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一、填空题。
1. $-2\sqrt{2}$的相反数是________，$\sqrt{3}$的倒数是________。
1. $-2\sqrt{2}$的相反数是________，$\sqrt{3}$的倒数是________。
答案
1. $2\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
本题分别考查相反数和倒数的相关概念，解题思路如下：
1. 求相反数：回忆相反数的定义，任意数$a$的相反数为$-a$，因此只需给$-2\sqrt{2}$整体添加负号，化简即可得到结果；
2. 求倒数：回忆倒数的定义，若两个数的乘积为1，则两数互为倒数，因此$\sqrt{3}$的倒数为$\frac{1}{\sqrt{3}}$，结合二次根式的化简要求，需将分母中的根号去掉（分母有理化），分子分母同乘$\sqrt{3}$即可得到最简结果。
【解析】
1. 求$-2\sqrt{2}$的相反数：
根据相反数的定义，$a$的相反数是$-a$，因此$-2\sqrt{2}$的相反数为$-(-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}$；
2. 求$\sqrt{3}$的倒数：
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此$\sqrt{3}$的倒数为$\frac{1}{\sqrt{3}}$，进行分母有理化，分子分母同时乘$\sqrt{3}$得：$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相反数的概念，倒数的概念，二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念题，难度较低，主要考查对相反数、倒数定义的掌握程度，以及二次根式分母有理化的基本运算能力，熟练掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题分别考查相反数和倒数的相关概念，解题思路如下：
1. 求相反数：回忆相反数的定义，任意数$a$的相反数为$-a$，因此只需给$-2\sqrt{2}$整体添加负号，化简即可得到结果；
2. 求倒数：回忆倒数的定义，若两个数的乘积为1，则两数互为倒数，因此$\sqrt{3}$的倒数为$\frac{1}{\sqrt{3}}$，结合二次根式的化简要求，需将分母中的根号去掉（分母有理化），分子分母同乘$\sqrt{3}$即可得到最简结果。
【解析】
1. 求$-2\sqrt{2}$的相反数：
根据相反数的定义，$a$的相反数是$-a$，因此$-2\sqrt{2}$的相反数为$-(-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}$；
2. 求$\sqrt{3}$的倒数：
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此$\sqrt{3}$的倒数为$\frac{1}{\sqrt{3}}$，进行分母有理化，分子分母同时乘$\sqrt{3}$得：$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相反数的概念，倒数的概念，二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念题，难度较低，主要考查对相反数、倒数定义的掌握程度，以及二次根式分母有理化的基本运算能力，熟练掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 在函数 $y=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+\dfrac{1}{x-2}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是________.
答案
2. $x＞1$ 且 $x≠2$
解析
【分析】
要确定函数自变量的取值范围，需保证函数中每一部分都有意义。本题包含两个分式，第一个分式的分母是带二次根式的结构，因此需要同时满足两个限制条件：一是二次根式的被开方数为正数（因在分母位置，不能等于0）；二是所有分式的分母都不为0。分别列出两个限制条件后，取公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
解：要使函数有意义，需同时满足以下两个要求：
1. 对于$\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$：二次根式的被开方数大于0，且分母不为0，即$x-1＞0$，解得$x＞1$；
2. 对于$\dfrac{1}{x-2}$：分式的分母不为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$。
综合两个条件，自变量x的取值范围为$x＞1$且$x≠2$。
【答案】
$x＞1$ 且 $x≠2$
【知识点】
函数自变量取值范围；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是考查自变量取值范围的基础题型，解题时要逐一分析每个代数式的限制条件，再取所有条件的公共部分即可。易错点是容易忽略根号在分母时被开方数不能为0，或者漏掉第二个分式的分母不为0的限制。
【难度系数】
0.8
要确定函数自变量的取值范围，需保证函数中每一部分都有意义。本题包含两个分式，第一个分式的分母是带二次根式的结构，因此需要同时满足两个限制条件：一是二次根式的被开方数为正数（因在分母位置，不能等于0）；二是所有分式的分母都不为0。分别列出两个限制条件后，取公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
解：要使函数有意义，需同时满足以下两个要求：
1. 对于$\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$：二次根式的被开方数大于0，且分母不为0，即$x-1＞0$，解得$x＞1$；
2. 对于$\dfrac{1}{x-2}$：分式的分母不为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$。
综合两个条件，自变量x的取值范围为$x＞1$且$x≠2$。
【答案】
$x＞1$ 且 $x≠2$
【知识点】
函数自变量取值范围；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是考查自变量取值范围的基础题型，解题时要逐一分析每个代数式的限制条件，再取所有条件的公共部分即可。易错点是容易忽略根号在分母时被开方数不能为0，或者漏掉第二个分式的分母不为0的限制。
【难度系数】
0.8
3. 实数$a,b$在数轴上对应位置如图所示，则$\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} - \sqrt{b^2} =$
a
.答案
3. $a$
解析
【分析】
首先观察数轴确定实数a、b的正负和大小关系：a在原点右侧，故a＞0；b在原点左侧，故b＜0，且a＞b，因此a-b＞0。再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先把根号内的式子整理为完全平方形式，再根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并化简即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得：$a＞0$，$b＜0$，因此$a-b＞0$。
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$化简原式：
$\begin{aligned}\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} - \sqrt{b^2}&=\sqrt{(a-b)^2}-\sqrt{b^2}\\&=|a-b|-|b|\end{aligned}$
因为$a-b＞0$，所以$|a-b|=a-b$；因为$b＜0$，所以$|b|=-b$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=(a-b)-(-b)\\&=a-b+b\\&=a\end{aligned}$
【答案】
$a$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴与实数
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是先结合数轴判断绝对值内代数式的正负，再对应性质去绝对值，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定实数a、b的正负和大小关系：a在原点右侧，故a＞0；b在原点左侧，故b＜0，且a＞b，因此a-b＞0。再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先把根号内的式子整理为完全平方形式，再根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并化简即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得：$a＞0$，$b＜0$，因此$a-b＞0$。
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$化简原式：
$\begin{aligned}\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} - \sqrt{b^2}&=\sqrt{(a-b)^2}-\sqrt{b^2}\\&=|a-b|-|b|\end{aligned}$
因为$a-b＞0$，所以$|a-b|=a-b$；因为$b＜0$，所以$|b|=-b$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=(a-b)-(-b)\\&=a-b+b\\&=a\end{aligned}$
【答案】
$a$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴与实数
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是先结合数轴判断绝对值内代数式的正负，再对应性质去绝对值，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
4. 已知 $6 - \sqrt{13}$ 的整数部分是 $a$，小数部分是 $b$，则 $a = \_\_\_\_\_\_$，$2ab = \_\_\_\_\_\_$。
答案
4. $2$，$16-4\sqrt{13}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要估算无理数$\sqrt{13}$的取值范围，再通过不等式变形得到$6-\sqrt{13}$的取值范围，即可直接确定它的整数部分$a$；根据“小数部分=原数-整数部分”的规律求出$b$，最后将$a$、$b$代入$2ab$计算即可。
【解析】
解：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$
不等式两边同乘$-1$，不等号方向改变，得：$-4＜-\sqrt{13}＜-3$
不等式两边同时加$6$，得：$6-4＜6-\sqrt{13}＜6-3$，即$2＜6-\sqrt{13}＜3$
$\therefore 6-\sqrt{13}$的整数部分$a=2$
小数部分$b=(6-\sqrt{13})-a=6-\sqrt{13}-2=4-\sqrt{13}$
将$a=2$，$b=4-\sqrt{13}$代入$2ab$得：
$2ab=2×2×(4-\sqrt{13})=4×(4-\sqrt{13})=16-4\sqrt{13}$
【答案】
$2$，$16-4\sqrt{13}$
【知识点】
无理数大小估算，实数的整数与小数部分，代数式求值
【点评】
本题是实数部分的常规题型，解题核心是用夹逼法估算无理数的取值范围，再结合整数、小数部分的定义求出对应值后代入计算，掌握无理数估算方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先需要估算无理数$\sqrt{13}$的取值范围，再通过不等式变形得到$6-\sqrt{13}$的取值范围，即可直接确定它的整数部分$a$；根据“小数部分=原数-整数部分”的规律求出$b$，最后将$a$、$b$代入$2ab$计算即可。
【解析】
解：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$
不等式两边同乘$-1$，不等号方向改变，得：$-4＜-\sqrt{13}＜-3$
不等式两边同时加$6$，得：$6-4＜6-\sqrt{13}＜6-3$，即$2＜6-\sqrt{13}＜3$
$\therefore 6-\sqrt{13}$的整数部分$a=2$
小数部分$b=(6-\sqrt{13})-a=6-\sqrt{13}-2=4-\sqrt{13}$
将$a=2$，$b=4-\sqrt{13}$代入$2ab$得：
$2ab=2×2×(4-\sqrt{13})=4×(4-\sqrt{13})=16-4\sqrt{13}$
【答案】
$2$，$16-4\sqrt{13}$
【知识点】
无理数大小估算，实数的整数与小数部分，代数式求值
【点评】
本题是实数部分的常规题型，解题核心是用夹逼法估算无理数的取值范围，再结合整数、小数部分的定义求出对应值后代入计算，掌握无理数估算方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.75
5. 比较大小：$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ______ $\sqrt{7}$（填“＞”“=”或“＜”）。
答案
5. $＞$
解析
【分析】
要比较两个带根号的正数的大小，可利用“两个正数，平方越大则原数越大”的性质，通过平方法去掉根号，将问题转化为更易比较的有理数或低复杂度根式的大小比较。首先分别计算两个数的平方，再比较平方结果的大小，即可反推得到原数的大小关系。
【解析】
$\sqrt{2}+\sqrt{3}$和$\sqrt{7}$均为正数，因此可以通过比较二者平方的大小判断原数大小：
1. 计算$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$，根据完全平方公式展开得：
$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}$
2. 计算$(\sqrt{7})^2=7$
3. 比较平方结果的大小：
因为$\sqrt{6}＞\sqrt{1}=1$，所以$2\sqrt{6}＞2$，因此$5+2\sqrt{6}＞5+2=7$，即$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2＞(\sqrt{7})^2$
结合正数平方越大原数越大的性质，可得$\sqrt{2}+\sqrt{3}＞\sqrt{7}$。
【答案】
$＞$
【知识点】
实数大小比较；二次根式运算；完全平方公式
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，平方法是解决带二次根式的正数大小比较问题的常用技巧，思路清晰操作简单，熟练掌握该方法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
要比较两个带根号的正数的大小，可利用“两个正数，平方越大则原数越大”的性质，通过平方法去掉根号，将问题转化为更易比较的有理数或低复杂度根式的大小比较。首先分别计算两个数的平方，再比较平方结果的大小，即可反推得到原数的大小关系。
【解析】
$\sqrt{2}+\sqrt{3}$和$\sqrt{7}$均为正数，因此可以通过比较二者平方的大小判断原数大小：
1. 计算$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$，根据完全平方公式展开得：
$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}$
2. 计算$(\sqrt{7})^2=7$
3. 比较平方结果的大小：
因为$\sqrt{6}＞\sqrt{1}=1$，所以$2\sqrt{6}＞2$，因此$5+2\sqrt{6}＞5+2=7$，即$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2＞(\sqrt{7})^2$
结合正数平方越大原数越大的性质，可得$\sqrt{2}+\sqrt{3}＞\sqrt{7}$。
【答案】
$＞$
【知识点】
实数大小比较；二次根式运算；完全平方公式
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，平方法是解决带二次根式的正数大小比较问题的常用技巧，思路清晰操作简单，熟练掌握该方法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
6. 定义运算“*”的运算法则为 $ x*y = \sqrt{xy + 4} $，则 $ (2*6)*8 = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
6. $6$
解析
【分析】
这是一道定义新运算的题目，解题核心是先明确给定的运算法则$x*y = \sqrt{xy + 4}$，运算时遵循有括号先算括号内的顺序：第一步先计算括号内的$2*6$，将$x=2、y=6$代入运算法则求出结果；第二步再把第一步得到的结果作为新的$x$，$y=8$，再次代入运算法则计算，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：先计算括号内的$2*6$
根据运算法则$x*y = \sqrt{xy + 4}$，把$x=2$，$y=6$代入得：
$2*6=\sqrt{2×6 + 4}=\sqrt{12 + 4}=\sqrt{16}=4$
第二步：计算$4*8$
把$x=4$，$y=8$代入运算法则得：
$4*8=\sqrt{4×8 + 4}=\sqrt{32 + 4}=\sqrt{36}=6$
因此$(2*6)*8=6$
【答案】
$6$
【知识点】
定义新运算；二次根式化简；实数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对新运算规则的理解和应用，解题时要严格按照给定的运算规则代入数值计算，注意运算顺序，计算二次根式时确保结果非负，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道定义新运算的题目，解题核心是先明确给定的运算法则$x*y = \sqrt{xy + 4}$，运算时遵循有括号先算括号内的顺序：第一步先计算括号内的$2*6$，将$x=2、y=6$代入运算法则求出结果；第二步再把第一步得到的结果作为新的$x$，$y=8$，再次代入运算法则计算，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：先计算括号内的$2*6$
根据运算法则$x*y = \sqrt{xy + 4}$，把$x=2$，$y=6$代入得：
$2*6=\sqrt{2×6 + 4}=\sqrt{12 + 4}=\sqrt{16}=4$
第二步：计算$4*8$
把$x=4$，$y=8$代入运算法则得：
$4*8=\sqrt{4×8 + 4}=\sqrt{32 + 4}=\sqrt{36}=6$
因此$(2*6)*8=6$
【答案】
$6$
【知识点】
定义新运算；二次根式化简；实数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对新运算规则的理解和应用，解题时要严格按照给定的运算规则代入数值计算，注意运算顺序，计算二次根式时确保结果非负，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
二、选择题。
1. 已知二次根式$\sqrt{4m + n + 10}$，$m、n$均为正整数，且该二次根式可以化简为有理数. 对于$m$和$n$的值有以下说法：
① 若$m=n$，则$m$的最小值为$3$；② 当$m≤5$时，则$n≥ m$；
③ $n$不可能等于$1$. 其中正确的个数是 （
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
1. 已知二次根式$\sqrt{4m + n + 10}$，$m、n$均为正整数，且该二次根式可以化简为有理数. 对于$m$和$n$的值有以下说法：
① 若$m=n$，则$m$的最小值为$3$；② 当$m≤5$时，则$n≥ m$；
③ $n$不可能等于$1$. 其中正确的个数是 （
D
）A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心条件：二次根式化简后为有理数，说明被开方数$4m+n+10$是正的完全平方数，且因为$m、n$均为正整数，所以$4m+n+10＞10$，即对应的完全平方数最小为$16$，可列出大于10的完全平方数：$16、25、36、49……$，接下来逐一验证三个说法是否符合条件即可。
【解析】
设$4m + n + 10 = k^2$（$k$为正整数，且$k^2＞10$，故$k≥4$），$m≥1，n≥1$且均为正整数。
1. 验证说法①：若$m=n$，代入得$5m+10=k^2$，即$5(m+2)=k^2$，说明$k^2$是5的倍数，因此$k$最小为5，此时$k^2=25$，解得$5(m+2)=25→m=3$，符合正整数要求，故$m$最小值为3，①正确。
2. 验证说法②：当$m≤5$时，假设存在$n＜m$的情况，则$n≤m-1$，代入得$4m+n+10≤4×5 +4 +10=34$，故$k^2≤34$，$k$只能取4、5：
$k=4$时，$k^2=16$，得$4m+n=6$，仅$m=1、n=2$符合要求，$2≥1$满足$n≥m$；
$k=5$时，$k^2=25$，得$4m+n=15$，可能的取值：$m=1,n=11$；$m=2,n=7$；$m=3,n=3$，均满足$n≥m$；
$k≥6$时$k^2≥36$，对应$m=4$时$n=10$，$m=5$时$n=6$，均满足$n≥m$，无反例，故②正确。
3. 验证说法③：假设$n=1$，则$4m+11=k^2$。偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1，因此完全平方数除以4的余数只能为0或1，而$4m+11$除以4余3，不可能是完全平方数，故$n$不可能等于1，③正确。
综上三个说法均正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，完全平方数的性质，整数整除特征
【点评】
本题围绕二次根式化简为有理数的条件展开，结合正整数的取值限制和完全平方数的特征逐一判断结论，解题时可通过列举、反证等方法避免漏判，考察逻辑推理的严谨性。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确核心条件：二次根式化简后为有理数，说明被开方数$4m+n+10$是正的完全平方数，且因为$m、n$均为正整数，所以$4m+n+10＞10$，即对应的完全平方数最小为$16$，可列出大于10的完全平方数：$16、25、36、49……$，接下来逐一验证三个说法是否符合条件即可。
【解析】
设$4m + n + 10 = k^2$（$k$为正整数，且$k^2＞10$，故$k≥4$），$m≥1，n≥1$且均为正整数。
1. 验证说法①：若$m=n$，代入得$5m+10=k^2$，即$5(m+2)=k^2$，说明$k^2$是5的倍数，因此$k$最小为5，此时$k^2=25$，解得$5(m+2)=25→m=3$，符合正整数要求，故$m$最小值为3，①正确。
2. 验证说法②：当$m≤5$时，假设存在$n＜m$的情况，则$n≤m-1$，代入得$4m+n+10≤4×5 +4 +10=34$，故$k^2≤34$，$k$只能取4、5：
$k=4$时，$k^2=16$，得$4m+n=6$，仅$m=1、n=2$符合要求，$2≥1$满足$n≥m$；
$k=5$时，$k^2=25$，得$4m+n=15$，可能的取值：$m=1,n=11$；$m=2,n=7$；$m=3,n=3$，均满足$n≥m$；
$k≥6$时$k^2≥36$，对应$m=4$时$n=10$，$m=5$时$n=6$，均满足$n≥m$，无反例，故②正确。
3. 验证说法③：假设$n=1$，则$4m+11=k^2$。偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1，因此完全平方数除以4的余数只能为0或1，而$4m+11$除以4余3，不可能是完全平方数，故$n$不可能等于1，③正确。
综上三个说法均正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，完全平方数的性质，整数整除特征
【点评】
本题围绕二次根式化简为有理数的条件展开，结合正整数的取值限制和完全平方数的特征逐一判断结论，解题时可通过列举、反证等方法避免漏判，考察逻辑推理的严谨性。
【难度系数】
0.6
2. 下列叙述中正确的是 （
A.正数的平方根不可能是负数
B.无限小数都是无理数
C.实数和数轴上的点一一对应
D.带根号的数是无理数
C
）A.正数的平方根不可能是负数
B.无限小数都是无理数
C.实数和数轴上的点一一对应
D.带根号的数是无理数
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查实数相关的基础概念，解题时需逐个对选项进行判断：首先回忆平方根的性质判断A选项，再结合无理数的定义判断B、D选项，最后根据实数与数轴的对应关系判断C选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 正数有两个互为相反数的平方根，包含正平方根和负平方根，例如4的平方根是±2，因此正数的平方根可能是负数，该选项错误；
B. 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此无限小数不都是无理数，该选项错误；
C. 所有实数都可以用数轴上的点唯一表示，同时数轴上的每一个点也都对应唯一的实数，即实数和数轴上的点一一对应，该选项正确；
D. 带根号的数不一定是无理数，若根号下的数可以开尽方，得到的就是有理数，例如√4=2是整数，属于有理数，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质；无理数的定义；实数与数轴的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易混淆平方根与算术平方根、无限小数与无理数、带根号的数与无理数的概念，准确掌握各基础概念的内涵即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查实数相关的基础概念，解题时需逐个对选项进行判断：首先回忆平方根的性质判断A选项，再结合无理数的定义判断B、D选项，最后根据实数与数轴的对应关系判断C选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 正数有两个互为相反数的平方根，包含正平方根和负平方根，例如4的平方根是±2，因此正数的平方根可能是负数，该选项错误；
B. 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此无限小数不都是无理数，该选项错误；
C. 所有实数都可以用数轴上的点唯一表示，同时数轴上的每一个点也都对应唯一的实数，即实数和数轴上的点一一对应，该选项正确；
D. 带根号的数不一定是无理数，若根号下的数可以开尽方，得到的就是有理数，例如√4=2是整数，属于有理数，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质；无理数的定义；实数与数轴的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易混淆平方根与算术平方根、无限小数与无理数、带根号的数与无理数的概念，准确掌握各基础概念的内涵即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 下列计算结果正确的是 （
A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}-\sqrt{2}=1$
C.$\sqrt{3} × \sqrt{2}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\frac{3}{2}$
C
）A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}-\sqrt{2}=1$
C.$\sqrt{3} × \sqrt{2}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\frac{3}{2}$
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减和乘法运算规则，解题时先回忆相关运算要求：①二次根式加减时，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，不是同类二次根式不能直接相加或相减；②二次根式乘法满足$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$）。接下来我们逐个验证每个选项的运算是否符合规则即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式的运算规则逐一判断：
1. 分析A、B、D选项：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，二者不是同类二次根式，不能直接合并进行加减运算，因此A选项$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$、B选项$\sqrt{3}-\sqrt{2}=1$、D选项$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\frac{3}{2}$的运算均错误。
2. 分析C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，运算正确。
综上，计算结果正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式的判定；二次根式的加减运算；二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查二次根式的基本运算规则，易错点是容易忽略“只有同类二次根式才能合并加减”的要求，误将被开方数直接相加减。熟练掌握二次根式的加减、乘法运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的加减和乘法运算规则，解题时先回忆相关运算要求：①二次根式加减时，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，不是同类二次根式不能直接相加或相减；②二次根式乘法满足$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$）。接下来我们逐个验证每个选项的运算是否符合规则即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式的运算规则逐一判断：
1. 分析A、B、D选项：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，二者不是同类二次根式，不能直接合并进行加减运算，因此A选项$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$、B选项$\sqrt{3}-\sqrt{2}=1$、D选项$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\frac{3}{2}$的运算均错误。
2. 分析C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，运算正确。
综上，计算结果正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式的判定；二次根式的加减运算；二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查二次根式的基本运算规则，易错点是容易忽略“只有同类二次根式才能合并加减”的要求，误将被开方数直接相加减。熟练掌握二次根式的加减、乘法运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4. 已知实数 $ x,y $ 满足 $ x+y=-2a,xy=a\ (a≥1) $，则 $ \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} $ 的值为 （
A.$ \sqrt{2}a $
B.$ 2a\sqrt{a} $
C.$ a\sqrt{2a} $
D.$ 2\sqrt{a} $
D
）A.$ \sqrt{2}a $
B.$ 2a\sqrt{a} $
C.$ a\sqrt{2a} $
D.$ 2\sqrt{a} $
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先要根据已知条件判断x和y的符号：已知a≥1，xy=a＞0说明x、y同号，x+y=-2a＜0说明x、y均为负数，因此所求的两个二次根式的和一定是正数。接下来可以先将所求式子平方，利用完全平方公式展开，再将x+y、xy作为整体代入计算，最后开算术平方根即可得到结果，这种方法可以避免直接化简二次根式时的符号处理问题，降低出错概率。
【解析】
解：
∵a≥1
∴xy=a＞0，x+y=-2a＜0，可得x＜0，y＜0
∴$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}$的结果为正数，先计算该式的平方：
$\begin{split}(\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}})^2&=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2·\sqrt{\frac{x}{y}·\frac{y}{x}}\\&=\frac{x^2+y^2}{xy}+2\\&=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}+2\end{split}$
将$x+y=-2a$，$xy=a$代入上式：
$\begin{split}原式&=\frac{(-2a)^2-2a}{a}+2\\&=\frac{4a^2-2a}{a}+2\\&=4a-2+2=4a\end{split}$
对结果开算术平方根得：$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}=\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是二次根式运算的常考题型，核心考点是二次根式的非负性和完全平方公式的灵活运用，解题关键是先判断x、y的符号确定所求式子的正负性，再用整体代入的思想计算，规避符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据已知条件判断x和y的符号：已知a≥1，xy=a＞0说明x、y同号，x+y=-2a＜0说明x、y均为负数，因此所求的两个二次根式的和一定是正数。接下来可以先将所求式子平方，利用完全平方公式展开，再将x+y、xy作为整体代入计算，最后开算术平方根即可得到结果，这种方法可以避免直接化简二次根式时的符号处理问题，降低出错概率。
【解析】
解：
∵a≥1
∴xy=a＞0，x+y=-2a＜0，可得x＜0，y＜0
∴$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}$的结果为正数，先计算该式的平方：
$\begin{split}(\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}})^2&=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2·\sqrt{\frac{x}{y}·\frac{y}{x}}\\&=\frac{x^2+y^2}{xy}+2\\&=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}+2\end{split}$
将$x+y=-2a$，$xy=a$代入上式：
$\begin{split}原式&=\frac{(-2a)^2-2a}{a}+2\\&=\frac{4a^2-2a}{a}+2\\&=4a-2+2=4a\end{split}$
对结果开算术平方根得：$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}=\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是二次根式运算的常考题型，核心考点是二次根式的非负性和完全平方公式的灵活运用，解题关键是先判断x、y的符号确定所求式子的正负性，再用整体代入的思想计算，规避符号错误。
【难度系数】
0.7
5. 已知$\sqrt{75m}$是整数,则满足条件的最小正整数$m=$ (
A.5
B.0
C.3
D.75
C
).A.5
B.0
C.3
D.75
答案
5. C
解析
【分析】
要使$\sqrt{75m}$是整数，说明根号内的$75m$是完全平方数。解题时首先将75分解质因数，把其中已经是完全平方的因数分离出来，再根据完全平方数的质因数指数均为偶数的特征，确定需要补充的最小正整数$m$，同时注意题目要求$m$是正整数，可先排除不符合要求的选项。
【解析】
首先对75分解质因数：
$75=25×3=5^2×3$
因此$\sqrt{75m}=\sqrt{5^2×3m}=5\sqrt{3m}$
已知$\sqrt{75m}$是整数，则$\sqrt{3m}$必须为整数，即$3m$是完全平方数。
完全平方数的所有质因数的指数都是偶数，当前3的指数为1，是奇数，因此最小的正整数$m$需要让3的指数变为2，即$m=3$。
又因为0不是正整数，排除选项B，其余选项中最小的正整数$m$为3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简及完全平方数的特征，解题核心是先将根号内的数拆分出完全平方因数，再结合完全平方数的性质确定$m$的最小值，注意审题时不要忽略“正整数”的限制条件，避免误选。
【难度系数】
0.8
要使$\sqrt{75m}$是整数，说明根号内的$75m$是完全平方数。解题时首先将75分解质因数，把其中已经是完全平方的因数分离出来，再根据完全平方数的质因数指数均为偶数的特征，确定需要补充的最小正整数$m$，同时注意题目要求$m$是正整数，可先排除不符合要求的选项。
【解析】
首先对75分解质因数：
$75=25×3=5^2×3$
因此$\sqrt{75m}=\sqrt{5^2×3m}=5\sqrt{3m}$
已知$\sqrt{75m}$是整数，则$\sqrt{3m}$必须为整数，即$3m$是完全平方数。
完全平方数的所有质因数的指数都是偶数，当前3的指数为1，是奇数，因此最小的正整数$m$需要让3的指数变为2，即$m=3$。
又因为0不是正整数，排除选项B，其余选项中最小的正整数$m$为3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简及完全平方数的特征，解题核心是先将根号内的数拆分出完全平方因数，再结合完全平方数的性质确定$m$的最小值，注意审题时不要忽略“正整数”的限制条件，避免误选。
【难度系数】
0.8
6. 若方程组$\begin{cases}2x - 3y = 8, \\ 3x - 2y = 17,\end{cases}$设$x + y = a^2$，$x - y = b^2$，则代数式$\sqrt{a^2b^2}$的值为 （ ）
A.$\pm 3\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$5\sqrt{5}$
A.$\pm 3\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$5\sqrt{5}$
答案
6. B
解析
【分析】
解题时先明确目标：要求$\sqrt{a^2b^2}$的值，已知$a^2=x+y$，$b^2=x-y$，因此只需要先求解给出的二元一次方程组，得到$x$和$y$的具体数值，再计算$x+y$与$x-y$的乘积，最后求算术平方根即可。同时要注意$\sqrt{}$表示算术平方根，结果为非负数，可先排除带负号的选项。
【解析】
首先解二元一次方程组$\begin{cases}2x - 3y = 8&① \\ 3x - 2y = 17&②\end{cases}$：
1. 消元计算：①$×3$得$6x-9y=24$ ③，②$×2$得$6x-4y=34$ ④；
2. ④$-$③得：$5y=10$，解得$y=2$；
3. 将$y=2$代入①得：$2x-3×2=8$，解得$x=7$。
接下来计算对应代数式的值：
$a^2=x+y=7+2=9$，$b^2=x-y=7-2=5$，
因此$\sqrt{a^2b^2}=\sqrt{9×5}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组求解，二次根式化简，代数式求值
【点评】
本题是基础综合题，将方程组求解和二次根式运算结合，解题核心是先求出$x$、$y$的取值，同时要注意算术平方根的非负性，避免误选带正负的选项。
【难度系数】
0.7
解题时先明确目标：要求$\sqrt{a^2b^2}$的值，已知$a^2=x+y$，$b^2=x-y$，因此只需要先求解给出的二元一次方程组，得到$x$和$y$的具体数值，再计算$x+y$与$x-y$的乘积，最后求算术平方根即可。同时要注意$\sqrt{}$表示算术平方根，结果为非负数，可先排除带负号的选项。
【解析】
首先解二元一次方程组$\begin{cases}2x - 3y = 8&① \\ 3x - 2y = 17&②\end{cases}$：
1. 消元计算：①$×3$得$6x-9y=24$ ③，②$×2$得$6x-4y=34$ ④；
2. ④$-$③得：$5y=10$，解得$y=2$；
3. 将$y=2$代入①得：$2x-3×2=8$，解得$x=7$。
接下来计算对应代数式的值：
$a^2=x+y=7+2=9$，$b^2=x-y=7-2=5$，
因此$\sqrt{a^2b^2}=\sqrt{9×5}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组求解，二次根式化简，代数式求值
【点评】
本题是基础综合题，将方程组求解和二次根式运算结合，解题核心是先求出$x$、$y$的取值，同时要注意算术平方根的非负性，避免误选带正负的选项。
【难度系数】
0.7
7. 已知实数$x,y$满足$|x-5|+\sqrt{y-8}=0$,则以$x,y$的值为两边长的等腰三角形的周长是 （
A.21或18
B.21
C.18
D.以上均不对
A
）A.21或18
B.21
C.18
D.以上均不对
答案
7. A
解析
【分析】
首先根据绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，可求出x、y的值。接下来构造等腰三角形时需要分类讨论：分别以x为腰长、y为底边长和y为腰长、x为底边长两种情况，最后结合三角形三边关系验证两种情况是否都成立，再计算对应周长即可。
【解析】
解：
∵绝对值和算术平方根均为非负数，即$|x-5|≥0$，$\sqrt{y-8}≥0$，且$|x-5|+\sqrt{y-8}=0$
∴$x-5=0$，$y-8=0$
解得$x=5$，$y=8$
分两种情况讨论等腰三角形的周长：
① 当腰长为5，底边长为8时：
三角形三边长为5、5、8
∵$5+5=10＞8$，满足三角形两边之和大于第三边，可构成三角形
此时周长为$5+5+8=18$
② 当腰长为8，底边长为5时：
三角形三边长为8、8、5
∵$8+5=13＞8$，满足三角形两边之和大于第三边，可构成三角形
此时周长为$8+8+5=21$
综上，等腰三角形的周长为21或18，故选A。
【答案】A
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形的分类讨论，或者未验证三边是否满足三角形构成条件，解题时要注意考虑全面，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
首先根据绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，可求出x、y的值。接下来构造等腰三角形时需要分类讨论：分别以x为腰长、y为底边长和y为腰长、x为底边长两种情况，最后结合三角形三边关系验证两种情况是否都成立，再计算对应周长即可。
【解析】
解：
∵绝对值和算术平方根均为非负数，即$|x-5|≥0$，$\sqrt{y-8}≥0$，且$|x-5|+\sqrt{y-8}=0$
∴$x-5=0$，$y-8=0$
解得$x=5$，$y=8$
分两种情况讨论等腰三角形的周长：
① 当腰长为5，底边长为8时：
三角形三边长为5、5、8
∵$5+5=10＞8$，满足三角形两边之和大于第三边，可构成三角形
此时周长为$5+5+8=18$
② 当腰长为8，底边长为5时：
三角形三边长为8、8、5
∵$8+5=13＞8$，满足三角形两边之和大于第三边，可构成三角形
此时周长为$8+8+5=21$
综上，等腰三角形的周长为21或18，故选A。
【答案】A
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形的分类讨论，或者未验证三边是否满足三角形构成条件，解题时要注意考虑全面，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
