8. 设$ n $为正整数，且$ n＜\sqrt{65}＜n+1 $，则$ n $的值为 （）

A.5
B.6
C.7
D.8

8. D

【分析】
要确定n的值，需要先估算$\sqrt{65}$的取值范围。解题核心思路是找到与65相邻的两个正整数的完全平方数，利用“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质，就能确定$\sqrt{65}$介于哪两个连续正整数之间，进而得到n的值。
【解析】
1. 计算与65相邻的完全平方数：
$8^2=64$，$9^2=81$
2. 比较被开方数的大小：
因为$64＜65＜81$
3. 对不等式三边同时取算术平方根，不等号方向不变：
可得$\sqrt{64}＜\sqrt{65}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{65}＜9$
4. 结合题目条件$n＜\sqrt{65}＜n+1$，且n为正整数，因此$n=8$。
【答案】
D
【知识点】
无理数大小估算、算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟记10以内正整数的平方数，找到被开方数相邻的两个完全平方数，即可快速估算出无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9

9. 高空抛物极其危险,是我们必须杜绝的行为.据研究,高空抛物下落的时间$ t $(单位:$ \mathrm{s} $)和高度$ h $(单位:$ \mathrm{m} $)近似满足公式$ t=\sqrt{\dfrac{h}{5}} $(不考虑风速的影响).记从$ 25 \ \mathrm{m} $高空抛物到落地所需时间为$ t_1 $,从$ 50 \ \mathrm{m} $高空抛物到落地所需时间为$ t_2 $,则$ \dfrac{t_2}{t_1} $的值为（）

A.$ \sqrt{2} $
B.$ \sqrt{5} $
C.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $

9. A

【分析】
本题要求两个下落时间的比值，解题可按三步思考：第一步先对应好时间与高度的关系，明确t₁对应高度25m，t₂对应高度50m；第二步分别将两个高度代入给出的公式，求出t₁和t₂的具体表达式；第三步计算二者的比值，用二次根式的运算法则化简即可得到结果。
【解析】
根据题目给出的公式$t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$分别计算：
1. 计算$t_1$：当$h=25\ \mathrm{m}$时，$t_1=\sqrt{\dfrac{25}{5}}=\sqrt{5}\ \mathrm{s}$
2. 计算$t_2$：当$h=50\ \mathrm{m}$时，$t_2=\sqrt{\dfrac{50}{5}}=\sqrt{10}\ \mathrm{s}$
3. 计算比值：$\dfrac{t_2}{t_1}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{10}{5}}=\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式运算；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景考查基础计算，难度较低，只要准确代入对应数值，熟练掌握二次根式的除法化简规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

10. 若$\sqrt{8}$能与二次根式$\sqrt{a+1}$合并，则$a$的值可以为（）

A.1
B.2
C.3
D.11

10. A

【分析】
要解决这道题，首先要明确二次根式能合并的条件：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，就可以合并。解题时先把已知的$\sqrt{8}$化为最简二次根式，得到它的被开方数，再逐一验证选项中$a$对应的$\sqrt{a+1}$化简后是否满足被开方数相同的要求即可。
【解析】
第一步：先化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，化简后它的被开方数是2。
第二步：根据可合并二次根式的条件，逐一验证选项：
选项A：当$a=1$时，$a+1=2$，$\sqrt{a+1}=\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，和$2\sqrt{2}$是同类二次根式，可以合并，符合要求；
选项B：当$a=2$时，$a+1=3$，$\sqrt{a+1}=\sqrt{3}$，被开方数为3，不能和$2\sqrt{2}$合并，不符合；
选项C：当$a=3$时，$a+1=4$，$\sqrt{a+1}=\sqrt{4}=2$，是整数，不能和$2\sqrt{2}$合并，不符合；
选项D：当$a=11$时，$a+1=12$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，不能和$2\sqrt{2}$合并，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简，同类二次根式
【点评】
本题核心考查可合并二次根式的判断，易错点是直接用未化简的二次根式的被开方数做判断，解题时一定要先将二次根式化为最简形式，再对比被开方数是否相同。
【难度系数】
0.8

1. 计算:
(1) $\sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{8} × \sqrt{3}$;
(2) $(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2) + (\sqrt{3} + 2)^2$.

1. (1) $3\sqrt{6}$. (2) $6+4\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 本题考查二次根式的乘法与加法混合运算，解题思路为：先根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$分别计算两个乘法项，再将计算结果化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可。
(2) 本题考查乘法公式在二次根式运算中的应用，解题思路为：先观察式子特征，$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，$(\sqrt{3}+2)^2$符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构，分别套用两个公式展开后，再合并同类项与同类二次根式即可。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{18×\frac{1}{3}} + \sqrt{8×3}$
$=\sqrt{6} + \sqrt{24}$
$=\sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=3\sqrt{6}$
(2) 原式$=(\sqrt{3})^2 - 2^2 + [(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×2 + 2^2]$
$=3 - 4 + (3 + 4\sqrt{3} + 4)$
$=-1 + 7 + 4\sqrt{3}$
$=6 + 4\sqrt{3}$
【答案】
(1) $3\sqrt{6}$；(2) $6+4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式乘法法则、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题属于二次根式混合运算的常规题型，解题时优先观察式子结构，合理运用乘法公式可大幅简化计算过程，运算结束后注意检查结果是否为最简二次根式。
【难度系数】
0.8

2. 计算：$\sqrt{2x} - \frac{5}{2x}\sqrt{8x^3} + 2\sqrt{\frac{x}{8}} (x＞0).$

2. $-\frac{7}{2}\sqrt{2x}$.

【分析】
这是二次根式的加减运算题，解题思路清晰明确：首先根据题目给出的$x＞0$的条件，利用二次根式的性质将每一项都化简为最简二次根式；其次判断化简后的各项都是被开方数为$2x$的同类二次根式；最后将同类二次根式的系数相加减、被开方数保持不变，即可算出最终结果。
【解析】
解：$\because x＞0$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{2x} - \frac{5}{2x}·\sqrt{4x^2·2x} + 2·\sqrt{\frac{2x}{16}}\\&=\sqrt{2x} - \frac{5}{2x}·2x\sqrt{2x} + 2·\frac{\sqrt{2x}}{4}\\&=\sqrt{2x} - 5\sqrt{2x} + \frac{1}{2}\sqrt{2x}\\&=(1 - 5 + \frac{1}{2})\sqrt{2x}\\&=-\frac{7}{2}\sqrt{2x}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{7}{2}\sqrt{2x}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式运算的常规题型，解题核心是先把所有二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，运算时要注意利用题干给出的$x＞0$的条件，避免化简时出现符号错误。
【难度系数】
0.7

3. 计算: $2ab÷\dfrac{ab}{a-b}·\dfrac{1}{2(b-a)^2}.$

解：
原式
$\begin{aligned}&=2ab· \dfrac{a-b}{ab}· \dfrac{1}{2(a-b)^2}\\&=2(a-b)· \dfrac{1}{2(a-b)^2}\\&=\dfrac{1}{a-b}\end{aligned}$

【分析】
本题是分式的乘除混合运算，解题思路如下：首先，分式乘除属于同级运算，需按照从左到右的顺序计算；其次，遇到除法运算要转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以它的倒数；另外要利用变形$(b-a)^2=(a-b)^2$统一因式形式，最后约去分子分母的公因式即可得到最简结果。
【解析】
$\begin{aligned}&2ab÷\dfrac{ab}{a-b}·\dfrac{1}{2(b-a)^2}\\=&2ab·\dfrac{a-b}{ab}·\dfrac{1}{2(a-b)^2} \quad \mathrm{（除法变乘法，且$(b-a)^2=(a-b)^2$）}\\=&\dfrac{2ab·(a-b)}{ab·2·(a-b)^2} \\=&\dfrac{1}{a-b} \quad \mathrm{（约去分子分母的公因式$2ab(a-b)$）}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{a-b}$
【知识点】
1.分式乘除运算 2.分式约分 3.偶次幂的性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式乘除混合运算的规则，解题时要注意运算顺序，牢记互为相反数的两个数的偶次幂相等的常用变形，约分过程要仔细，避免漏看公因式出错。
【难度系数】
0.8

4. 已知$a+\dfrac{1}{a}=-1+\sqrt{10}$，求$a^2+\dfrac{1}{a^2}$的值.

4. $9-2\sqrt{10}$.

【分析】
要求$a^2+\frac{1}{a^2}$的值，可联想到完全平方公式的变形规则：两个数的平方和等于两数和的平方减去两倍的两数乘积。已知条件给出了$a+\frac{1}{a}$的值，且$a$与$\frac{1}{a}$的乘积恒为1，因此只需将$a^2+\frac{1}{a^2}$转化为含$a+\frac{1}{a}$的表达式，代入已知数值计算即可。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a+\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$
移项变形得：
$a^2+\frac{1}{a^2} = (a+\frac{1}{a})^2 - 2$
将$a+\frac{1}{a}=-1+\sqrt{10}$代入上式计算：
$\begin{aligned}a^2+\frac{1}{a^2}&=(-1+\sqrt{10})^2 - 2\\&=(-1)^2 + 2×(-1)×\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 - 2\\&=1 - 2\sqrt{10} + 10 - 2\\&=9 - 2\sqrt{10}\end{aligned}$
【答案】
$9-2\sqrt{10}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查完全平方公式的变形应用，解题时无需单独求出a的取值，直接用整体代入的思想计算即可，运算时注意二次根式乘方的符号和结果正确性。
【难度系数】
0.8

5. 先化简,再求值:$(x+\dfrac{1}{x-2})÷(x+2+\dfrac{3}{x-2})$,其中$x=\sqrt{2}-1$.

5. $\frac{x-1}{x+1}$，$1-\sqrt{2}$.

【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分两步走：第一步先化简分式，先分别对被除数和除数中的分式加减部分通分，将整式转化为同分母分式后合并，再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解、约分得到最简分式；第二步将给定的x值代入最简分式，计算出最终结果，计算时注意二次根式的运算规范。
【解析】
解：先化简原式：
1. 化简被除数部分：
$x+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x(x-2)}{x-2}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x^2-2x+1}{x-2}=\dfrac{(x-1)^2}{x-2}$
2. 化简除数部分：
$x+2+\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2}+\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{x^2-4+3}{x-2}=\dfrac{x^2-1}{x-2}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-2}$
3. 将除法转化为乘法并约分：
原式$=\dfrac{(x-1)^2}{x-2} ÷ \dfrac{(x+1)(x-1)}{x-2}=\dfrac{(x-1)^2}{x-2} × \dfrac{x-2}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{x-1}{x+1}$
4. 代入$x=\sqrt{2}-1$求值：
将$x=\sqrt{2}-1$代入$\dfrac{x-1}{x+1}$得：
$\dfrac{(\sqrt{2}-1)-1}{(\sqrt{2}-1)+1}=\dfrac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{2}-2)×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{x-1}{x+1}$，求值结果为$1-\sqrt{2}$
【知识点】
1. 分式混合运算 2. 因式分解 3. 二次根式运算
【点评】
本题属于分式化简求值的常规基础题型，重点考察分式通分、约分的运算能力，以及完全平方公式、平方差公式的应用，计算时需注意运算顺序，约分要彻底，代入二次根式计算时要做好分母有理化。
【难度系数】
0.7