登录
6. 阅读与思考：
配方是初中数学重要的思想方法之一，用配方可以简化数学运算，常用的配方公式有：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$. 用配方解答下面问题：
（1）已知：$x+\frac{1}{x}=5$，求$x^2+\frac{1}{x^2}$的值；
（2）已知：$x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$，$y=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$，求$3x^2 - 2xy + 3y^2$的值；
（3）已知：$\sqrt{a}-\sqrt{2b}=3$，$\sqrt{ab}=2$，$(a≥0,b≥0)$，求$a + 2b$的值.
配方是初中数学重要的思想方法之一，用配方可以简化数学运算，常用的配方公式有：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$. 用配方解答下面问题：
（1）已知：$x+\frac{1}{x}=5$，求$x^2+\frac{1}{x^2}$的值；
（2）已知：$x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$，$y=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$，求$3x^2 - 2xy + 3y^2$的值；
（3）已知：$\sqrt{a}-\sqrt{2b}=3$，$\sqrt{ab}=2$，$(a≥0,b≥0)$，求$a + 2b$的值.
答案
6. (1) 23. (2) 424. (3) $9+4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题考查配方法在代数式求值中的应用，解题思路如下：
(1) 所求式$x^2+\frac{1}{x^2}$符合配方公式$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$的结构，将$a=x、b=\frac{1}{x}$代入，结合已知$x+\frac{1}{x}=5$即可整体计算，无需单独求x的值。
(2) 观察x、y的结构，二者互为倒数，先通过分母有理化计算$x+y$和$xy$的值，再将所求式$3x^2 - 2xy + 3y^2$变形为含$x+y$、$xy$的形式，整体代入简化计算，避免直接代入x、y的复杂值运算。
(3) 所求式$a+2b$可变形为$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{2b})^2$，对应配方公式$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，结合已知$\sqrt{a}-\sqrt{2b}=3$和$\sqrt{ab}=2$代入计算即可。
【解析】
(1) 根据配方公式$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入$a=x、b=\frac{1}{x}$得：
$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2· x· \frac{1}{x}$
将$x+\frac{1}{x}=5$，$x· \frac{1}{x}=1$代入得：
原式$=5^2-2×1=25-2=23$
(2) 先计算$xy$和$x+y$的值：
$xy=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=1$
对x、y分母有理化：
$x=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}=\frac{7+2\sqrt{35}+5}{7-5}=\frac{12+2\sqrt{35}}{2}=6+\sqrt{35}$
$y=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}=\frac{7-2\sqrt{35}+5}{7-5}=\frac{12-2\sqrt{35}}{2}=6-\sqrt{35}$
则$x+y=(6+\sqrt{35})+(6-\sqrt{35})=12$
将所求式变形：
$3x^2-2xy+3y^2=3(x^2+y^2)-2xy=3[(x+y)^2-2xy]-2xy=3(x+y)^2-8xy$
代入$x+y=12、xy=1$得：
原式$=3×12^2-8×1=3×144-8=432-8=424$
(3) 将所求式$a+2b$变形为$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{2b})^2$，根据配方公式$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$得：
$a+2b=(\sqrt{a}-\sqrt{2b})^2+2· \sqrt{a}· \sqrt{2b}$
其中$2· \sqrt{a}· \sqrt{2b}=2\sqrt{2}· \sqrt{ab}$，将$\sqrt{a}-\sqrt{2b}=3、\sqrt{ab}=2$代入得：
原式$=3^2+2\sqrt{2}×2=9+4\sqrt{2}$
【答案】
(1) 23；(2) 424；(3) $9+4\sqrt{2}$
【知识点】
配方法应用，分母有理化，二次根式运算
【点评】
本题核心是利用配方法实现代数式的变形，结合整体代入思想简化计算，解题时优先观察已知条件和所求式子的结构关联，避免直接求解未知数带来的复杂运算，能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.6
本题考查配方法在代数式求值中的应用，解题思路如下：
(1) 所求式$x^2+\frac{1}{x^2}$符合配方公式$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$的结构，将$a=x、b=\frac{1}{x}$代入，结合已知$x+\frac{1}{x}=5$即可整体计算，无需单独求x的值。
(2) 观察x、y的结构，二者互为倒数，先通过分母有理化计算$x+y$和$xy$的值，再将所求式$3x^2 - 2xy + 3y^2$变形为含$x+y$、$xy$的形式，整体代入简化计算，避免直接代入x、y的复杂值运算。
(3) 所求式$a+2b$可变形为$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{2b})^2$，对应配方公式$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，结合已知$\sqrt{a}-\sqrt{2b}=3$和$\sqrt{ab}=2$代入计算即可。
【解析】
(1) 根据配方公式$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入$a=x、b=\frac{1}{x}$得：
$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2· x· \frac{1}{x}$
将$x+\frac{1}{x}=5$，$x· \frac{1}{x}=1$代入得：
原式$=5^2-2×1=25-2=23$
(2) 先计算$xy$和$x+y$的值：
$xy=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=1$
对x、y分母有理化：
$x=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}=\frac{7+2\sqrt{35}+5}{7-5}=\frac{12+2\sqrt{35}}{2}=6+\sqrt{35}$
$y=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}=\frac{7-2\sqrt{35}+5}{7-5}=\frac{12-2\sqrt{35}}{2}=6-\sqrt{35}$
则$x+y=(6+\sqrt{35})+(6-\sqrt{35})=12$
将所求式变形：
$3x^2-2xy+3y^2=3(x^2+y^2)-2xy=3[(x+y)^2-2xy]-2xy=3(x+y)^2-8xy$
代入$x+y=12、xy=1$得：
原式$=3×12^2-8×1=3×144-8=432-8=424$
(3) 将所求式$a+2b$变形为$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{2b})^2$，根据配方公式$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$得：
$a+2b=(\sqrt{a}-\sqrt{2b})^2+2· \sqrt{a}· \sqrt{2b}$
其中$2· \sqrt{a}· \sqrt{2b}=2\sqrt{2}· \sqrt{ab}$，将$\sqrt{a}-\sqrt{2b}=3、\sqrt{ab}=2$代入得：
原式$=3^2+2\sqrt{2}×2=9+4\sqrt{2}$
【答案】
(1) 23；(2) 424；(3) $9+4\sqrt{2}$
【知识点】
配方法应用，分母有理化，二次根式运算
【点评】
本题核心是利用配方法实现代数式的变形，结合整体代入思想简化计算，解题时优先观察已知条件和所求式子的结构关联，避免直接求解未知数带来的复杂运算，能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.6
1. 计算：$\sqrt{27} - \sqrt{3} + \sqrt{2 × 6} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道二次根式的加减混合运算题，解题思路分为三步：第一步，先将算式中每个非最简的二次根式化简为最简二次根式，化简时利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，把被开方数里能开得尽方的因数提取出来；第二步，识别同类二次根式，即被开方数相同的最简二次根式；第三步，合并同类二次根式，将同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变即可得到结果。
【解析】
解：先化简各二次根式：
1. 化简$\sqrt{27}$：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$；
2. 化简$\sqrt{2×6}$：先计算被开方数的乘积得$\sqrt{12}$，再化简为$\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
将化简后的结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{3}-\sqrt{3}+2\sqrt{3}\\&=(3-1+2)\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，考查二次根式化简与合并的基本技能，解题的关键是先把所有二次根式化为最简形式再合并，计算时要注意系数加减的准确性，避免化简环节出错。
【难度系数】
0.8
这是一道二次根式的加减混合运算题，解题思路分为三步：第一步，先将算式中每个非最简的二次根式化简为最简二次根式，化简时利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，把被开方数里能开得尽方的因数提取出来；第二步，识别同类二次根式，即被开方数相同的最简二次根式；第三步，合并同类二次根式，将同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变即可得到结果。
【解析】
解：先化简各二次根式：
1. 化简$\sqrt{27}$：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$；
2. 化简$\sqrt{2×6}$：先计算被开方数的乘积得$\sqrt{12}$，再化简为$\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
将化简后的结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{3}-\sqrt{3}+2\sqrt{3}\\&=(3-1+2)\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，考查二次根式化简与合并的基本技能，解题的关键是先把所有二次根式化为最简形式再合并，计算时要注意系数加减的准确性，避免化简环节出错。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$\sqrt{2-\dfrac{1}{25}}=\underline{\hspace{5cm}},\sqrt{0.0001}=\underline{\hspace{5cm}}.$
答案
$\dfrac{7}{5}$；$0.01$
解析
【分析】
本题考查算术平方根的计算，解题思路分为两步：①计算第一个根式时，先化简被开方数：先将整数2转化为分母为25的分数，计算出根号内的减法结果，再根据算术平方根的定义，对化简后的被开方数开方，取非负的平方根即可；②计算第二个根式时，直接根据算术平方根的定义，找到平方后等于0.0001的非负数，即为所求结果。
【解析】
1. 计算$\sqrt{2-\dfrac{1}{25}}$：
先计算被开方数：$2-\dfrac{1}{25}=\dfrac{50}{25}-\dfrac{1}{25}=\dfrac{49}{25}$
再开算术平方根：$\sqrt{\dfrac{49}{25}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}}=\dfrac{7}{5}$
2. 计算$\sqrt{0.0001}$：
因为$0.01^2=0.0001$，根据算术平方根的定义，非负的平方根即为算术平方根，所以$\sqrt{0.0001}=0.01$
【答案】
$\dfrac{7}{5}$；$0.01$
【知识点】
算术平方根的计算；分数的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握算术平方根的非负性，计算时注意先化简被开方数再开方，能够有效降低出错概率。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平方根的计算，解题思路分为两步：①计算第一个根式时，先化简被开方数：先将整数2转化为分母为25的分数，计算出根号内的减法结果，再根据算术平方根的定义，对化简后的被开方数开方，取非负的平方根即可；②计算第二个根式时，直接根据算术平方根的定义，找到平方后等于0.0001的非负数，即为所求结果。
【解析】
1. 计算$\sqrt{2-\dfrac{1}{25}}$：
先计算被开方数：$2-\dfrac{1}{25}=\dfrac{50}{25}-\dfrac{1}{25}=\dfrac{49}{25}$
再开算术平方根：$\sqrt{\dfrac{49}{25}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}}=\dfrac{7}{5}$
2. 计算$\sqrt{0.0001}$：
因为$0.01^2=0.0001$，根据算术平方根的定义，非负的平方根即为算术平方根，所以$\sqrt{0.0001}=0.01$
【答案】
$\dfrac{7}{5}$；$0.01$
【知识点】
算术平方根的计算；分数的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握算术平方根的非负性，计算时注意先化简被开方数再开方，能够有效降低出错概率。
【难度系数】
0.9
3. 若正三角形的边长为 $ a $，则这个正三角形的面积是 $\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$
解析
【分析】
要求正三角形的面积，可结合三角形通用面积公式“面积=$\frac{1}{2}$×底×高”求解。已知正三角形边长为$a$，可将$a$作为底，只需算出对应边上的高即可。根据正三角形三线合一的性质，作出高后可得到两个直角三角形，结合勾股定理就能求出高的长度，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：作正三角形$ABC$的高$AD⊥ BC$于点$D$。
$\because △ ABC$是正三角形，$AD$是高
$\therefore D$为$BC$的中点，即$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
代入三角形面积公式，可得正三角形的面积为：
$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}× a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$
【知识点】
正三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用正三角形三线合一的特性构造直角三角形，结合勾股定理求高，最终推导得出面积，该正三角形面积公式属于常用结论，可直接记忆使用。
【难度系数】
0.8
要求正三角形的面积，可结合三角形通用面积公式“面积=$\frac{1}{2}$×底×高”求解。已知正三角形边长为$a$，可将$a$作为底，只需算出对应边上的高即可。根据正三角形三线合一的性质，作出高后可得到两个直角三角形，结合勾股定理就能求出高的长度，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：作正三角形$ABC$的高$AD⊥ BC$于点$D$。
$\because △ ABC$是正三角形，$AD$是高
$\therefore D$为$BC$的中点，即$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
代入三角形面积公式，可得正三角形的面积为：
$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}× a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$
【知识点】
正三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用正三角形三线合一的特性构造直角三角形，结合勾股定理求高，最终推导得出面积，该正三角形面积公式属于常用结论，可直接记忆使用。
【难度系数】
0.8
4. 已知$ x = \sqrt{2} + 1 $，则代数式$ x^2 - 2x + 1 $的值为________。
答案
$2$
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现$x^2-2x+1$符合完全平方差公式的形式，所以可以先利用公式将代数式因式分解为$(x-1)^2$，再代入$x$的数值计算，这样比直接代入$x$计算$x^2$更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：首先利用完全平方公式对代数式变形：
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
将$x = \sqrt{2} + 1$代入上式得：
原式$= (\sqrt{2} + 1 - 1)^2$
$= (\sqrt{2})^2$
$= 2$
【答案】
$2$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的关键是先观察代数式特征，利用因式分解简化运算，这是代数式求值类题型的常用技巧，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的结构，发现$x^2-2x+1$符合完全平方差公式的形式，所以可以先利用公式将代数式因式分解为$(x-1)^2$，再代入$x$的数值计算，这样比直接代入$x$计算$x^2$更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：首先利用完全平方公式对代数式变形：
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
将$x = \sqrt{2} + 1$代入上式得：
原式$= (\sqrt{2} + 1 - 1)^2$
$= (\sqrt{2})^2$
$= 2$
【答案】
$2$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的关键是先观察代数式特征，利用因式分解简化运算，这是代数式求值类题型的常用技巧，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
5. 若两个代数式$ M $与$ N $满足$ M · N = -1 $，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则$\sqrt{3} - \sqrt{5}$的“互为友好因式”是________.
答案
$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
首先读懂“互为友好因式”的定义：若两个代数式的乘积为-1，则这两个代数式互为友好因式。要求$\sqrt{3}-\sqrt{5}$的友好因式，可先设该因式为$x$，根据定义列等式$(\sqrt{3}-\sqrt{5})· x=-1$，变形得$x=\frac{-1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$，接下来只需对这个二次根式分式进行分母有理化即可，利用平方差公式给分子分母同时乘分母的有理化因式$\sqrt{3}+\sqrt{5}$，化简后就能得到结果。
【解析】
设$\sqrt{3}-\sqrt{5}$的“互为友好因式”为$x$，根据题意得：
$(\sqrt{3}-\sqrt{5})· x=-1$
解得：
$x=\frac{-1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$
对上述式子分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{3}+\sqrt{5}$：
$\begin{aligned}x&=\frac{-1×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})}\\&=\frac{-(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}\\&=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3-5}\\&=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2}\\&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
新定义运算、分母有理化、平方差公式
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的规则，将陌生问题转化为已学的二次根式运算问题，熟练掌握利用平方差公式进行分母有理化是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先读懂“互为友好因式”的定义：若两个代数式的乘积为-1，则这两个代数式互为友好因式。要求$\sqrt{3}-\sqrt{5}$的友好因式，可先设该因式为$x$，根据定义列等式$(\sqrt{3}-\sqrt{5})· x=-1$，变形得$x=\frac{-1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$，接下来只需对这个二次根式分式进行分母有理化即可，利用平方差公式给分子分母同时乘分母的有理化因式$\sqrt{3}+\sqrt{5}$，化简后就能得到结果。
【解析】
设$\sqrt{3}-\sqrt{5}$的“互为友好因式”为$x$，根据题意得：
$(\sqrt{3}-\sqrt{5})· x=-1$
解得：
$x=\frac{-1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$
对上述式子分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{3}+\sqrt{5}$：
$\begin{aligned}x&=\frac{-1×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})}\\&=\frac{-(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}\\&=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3-5}\\&=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2}\\&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
新定义运算、分母有理化、平方差公式
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的规则，将陌生问题转化为已学的二次根式运算问题，熟练掌握利用平方差公式进行分母有理化是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 比较大小：$\sqrt{3.5}$ ______ $\dfrac{7}{4}$（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
$＞$
解析
【分析】
要比较两个正数的大小，若其中一个数含有二次根式，可采用平方法解题：对于两个正数a、b，a²和b²的大小关系与a和b的大小关系一致，即若a²＞b²则a＞b，若a²＜b²则a＜b。因此我们只需分别计算两个数的平方，比较平方结果的大小，就能推出原数的大小关系。
【解析】
∵ $\sqrt{3.5}$和$\frac{7}{4}$都是正数，符合平方法比较大小的前提
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{3.5})^2=3.5$
$(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}=3.0625$
∵ $3.5＞3.0625$
∴ $\sqrt{3.5}＞\frac{7}{4}$
【答案】
$＞$
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，平方法是解决带二次根式的正数大小比较问题的常用技巧，熟练掌握该方法可提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
要比较两个正数的大小，若其中一个数含有二次根式，可采用平方法解题：对于两个正数a、b，a²和b²的大小关系与a和b的大小关系一致，即若a²＞b²则a＞b，若a²＜b²则a＜b。因此我们只需分别计算两个数的平方，比较平方结果的大小，就能推出原数的大小关系。
【解析】
∵ $\sqrt{3.5}$和$\frac{7}{4}$都是正数，符合平方法比较大小的前提
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{3.5})^2=3.5$
$(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}=3.0625$
∵ $3.5＞3.0625$
∴ $\sqrt{3.5}＞\frac{7}{4}$
【答案】
$＞$
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，平方法是解决带二次根式的正数大小比较问题的常用技巧，熟练掌握该方法可提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
7. 若$\sqrt{m-3}$有意义，则$m$能取的最小整数值是________.
答案
$3$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数。我们先根据这个条件列出关于m的不等式，解出m的取值范围后，再在取值范围内找到最小的整数即可。
【解析】
∵ 二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是被开方数$a≥0$
∴ 对于$\sqrt{m-3}$，有$m-3≥0$
解不等式得：$m≥3$
在$m≥3$的所有取值中，最小的整数是3。
【答案】
$3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，主要考查二次根式的基本性质，只要掌握二次根式被开方数非负的要求，就能顺利求解，得分率较高。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数。我们先根据这个条件列出关于m的不等式，解出m的取值范围后，再在取值范围内找到最小的整数即可。
【解析】
∵ 二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是被开方数$a≥0$
∴ 对于$\sqrt{m-3}$，有$m-3≥0$
解不等式得：$m≥3$
在$m≥3$的所有取值中，最小的整数是3。
【答案】
$3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，主要考查二次根式的基本性质，只要掌握二次根式被开方数非负的要求，就能顺利求解，得分率较高。
【难度系数】
0.9
8. 对于任意两个正数 $ x $ 和 $ y $，规定 $ x☆y=\begin{cases}\sqrt{x} - y (\sqrt{x} ≥ y), \\y - \sqrt{x} (\sqrt{x} ＜ y),\end{cases}$ 例如，$ 4☆1=\sqrt{4} - 1=1 $。请计算 $ (5☆2)-(5☆3)= $ ______ 。
答案
$2\sqrt{5}-5$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题首先要准确理解“☆”的运算规则：运算$x☆y$的结果由$\sqrt{x}$和$y$的大小关系决定，若$\sqrt{x}≥y$，结果为$\sqrt{x}-y$；若$\sqrt{x}＜y$，结果为$y-\sqrt{x}$。我们需要先分别计算$5☆2$和$5☆3$的取值，再将两个结果相减，计算时注意先比较$\sqrt{5}$和第二个数的大小，再选对应公式，做减法时牢记去括号的符号规则。
【解析】
1. 计算$5☆2$的值：
先比较$\sqrt{5}$和$2$的大小，$\sqrt{5}\approx2.236＞2$，符合$\sqrt{x}≥y$的情况，因此：
$5☆2=\sqrt{5}-2$
2. 计算$5☆3$的值：
比较$\sqrt{5}$和$3$的大小，$\sqrt{5}\approx2.236＜3$，符合$\sqrt{x}＜y$的情况，因此：
$5☆3=3-\sqrt{5}$
3. 计算两个结果的差：
$\begin{aligned}(5☆2)-(5☆3)&=(\sqrt{5}-2)-(3-\sqrt{5})\\&=\sqrt{5}-2-3+\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}-5\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{5}-5$
【知识点】
新定义运算、二次根式加减、实数大小比较
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解能力，解题关键是先按规则分别求出两个新运算的结果，再进行二次根式的加减运算，计算时需注意去括号的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算类题目，解题首先要准确理解“☆”的运算规则：运算$x☆y$的结果由$\sqrt{x}$和$y$的大小关系决定，若$\sqrt{x}≥y$，结果为$\sqrt{x}-y$；若$\sqrt{x}＜y$，结果为$y-\sqrt{x}$。我们需要先分别计算$5☆2$和$5☆3$的取值，再将两个结果相减，计算时注意先比较$\sqrt{5}$和第二个数的大小，再选对应公式，做减法时牢记去括号的符号规则。
【解析】
1. 计算$5☆2$的值：
先比较$\sqrt{5}$和$2$的大小，$\sqrt{5}\approx2.236＞2$，符合$\sqrt{x}≥y$的情况，因此：
$5☆2=\sqrt{5}-2$
2. 计算$5☆3$的值：
比较$\sqrt{5}$和$3$的大小，$\sqrt{5}\approx2.236＜3$，符合$\sqrt{x}＜y$的情况，因此：
$5☆3=3-\sqrt{5}$
3. 计算两个结果的差：
$\begin{aligned}(5☆2)-(5☆3)&=(\sqrt{5}-2)-(3-\sqrt{5})\\&=\sqrt{5}-2-3+\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}-5\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{5}-5$
【知识点】
新定义运算、二次根式加减、实数大小比较
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解能力，解题关键是先按规则分别求出两个新运算的结果，再进行二次根式的加减运算，计算时需注意去括号的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
9. 观察下列各式：$2×\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$，$3×\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$，$4×\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4+\frac{4}{15}}$，…，则依次第四个式子是________；
用$n(n≥2)$的等式表达你所观察得到的规律：______。
用$n(n≥2)$的等式表达你所观察得到的规律：______。
答案
$5 × \sqrt{\dfrac{5}{24}} = \sqrt{5+\dfrac{5}{24}}$；$n×\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$
解析
【分析】
我们可以将已知等式拆分为左边、右边两部分，分别寻找各部分的变化规律：
1. 观察左边的整数因子：第1个式子对应整数2，第2个对应3，第3个对应4，规律为第k个式子的整数因子是$k+1$，因此第4个式子的整数因子是5；
2. 观察左边根号内的分数：分子和前面的整数因子完全相同，分母为对应整数的平方减1（$2$对应分母$3=2^2-1$，$3$对应分母$8=3^2-1$，$4$对应分母$15=4^2-1$）；
3. 观察右边的结构：均为根号下「左边的整数 + 左边根号内的分数」。
按照以上规律即可写出第四个式子，再推广到$n(n≥2)$的一般形式即可。
【解析】
1. 推导第四个式子：
根据规律，第四个式子的整数为5，根号内分数的分子为5，分母为$5^2-1=24$，因此左边为$5×\sqrt{\frac{5}{24}}$，右边为$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$，即第四个式子为$5 × \sqrt{\dfrac{5}{24}} = \sqrt{5+\dfrac{5}{24}}$。
2. 推导含$n$的一般规律：
对于$n(n≥2)$，左边整数为$n$，根号内分数分子为$n$，分母为$n^2-1$，即左边为$n×\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$；右边为根号下$n$加该分数，即$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$，因此规律为$n×\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}\ (n≥2)$。
【答案】
$5 × \sqrt{\dfrac{5}{24}} = \sqrt{5+\dfrac{5}{24}}$；$n×\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$
【知识点】
数字规律探究，二次根式的性质，代数式表示规律
【点评】
本题重点考查归纳推理能力，需要分别分析等式左右各部分的变化特征，解题的核心是找准根号内分母与整数$n$的数量关系，日常可以多练习规律探究类题目提升观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
我们可以将已知等式拆分为左边、右边两部分，分别寻找各部分的变化规律：
1. 观察左边的整数因子：第1个式子对应整数2，第2个对应3，第3个对应4，规律为第k个式子的整数因子是$k+1$，因此第4个式子的整数因子是5；
2. 观察左边根号内的分数：分子和前面的整数因子完全相同，分母为对应整数的平方减1（$2$对应分母$3=2^2-1$，$3$对应分母$8=3^2-1$，$4$对应分母$15=4^2-1$）；
3. 观察右边的结构：均为根号下「左边的整数 + 左边根号内的分数」。
按照以上规律即可写出第四个式子，再推广到$n(n≥2)$的一般形式即可。
【解析】
1. 推导第四个式子：
根据规律，第四个式子的整数为5，根号内分数的分子为5，分母为$5^2-1=24$，因此左边为$5×\sqrt{\frac{5}{24}}$，右边为$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$，即第四个式子为$5 × \sqrt{\dfrac{5}{24}} = \sqrt{5+\dfrac{5}{24}}$。
2. 推导含$n$的一般规律：
对于$n(n≥2)$，左边整数为$n$，根号内分数分子为$n$，分母为$n^2-1$，即左边为$n×\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$；右边为根号下$n$加该分数，即$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$，因此规律为$n×\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}\ (n≥2)$。
【答案】
$5 × \sqrt{\dfrac{5}{24}} = \sqrt{5+\dfrac{5}{24}}$；$n×\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$
【知识点】
数字规律探究，二次根式的性质，代数式表示规律
【点评】
本题重点考查归纳推理能力，需要分别分析等式左右各部分的变化特征，解题的核心是找准根号内分母与整数$n$的数量关系，日常可以多练习规律探究类题目提升观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
