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7. 如图，$A(-4,\dfrac{1}{2}),B(-1,2)$是一次函数$y_1=ax+b$与反比例函数$y_2=\dfrac{m}{x}$图像的两个交点，$AC⊥ x$轴，垂足为$C$，$BD⊥ y$轴，垂足为$D$.
（1）根据图像直接回答：在第二象限内，当$x$取何值时，$y_1 - y_2＞0$？
（2）求一次函数表达式及$m$的值；
（3）$P$是线段$AB$上一点，连接$PC,PD$，若$△ PCA$和$△ PDB$面积相等，求点$P$的坐标.
（1）根据图像直接回答：在第二象限内，当$x$取何值时，$y_1 - y_2＞0$？
（2）求一次函数表达式及$m$的值；
（3）$P$是线段$AB$上一点，连接$PC,PD$，若$△ PCA$和$△ PDB$面积相等，求点$P$的坐标.
答案
(1) 当$-4＜x＜-1$时，$y_1-y_2＞0$.
(2) $y_1=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，$m=-2$.
(3) $(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$.
(2) $y_1=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，$m=-2$.
(3) $(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$.
解析
【分析】
（1）$y_1-y_2＞0$等价于一次函数值大于反比例函数值，观察第二象限内两个函数的图像位置，找到一次函数图像在反比例函数图像上方时对应的x范围即可；
（2）求一次函数表达式用待定系数法，将A、B两点坐标代入$y_1=ax+b$，解二元一次方程组得到a、b的值；求m的值只需将A或B点坐标代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$计算即可；
（3）设点P的横坐标为t，根据P在一次函数上表示出纵坐标，分别写出$△ PCA$和$△ PDB$的面积表达式，令两者相等列方程求解t，即可得到P点坐标。
【解析】
（1）$y_1-y_2＞0$即$y_1＞y_2$，观察图像可得，在第二象限内，两个交点A、B之间的区域一次函数在反比例函数上方，A点横坐标为-4，B点横坐标为-1，因此当$-4＜x＜-1$时，$y_1-y_2＞0$。
（2）将$A(-4,\frac{1}{2})$、$B(-1,2)$代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases} -4a + b = \frac{1}{2} \\ -a + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$3a=\frac{3}{2}$，解得$a=\frac{1}{2}$，将$a=\frac{1}{2}$代入$-a + b = 2$，得$-\frac{1}{2}+b=2$，解得$b=\frac{5}{2}$，因此一次函数表达式为$y_1=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
将$B(-1,2)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{-1}$，解得$m=-2$。
（3）设点P的坐标为$(t,\frac{1}{2}t+\frac{5}{2})$，其中$-4≤ t≤ -1$，符合P在线段AB上的要求：
① 计算$S_{△ PCA}$：由$AC⊥ x$轴得$AC=\frac{1}{2}$，C点坐标为$(-4,0)$，$△ PCA$的高为P到直线AC的水平距离，即$t-(-4)=t+4$，因此$S_{△ PCA}=\frac{1}{2}× AC × (t+4)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×(t+4)=\frac{t+4}{4}$。
② 计算$S_{△ PDB}$：由$BD⊥ y$轴得$BD=1$，$△ PDB$的高为P到直线BD（$y=2$）的竖直距离，即$2-(\frac{1}{2}t+\frac{5}{2})=-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}$，因此$S_{△ PDB}=\frac{1}{2}× BD × (2-y_P)=\frac{1}{2}×1×(-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2})=\frac{-t-1}{4}$。
③ 令两面积相等：$\frac{t+4}{4}=\frac{-t-1}{4}$，两边同乘4得$t+4=-t-1$，解得$t=-\frac{5}{2}$，代入纵坐标表达式得$y=\frac{1}{2}×(-\frac{5}{2})+\frac{5}{2}=\frac{5}{4}$，因此P点坐标为$(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$。
【答案】
(1) $-4＜x＜-1$
(2) $y_1=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，$m=-2$
(3) $(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与反比例函数综合；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数和反比例函数的图像性质、解析式求解及几何面积的应用，解题时要结合图像直观判断函数大小关系，设点后利用面积公式列方程是解决第三问的关键，属于函数综合类的基础典型题。
【难度系数】
0.7
（1）$y_1-y_2＞0$等价于一次函数值大于反比例函数值，观察第二象限内两个函数的图像位置，找到一次函数图像在反比例函数图像上方时对应的x范围即可；
（2）求一次函数表达式用待定系数法，将A、B两点坐标代入$y_1=ax+b$，解二元一次方程组得到a、b的值；求m的值只需将A或B点坐标代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$计算即可；
（3）设点P的横坐标为t，根据P在一次函数上表示出纵坐标，分别写出$△ PCA$和$△ PDB$的面积表达式，令两者相等列方程求解t，即可得到P点坐标。
【解析】
（1）$y_1-y_2＞0$即$y_1＞y_2$，观察图像可得，在第二象限内，两个交点A、B之间的区域一次函数在反比例函数上方，A点横坐标为-4，B点横坐标为-1，因此当$-4＜x＜-1$时，$y_1-y_2＞0$。
（2）将$A(-4,\frac{1}{2})$、$B(-1,2)$代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases} -4a + b = \frac{1}{2} \\ -a + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$3a=\frac{3}{2}$，解得$a=\frac{1}{2}$，将$a=\frac{1}{2}$代入$-a + b = 2$，得$-\frac{1}{2}+b=2$，解得$b=\frac{5}{2}$，因此一次函数表达式为$y_1=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
将$B(-1,2)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{-1}$，解得$m=-2$。
（3）设点P的坐标为$(t,\frac{1}{2}t+\frac{5}{2})$，其中$-4≤ t≤ -1$，符合P在线段AB上的要求：
① 计算$S_{△ PCA}$：由$AC⊥ x$轴得$AC=\frac{1}{2}$，C点坐标为$(-4,0)$，$△ PCA$的高为P到直线AC的水平距离，即$t-(-4)=t+4$，因此$S_{△ PCA}=\frac{1}{2}× AC × (t+4)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×(t+4)=\frac{t+4}{4}$。
② 计算$S_{△ PDB}$：由$BD⊥ y$轴得$BD=1$，$△ PDB$的高为P到直线BD（$y=2$）的竖直距离，即$2-(\frac{1}{2}t+\frac{5}{2})=-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}$，因此$S_{△ PDB}=\frac{1}{2}× BD × (2-y_P)=\frac{1}{2}×1×(-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2})=\frac{-t-1}{4}$。
③ 令两面积相等：$\frac{t+4}{4}=\frac{-t-1}{4}$，两边同乘4得$t+4=-t-1$，解得$t=-\frac{5}{2}$，代入纵坐标表达式得$y=\frac{1}{2}×(-\frac{5}{2})+\frac{5}{2}=\frac{5}{4}$，因此P点坐标为$(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$。
【答案】
(1) $-4＜x＜-1$
(2) $y_1=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，$m=-2$
(3) $(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与反比例函数综合；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数和反比例函数的图像性质、解析式求解及几何面积的应用，解题时要结合图像直观判断函数大小关系，设点后利用面积公式列方程是解决第三问的关键，属于函数综合类的基础典型题。
【难度系数】
0.7
8. 已知某电路的电源电压$U(\mathrm{V})$，电流$I(\mathrm{A})$，电阻$R(\Omega)$三者之间有如下的关系式:$U=IR$，且该电路的电源电压$U$为恒值.
(1) 该电路中,电流$I$与电阻$R$成________(填“反比例函数”或“正比例函数”)关系；
(2) 当该电路的电阻为$100\ \Omega$时,测得该电路中的电流为$2.2\ \mathrm{A}$,写出该电路中电流$I$关于电阻$R$的函数表达式；
(3) 若(2)中的电路如图所示,调节滑动变阻器$R_1$,使通过灯泡的电流比(2)中测得的值减少$0.2\ \mathrm{A}$,那么$R_1$连入电路的阻值将会发生怎样的变化?（提示:设定灯泡电阻恒定）
(1) 该电路中,电流$I$与电阻$R$成________(填“反比例函数”或“正比例函数”)关系；
(2) 当该电路的电阻为$100\ \Omega$时,测得该电路中的电流为$2.2\ \mathrm{A}$,写出该电路中电流$I$关于电阻$R$的函数表达式；
(3) 若(2)中的电路如图所示,调节滑动变阻器$R_1$,使通过灯泡的电流比(2)中测得的值减少$0.2\ \mathrm{A}$,那么$R_1$连入电路的阻值将会发生怎样的变化?（提示:设定灯泡电阻恒定）
答案
(1) 反比例函数
(2) $I=\frac{220}{R}$.
(3) $R_1$连入电路的阻值需增加$10\ \Omega$.
(2) $I=\frac{220}{R}$.
(3) $R_1$连入电路的阻值需增加$10\ \Omega$.
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知公式$U=IR$且电源电压$U$为恒定值，将公式变形为$I=\frac{U}{R}$，对比反比例函数的定义即可判断二者的函数关系；
2. 第(2)问：先将已知的电阻、电流值代入$U=IR$求出恒定的电源电压，再将电压代入变形后的公式，即可得到电流$I$关于电阻$R$的函数表达式；
3. 第(3)问：先计算出电流减少后的数值，代入(2)的函数表达式求出此时电路的总电阻，结合原来的电路总电阻（即灯泡的恒定电阻），即可得出滑动变阻器$R_1$的阻值变化情况。
【解析】
(1) 由$U=IR$且$U$为恒值，变形可得$I=\frac{U}{R}$，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，因此电流$I$与电阻$R$成反比例函数关系；
(2) 将$R=100\ \Omega$，$I=2.2\ \mathrm{A}$代入$U=IR$，得$U=2.2×100=220(\mathrm{V})$，将$U=220$代入$I=\frac{U}{R}$，可得函数表达式为$I=\frac{220}{R}$；
(3) 电流减少0.2A后，新的电流$I'=2.2-0.2=2(\mathrm{A})$，将$I'=2$代入$I=\frac{220}{R}$，得此时电路总电阻$R_{\mathrm{总}}=\frac{220}{2}=110(\Omega)$。
由于灯泡电阻恒定为100Ω，电路为滑动变阻器与灯泡串联，因此$R_1$接入的阻值为$110-100=10(\Omega)$，即$R_1$连入电路的阻值需增加$10\ \Omega$。
【答案】
(1) 反比例函数
(2) $I=\frac{220}{R}$
(3) $R_1$连入电路的阻值需增加$10\ \Omega$
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理电学情境考查反比例函数的相关知识，要求准确掌握反比例函数的定义，能利用已知条件求解函数解析式，同时结合实际场景分析变量的变化，注重跨学科知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：已知公式$U=IR$且电源电压$U$为恒定值，将公式变形为$I=\frac{U}{R}$，对比反比例函数的定义即可判断二者的函数关系；
2. 第(2)问：先将已知的电阻、电流值代入$U=IR$求出恒定的电源电压，再将电压代入变形后的公式，即可得到电流$I$关于电阻$R$的函数表达式；
3. 第(3)问：先计算出电流减少后的数值，代入(2)的函数表达式求出此时电路的总电阻，结合原来的电路总电阻（即灯泡的恒定电阻），即可得出滑动变阻器$R_1$的阻值变化情况。
【解析】
(1) 由$U=IR$且$U$为恒值，变形可得$I=\frac{U}{R}$，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，因此电流$I$与电阻$R$成反比例函数关系；
(2) 将$R=100\ \Omega$，$I=2.2\ \mathrm{A}$代入$U=IR$，得$U=2.2×100=220(\mathrm{V})$，将$U=220$代入$I=\frac{U}{R}$，可得函数表达式为$I=\frac{220}{R}$；
(3) 电流减少0.2A后，新的电流$I'=2.2-0.2=2(\mathrm{A})$，将$I'=2$代入$I=\frac{220}{R}$，得此时电路总电阻$R_{\mathrm{总}}=\frac{220}{2}=110(\Omega)$。
由于灯泡电阻恒定为100Ω，电路为滑动变阻器与灯泡串联，因此$R_1$接入的阻值为$110-100=10(\Omega)$，即$R_1$连入电路的阻值需增加$10\ \Omega$。
【答案】
(1) 反比例函数
(2) $I=\frac{220}{R}$
(3) $R_1$连入电路的阻值需增加$10\ \Omega$
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理电学情境考查反比例函数的相关知识，要求准确掌握反比例函数的定义，能利用已知条件求解函数解析式，同时结合实际场景分析变量的变化，注重跨学科知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
