登录
4. 数学活动课上,王老师和同学们一起做了一个试验.如图,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为6 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x cm(0＜x≤60),记录容器中加入的水的质量,得到下表:
| 托盘B与点C的距离x/cm | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 容器与水的总质量$y_1$/g | 12 |
| 20 | 30 | 60 | … |
| 加入的水的质量$y_2$/g | 6 | 9 | 14 | 24 | 54 | … |
(1) $y_1$与x成
(2) 用式子表示$y_2$与x的关系为
(3) 当托盘B与点C的距离$x=6$时,求在容器中加入的水的质量$y_2$的值.
| 托盘B与点C的距离x/cm | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 容器与水的总质量$y_1$/g | 12 |
| 20 | 30 | 60 | … || 加入的水的质量$y_2$/g | 6 | 9 | 14 | 24 | 54 | … |
(1) $y_1$与x成
反比例
关系,用式子表示$y_1$与x的关系为$y_1=\frac{600}{x}$
;(2) 用式子表示$y_2$与x的关系为
$y_2=\frac{600}{x}-6$
;(3) 当托盘B与点C的距离$x=6$时,求在容器中加入的水的质量$y_2$的值.
答案
(1) 反比例 $y_1=\frac{600}{x}$
(2) $y_2=\frac{600}{x}-6$
(3) 94.
(2) $y_2=\frac{600}{x}-6$
(3) 94.
解析
【分析】
解题时先从已知的x与y₁的对应数据入手：①判断函数关系：分别计算每组x与y₁的乘积，发现乘积为定值，符合反比例函数“两个变量的乘积为定值”的特征，即可判定关系类型，再用待定系数法代入一组数据求出表达式；②推导y₂与x的关系：明确y₁是容器和水的总质量，容器质量固定为6g，因此水的质量y₂=总质量y₁-容器质量，代入y₁的表达式即可；③求x=6时y₂的值：直接将x=6代入y₂的表达式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 计算每组x与y₁的乘积：50×12=600，30×20=600，20×30=600，10×60=600，可知x与y₁的乘积为定值600，因此y₁与x成反比例关系。
设y₁与x的函数表达式为$y_1=\frac{k}{x}$（k≠0），将x=50，y₁=12代入得：
$12=\frac{k}{50}$，解得k=600，因此$y_1=\frac{600}{x}$。
(2) 已知容器质量为6g，容器与水的总质量y₁=水的质量y₂+容器质量，因此：
$y_2=y_1-6=\frac{600}{x}-6$。
(3) 将x=6代入$y_2=\frac{600}{x}-6$得：
$y_2=\frac{600}{6}-6=100-6=94$。
【答案】
(1) 反比例；$y_1=\frac{600}{x}$
(2) $y_2=\frac{600}{x}-6$
(3) 94
【知识点】
反比例函数的判定；反比例函数的实际应用；求函数值
【点评】
本题结合生活中的平衡实验背景考查反比例函数的相关知识，解题的关键是通过数据特征判断函数类型，再结合实际的数量关系推导函数表达式，最后代入求值，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的x与y₁的对应数据入手：①判断函数关系：分别计算每组x与y₁的乘积，发现乘积为定值，符合反比例函数“两个变量的乘积为定值”的特征，即可判定关系类型，再用待定系数法代入一组数据求出表达式；②推导y₂与x的关系：明确y₁是容器和水的总质量，容器质量固定为6g，因此水的质量y₂=总质量y₁-容器质量，代入y₁的表达式即可；③求x=6时y₂的值：直接将x=6代入y₂的表达式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 计算每组x与y₁的乘积：50×12=600，30×20=600，20×30=600，10×60=600，可知x与y₁的乘积为定值600，因此y₁与x成反比例关系。
设y₁与x的函数表达式为$y_1=\frac{k}{x}$（k≠0），将x=50，y₁=12代入得：
$12=\frac{k}{50}$，解得k=600，因此$y_1=\frac{600}{x}$。
(2) 已知容器质量为6g，容器与水的总质量y₁=水的质量y₂+容器质量，因此：
$y_2=y_1-6=\frac{600}{x}-6$。
(3) 将x=6代入$y_2=\frac{600}{x}-6$得：
$y_2=\frac{600}{6}-6=100-6=94$。
【答案】
(1) 反比例；$y_1=\frac{600}{x}$
(2) $y_2=\frac{600}{x}-6$
(3) 94
【知识点】
反比例函数的判定；反比例函数的实际应用；求函数值
【点评】
本题结合生活中的平衡实验背景考查反比例函数的相关知识，解题的关键是通过数据特征判断函数类型，再结合实际的数量关系推导函数表达式，最后代入求值，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示,已知反比例函数$y=\frac{m}{x}$和一次函数$y=kx+b$的图像交于$A(3,a),B(14-2a,2)$.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若一次函数图像与$y$轴相交于$C$点,$D$为点$C$关于原点$O$的对称点,求$△ ACD$的面积.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若一次函数图像与$y$轴相交于$C$点,$D$为点$C$关于原点$O$的对称点,求$△ ACD$的面积.
答案
(1) 反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$，一次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+6$.
(2) 18.
(2) 18.
解析
【分析】
（1）首先根据反比例函数上的点横纵坐标乘积等于定值$m$，建立关于$a$的方程，求出$a$的值，即可得到A、B两点坐标，再用待定系数法分别求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）先求出一次函数与y轴交点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到D点坐标，算出CD的长度，以CD为底，点A到y轴的水平距离为高，利用三角形面积公式即可求出$△ ACD$的面积。
【解析】
（1）$\because$点$A(3,a)$、$B(14-2a,2)$都在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像上
$\therefore 3a = m$，$2×(14-2a)=m$
联立得方程：$3a=2(14-2a)$
展开得：$3a=28-4a$
移项合并得：$7a=28$，解得$a=4$
$\therefore A$点坐标为$(3,4)$，$m=3×4=12$，即反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$
$B$点横坐标为$14-2×4=6$，即$B$点坐标为$(6,2)$
将$A(3,4)$、$B(6,2)$代入一次函数$y=kx+b$得：
$\begin{cases}3k + b =4 \\6k + b =2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$
将$k=-\frac{2}{3}$代入$3k + b=4$得：$-2 + b=4$，解得$b=6$
$\therefore$一次函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x + 6$
（2）对于一次函数$y=-\frac{2}{3}x + 6$，令$x=0$，得$y=6$，即$C$点坐标为$(0,6)$
$\because D$是$C$关于原点$O$的对称点，$\therefore D$点坐标为$(0,-6)$
$\therefore CD$的长度为$6 - (-6)=12$
点$A$到$y$轴的距离为$A$点横坐标的绝对值，即$3$
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× CD × 3=\frac{1}{2}×12×3=18$
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$，一次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+6$；
(2) $18$
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数与一次函数交点；三角形面积计算
【点评】
本题是函数综合基础题，解题突破口是利用反比例函数上点的坐标特征求出未知参数，再结合待定系数法、对称性质和面积公式求解，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据反比例函数上的点横纵坐标乘积等于定值$m$，建立关于$a$的方程，求出$a$的值，即可得到A、B两点坐标，再用待定系数法分别求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）先求出一次函数与y轴交点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到D点坐标，算出CD的长度，以CD为底，点A到y轴的水平距离为高，利用三角形面积公式即可求出$△ ACD$的面积。
【解析】
（1）$\because$点$A(3,a)$、$B(14-2a,2)$都在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像上
$\therefore 3a = m$，$2×(14-2a)=m$
联立得方程：$3a=2(14-2a)$
展开得：$3a=28-4a$
移项合并得：$7a=28$，解得$a=4$
$\therefore A$点坐标为$(3,4)$，$m=3×4=12$，即反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$
$B$点横坐标为$14-2×4=6$，即$B$点坐标为$(6,2)$
将$A(3,4)$、$B(6,2)$代入一次函数$y=kx+b$得：
$\begin{cases}3k + b =4 \\6k + b =2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$
将$k=-\frac{2}{3}$代入$3k + b=4$得：$-2 + b=4$，解得$b=6$
$\therefore$一次函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x + 6$
（2）对于一次函数$y=-\frac{2}{3}x + 6$，令$x=0$，得$y=6$，即$C$点坐标为$(0,6)$
$\because D$是$C$关于原点$O$的对称点，$\therefore D$点坐标为$(0,-6)$
$\therefore CD$的长度为$6 - (-6)=12$
点$A$到$y$轴的距离为$A$点横坐标的绝对值，即$3$
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× CD × 3=\frac{1}{2}×12×3=18$
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$，一次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+6$；
(2) $18$
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数与一次函数交点；三角形面积计算
【点评】
本题是函数综合基础题，解题突破口是利用反比例函数上点的坐标特征求出未知参数，再结合待定系数法、对称性质和面积公式求解，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
6. 某城市引入某品牌新能源环卫车进行道路清洁. 该品牌车辆电池满电容量均为 180 千瓦时. 升级后,满电状态下可持续工作时间是升级前的$\frac{5}{4}$倍,工作状态下每小时比升级前少耗电 5 千瓦时. 求升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量.
答案
升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为20千瓦时.
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题时首先要明确题目中的等量关系：①升级后满电可持续工作时间 = 升级前满电可持续工作时间×$\frac{5}{4}$；②工作时间 = 电池总容量÷每小时耗电量。我们可以直接设所求的升级后每小时耗电量为未知数，用含未知数的式子表示出升级前后的工作时间，再根据时间的倍数关系列方程求解，最后要注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【解析】
解：设升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为$x$千瓦时，则升级前每小时耗电量为$(x+5)$千瓦时。
根据升级后满电工作时间是升级前的$\frac{5}{4}$倍，可列方程：
$\frac{180}{x} = \frac{5}{4} × \frac{180}{x+5}$
方程两边同时约去180，得：
$\frac{1}{x} = \frac{5}{4(x+5)}$
交叉相乘去分母得：
$4(x+5) = 5x$
展开并移项计算：
$4x + 20 = 5x$
$x = 20$
检验：当$x=20$时，最简公分母$x(x+5)=20×25=500≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际用电的意义。
【答案】
升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为20千瓦时。
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，实际问题验根
【点评】
本题属于分式方程的常规应用题型，解题核心是准确抓住工作时间的倍数关系建立方程，需要注意分式方程求解后必须检验根是否满足原方程和实际场景要求，熟练掌握后可快速解答。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，解题时首先要明确题目中的等量关系：①升级后满电可持续工作时间 = 升级前满电可持续工作时间×$\frac{5}{4}$；②工作时间 = 电池总容量÷每小时耗电量。我们可以直接设所求的升级后每小时耗电量为未知数，用含未知数的式子表示出升级前后的工作时间，再根据时间的倍数关系列方程求解，最后要注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【解析】
解：设升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为$x$千瓦时，则升级前每小时耗电量为$(x+5)$千瓦时。
根据升级后满电工作时间是升级前的$\frac{5}{4}$倍，可列方程：
$\frac{180}{x} = \frac{5}{4} × \frac{180}{x+5}$
方程两边同时约去180，得：
$\frac{1}{x} = \frac{5}{4(x+5)}$
交叉相乘去分母得：
$4(x+5) = 5x$
展开并移项计算：
$4x + 20 = 5x$
$x = 20$
检验：当$x=20$时，最简公分母$x(x+5)=20×25=500≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际用电的意义。
【答案】
升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为20千瓦时。
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，实际问题验根
【点评】
本题属于分式方程的常规应用题型，解题核心是准确抓住工作时间的倍数关系建立方程，需要注意分式方程求解后必须检验根是否满足原方程和实际场景要求，熟练掌握后可快速解答。
【难度系数】
0.7
