,-1)$
(2) $y=\frac{15}{x}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是菱形性质与反比例函数的基础综合题，解题核心是先求出菱形边长，再结合坐标系的特征推导各点坐标，解题思路清晰，属于基础常考题。
【难度系数】
0.75
2. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,已知点 $ A(8,0) $ 和点 $ C(0,4) $. $ D $ 是矩形 $ OABC $ 对角线的交点. 已知反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $ ($ k ≠ 0 $)在第一象限的图像经过点 $ D $,交 $ BC $ 于点 $ M $,交 $ AB $ 于点 $ N $.
(1) 求点 $ D $ 的坐标和 $ k $ 的值;
(2) 横纵坐标均为偶数的点称为偶点,比如 $ E(2,4) $. 反比例函数图像在点 $ M $ 到点 $ N $ 之间的部分(包含 $ M、N $ 两点)与线段 $ BM,BN $ 围成的图形记为 $ G $. 求图形 $ G $(包含边界)内偶点的个数,并写出偶点的坐标.
(1) 求点 $ D $ 的坐标和 $ k $ 的值;
(2) 横纵坐标均为偶数的点称为偶点,比如 $ E(2,4) $. 反比例函数图像在点 $ M $ 到点 $ N $ 之间的部分(包含 $ M、N $ 两点)与线段 $ BM,BN $ 围成的图形记为 $ G $. 求图形 $ G $(包含边界)内偶点的个数,并写出偶点的坐标.
答案
(1) 点D的坐标为$(4,2)$，$k=8$.
(2) $(2,4)、(4,2)、(4,4)、(6,2)、(6,4)、(8,2)、(8,4)$，共7个.
(2) $(2,4)、(4,2)、(4,4)、(6,2)、(6,4)、(8,2)、(8,4)$，共7个.
解析
【分析】
(1) 要求点D的坐标，先根据矩形的性质确定顶点B的坐标，矩形对角线交点是对角线的中点，用中点坐标公式即可求出D的坐标，再将D点坐标代入反比例函数解析式就能求出k值。
(2) 先求出反比例函数与BC、AB的交点M、N的坐标，确定图形G的x、y的取值范围，再根据偶点的定义（横纵坐标均为偶数），在范围内枚举符合条件且在图形G内的点即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形OABC是矩形，A(8,0)，C(0,4)
∴ 点B的坐标为(8,4)
∵ D是矩形对角线的交点，即D是AC的中点
根据中点坐标公式，得D的坐标为$( \frac{0+8}{2},\frac{4+0}{2} )$，即$(4,2)$
将$D(4,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{4}$，解得$k=8$
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$
① 求点M坐标：BC边所有点的纵坐标均为4，将$y=4$代入$y=\frac{8}{x}$，得$x=2$，即$M(2,4)$
② 求点N坐标：AB边所有点的横坐标均为8，将$x=8$代入$y=\frac{8}{x}$，得$y=1$，即$N(8,1)$
图形G的x取值范围为$2≤ x≤8$，y取值范围为$1≤ y≤4$，且图形内的点满足$y≥\frac{8}{x}$
根据偶点定义，横纵坐标均为偶数，枚举符合条件的点：
当x=2时，$y≥\frac{8}{2}=4$，偶数y只能取4，得偶点$(2,4)$
当x=4时，$y≥\frac{8}{4}=2$，偶数y可取2、4，得偶点$(4,2)、(4,4)$
当x=6时，$y≥\frac{8}{6}\approx1.33$，偶数y可取2、4，得偶点$(6,2)、(6,4)$
当x=8时，$y≥\frac{8}{8}=1$，偶数y可取2、4，得偶点$(8,2)、(8,4)$
综上，共有7个偶点。
【答案】
(1) 点D的坐标为$(4,2)$，$k=8$；
(2) 共7个偶点，坐标分别为$(2,4)、(4,2)、(4,4)、(6,2)、(6,4)、(8,2)、(8,4)$。
【知识点】
矩形的性质；反比例函数的图象与性质；新定义问题
【点评】
本题综合考察了矩形和反比例函数的基础知识点，第二问结合新定义“偶点”，需要先明确图形的坐标范围，再有序枚举验证，解题时要注意范围的边界，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.7
(1) 要求点D的坐标，先根据矩形的性质确定顶点B的坐标，矩形对角线交点是对角线的中点，用中点坐标公式即可求出D的坐标，再将D点坐标代入反比例函数解析式就能求出k值。
(2) 先求出反比例函数与BC、AB的交点M、N的坐标，确定图形G的x、y的取值范围，再根据偶点的定义（横纵坐标均为偶数），在范围内枚举符合条件且在图形G内的点即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形OABC是矩形，A(8,0)，C(0,4)
∴ 点B的坐标为(8,4)
∵ D是矩形对角线的交点，即D是AC的中点
根据中点坐标公式，得D的坐标为$( \frac{0+8}{2},\frac{4+0}{2} )$，即$(4,2)$
将$D(4,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{4}$，解得$k=8$
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$
① 求点M坐标：BC边所有点的纵坐标均为4，将$y=4$代入$y=\frac{8}{x}$，得$x=2$，即$M(2,4)$
② 求点N坐标：AB边所有点的横坐标均为8，将$x=8$代入$y=\frac{8}{x}$，得$y=1$，即$N(8,1)$
图形G的x取值范围为$2≤ x≤8$，y取值范围为$1≤ y≤4$，且图形内的点满足$y≥\frac{8}{x}$
根据偶点定义，横纵坐标均为偶数，枚举符合条件的点：
当x=2时，$y≥\frac{8}{2}=4$，偶数y只能取4，得偶点$(2,4)$
当x=4时，$y≥\frac{8}{4}=2$，偶数y可取2、4，得偶点$(4,2)、(4,4)$
当x=6时，$y≥\frac{8}{6}\approx1.33$，偶数y可取2、4，得偶点$(6,2)、(6,4)$
当x=8时，$y≥\frac{8}{8}=1$，偶数y可取2、4，得偶点$(8,2)、(8,4)$
综上，共有7个偶点。
【答案】
(1) 点D的坐标为$(4,2)$，$k=8$；
(2) 共7个偶点，坐标分别为$(2,4)、(4,2)、(4,4)、(6,2)、(6,4)、(8,2)、(8,4)$。
【知识点】
矩形的性质；反比例函数的图象与性质；新定义问题
【点评】
本题综合考察了矩形和反比例函数的基础知识点，第二问结合新定义“偶点”，需要先明确图形的坐标范围，再有序枚举验证，解题时要注意范围的边界，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.7
3. 如图,矩形$ABCD$中,$AB=6$,$AD=8$,点$P$在$BC$边上移动(不与点$B$,$C$重合),设$PA=x$,点$D$到$PA$的距离$DE=y$.求$y$与$x$之间的函数表达式及自变量$x$的取值范围.
答案
连接$DP$，$S_{△ DAP}=\frac{1}{2}xy=24$，即$y=\frac{48}{x}$，$6＜x＜10$.
解析
【分析】
要推导y与x的函数关系，可借助面积法建立等量关系：首先△DAP的面积是矩形ABCD面积的一半，为固定值，我们可以用两种方式表示△DAP的面积，一种以AD为底、AB为高计算，另一种以AP为底、DE为高计算，两个面积相等即可得到x和y的关系式。求自变量x的取值范围时，结合点P的运动边界：P与B重合时AP最短为AB的长度，P与C重合时AP最长为矩形对角线的长度，结合P不与端点重合即可确定x的范围。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，$AB=6$，$AD=8$
∴矩形ABCD的面积为$AB×AD=6×8=48$
连接DP，△DAP以AD为底时，高等于AB的长度，因此：
$S_{△ DAP}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$
∵DE是点D到PA的距离，即△DAP中AP边上的高，$PA=x$，$DE=y$
∴$S_{△ DAP}=\frac{1}{2}·PA·DE=\frac{1}{2}xy$
联立面积等式得：$\frac{1}{2}xy=24$，整理得$y=\frac{48}{x}$
求x的取值范围：
当P与B重合时，$PA=AB=6$；当P与C重合时，PA为矩形对角线，由勾股定理得$PA=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵点P不与B、C重合
∴x的取值范围为$6＜x＜10$
【答案】
$y=\frac{48}{x}(6＜x＜10)$
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题利用面积法建立变量关系，思路简洁巧妙，无需复杂的几何推导，解题时需注意结合动点的运动边界确定自变量的取值范围，避免漏写范围导致失分。
【难度系数】
0.7
要推导y与x的函数关系，可借助面积法建立等量关系：首先△DAP的面积是矩形ABCD面积的一半，为固定值，我们可以用两种方式表示△DAP的面积，一种以AD为底、AB为高计算，另一种以AP为底、DE为高计算，两个面积相等即可得到x和y的关系式。求自变量x的取值范围时，结合点P的运动边界：P与B重合时AP最短为AB的长度，P与C重合时AP最长为矩形对角线的长度，结合P不与端点重合即可确定x的范围。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，$AB=6$，$AD=8$
∴矩形ABCD的面积为$AB×AD=6×8=48$
连接DP，△DAP以AD为底时，高等于AB的长度，因此：
$S_{△ DAP}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$
∵DE是点D到PA的距离，即△DAP中AP边上的高，$PA=x$，$DE=y$
∴$S_{△ DAP}=\frac{1}{2}·PA·DE=\frac{1}{2}xy$
联立面积等式得：$\frac{1}{2}xy=24$，整理得$y=\frac{48}{x}$
求x的取值范围：
当P与B重合时，$PA=AB=6$；当P与C重合时，PA为矩形对角线，由勾股定理得$PA=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵点P不与B、C重合
∴x的取值范围为$6＜x＜10$
【答案】
$y=\frac{48}{x}(6＜x＜10)$
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题利用面积法建立变量关系，思路简洁巧妙，无需复杂的几何推导，解题时需注意结合动点的运动边界确定自变量的取值范围，避免漏写范围导致失分。
【难度系数】
0.7
