登录
1. 等式$\sqrt{x+1} · \sqrt{x-1} = \sqrt{x^2 - 1}$成立的条件是 （
A.$x≥ 1$
B.$-1≤ x≤ 1$
C.$x≤ -1$
D.$x≤ -1$或$x≥ 1$
A
）A.$x≥ 1$
B.$-1≤ x≤ 1$
C.$x≤ -1$
D.$x≤ -1$或$x≥ 1$
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合二次根式有意义的条件和二次根式的乘法法则来思考。首先，二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，其次二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的条件是$a≥0$且$b≥0$，不能只考虑等式右侧的被开方数有意义，必须同时保证左侧的两个二次根式都有意义，最后求解不等式组取公共解集即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件及二次根式乘法法则的适用要求，等式成立需要同时满足左侧两个二次根式有意义：
1. 对于$\sqrt{x+1}$，被开方数非负，即$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 对于$\sqrt{x-1}$，被开方数非负，即$x-1≥0$，解得$x≥1$；
取两个解集的公共部分，得$x≥1$。
此时验证右侧$\sqrt{x^2-1}$，当$x≥1$时，$x^2-1≥0$，满足二次根式有意义的条件，因此等式成立的条件是$x≥1$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题的易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，解得$x≤-1$或$x≥1$从而错选D，解题时要注意二次根式乘法运算的前提是参与运算的每个二次根式都有意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要结合二次根式有意义的条件和二次根式的乘法法则来思考。首先，二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，其次二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的条件是$a≥0$且$b≥0$，不能只考虑等式右侧的被开方数有意义，必须同时保证左侧的两个二次根式都有意义，最后求解不等式组取公共解集即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件及二次根式乘法法则的适用要求，等式成立需要同时满足左侧两个二次根式有意义：
1. 对于$\sqrt{x+1}$，被开方数非负，即$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 对于$\sqrt{x-1}$，被开方数非负，即$x-1≥0$，解得$x≥1$；
取两个解集的公共部分，得$x≥1$。
此时验证右侧$\sqrt{x^2-1}$，当$x≥1$时，$x^2-1≥0$，满足二次根式有意义的条件，因此等式成立的条件是$x≥1$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题的易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，解得$x≤-1$或$x≥1$从而错选D，解题时要注意二次根式乘法运算的前提是参与运算的每个二次根式都有意义。
【难度系数】
0.7
2. 若$mn＞0,m+n＜0$,则化简$\sqrt{mn}÷\sqrt{\dfrac{n}{m}}=$ （
A.$m$
B.$-m$
C.$n$
D.$-n$
B
）A.$m$
B.$-m$
C.$n$
D.$-n$
答案
B
解析
【分析】
首先根据已知条件判断m、n的正负性：$mn＞0$说明m和n同号，再结合$m+n＜0$，可得出m、n均为负数。接下来利用二次根式的除法法则将原式转化为单个二次根式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合m为负数的结论去掉绝对值，即可得到化简结果。
【解析】
解：第一步：判断m、n的符号
$\because mn＞0$，$\therefore$ m、n同号，
又$\because m+n＜0$，$\therefore m＜0，n＜0$。
第二步：化简二次根式
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} \ (a≥0,b＞0)$，可得：
原式$=\sqrt{mn÷\dfrac{n}{m}}=\sqrt{mn×\dfrac{m}{n}}=\sqrt{m^2}$
第三步：去根号
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，
$\because m＜0$，$\therefore \sqrt{m^2}=|m|=-m$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的除法法则
2. 二次根式的性质
3. 有理数符号判断
【点评】
本题考查二次根式的化简运算，解题的关键是先根据已知条件确定字母的正负性，再结合二次根式的非负性进行化简，要特别注意开平方后结果的符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件判断m、n的正负性：$mn＞0$说明m和n同号，再结合$m+n＜0$，可得出m、n均为负数。接下来利用二次根式的除法法则将原式转化为单个二次根式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合m为负数的结论去掉绝对值，即可得到化简结果。
【解析】
解：第一步：判断m、n的符号
$\because mn＞0$，$\therefore$ m、n同号，
又$\because m+n＜0$，$\therefore m＜0，n＜0$。
第二步：化简二次根式
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} \ (a≥0,b＞0)$，可得：
原式$=\sqrt{mn÷\dfrac{n}{m}}=\sqrt{mn×\dfrac{m}{n}}=\sqrt{m^2}$
第三步：去根号
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，
$\because m＜0$，$\therefore \sqrt{m^2}=|m|=-m$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的除法法则
2. 二次根式的性质
3. 有理数符号判断
【点评】
本题考查二次根式的化简运算，解题的关键是先根据已知条件确定字母的正负性，再结合二次根式的非负性进行化简，要特别注意开平方后结果的符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图,甲、乙、丙三人手中各有一张纸质卡片,卡片的正面分别写有一个算式,则这三张卡片中,算式的计算结果是有理数的有
（
甲：$\boxed{(2-\sqrt{3})^2}$
乙：$\boxed{\sqrt{2}(\sqrt{$
$}-\sqrt{8})}$
丙：$\boxed{\sqrt{24} ÷ \sqrt{(-3)^2}}$
A.0张
B.1张
C.2张
D.3张
（
B
）甲：$\boxed{(2-\sqrt{3})^2}$
乙：$\boxed{\sqrt{2}(\sqrt{$
$}-\sqrt{8})}$丙：$\boxed{\sqrt{24} ÷ \sqrt{(-3)^2}}$
A.0张
B.1张
C.2张
D.3张
答案
B
解析
【分析】
要判断三张卡片的算式结果是否为有理数，需先分别计算三个算式的结果，再结合有理数（整数和分数统称有理数，不含无限不循环的无理数）的定义判断即可。计算时，甲用完全平方公式展开，乙用乘法分配律结合二次根式乘法法则计算，丙先化简根号内的部分，再按二次根式除法法则计算。
【解析】
分别计算三张卡片的算式结果：
1. 计算甲的算式：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得
$(2-\sqrt{3})^2=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=4 - 4\sqrt{3} + 3=7-4\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$是无理数，故$7-4\sqrt{3}$是无理数。
2. 计算乙的算式：
根据乘法分配律和二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得
$\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{8})=\sqrt{2}×\sqrt{2} - \sqrt{2}×\sqrt{8}=2 - \sqrt{16}=2-4=-2$
$-2$是整数，属于有理数。
3. 计算丙的算式：
先化简根号内的部分：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，再计算除法：
$\sqrt{24}÷\sqrt{(-3)^2}=2\sqrt{6}÷3=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
$\sqrt{6}$是无理数，故$\frac{2\sqrt{6}}{3}$是无理数。
综上，只有乙的算式结果是有理数，共1张。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式，有理数的定义
【点评】
本题考查二次根式的混合运算及有理数的判定，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算法则，准确计算各算式的结果，再结合有理数的定义判断，计算时需注意先将二次根式化为最简形式，再进行运算。
【难度系数】
0.7
要判断三张卡片的算式结果是否为有理数，需先分别计算三个算式的结果，再结合有理数（整数和分数统称有理数，不含无限不循环的无理数）的定义判断即可。计算时，甲用完全平方公式展开，乙用乘法分配律结合二次根式乘法法则计算，丙先化简根号内的部分，再按二次根式除法法则计算。
【解析】
分别计算三张卡片的算式结果：
1. 计算甲的算式：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得
$(2-\sqrt{3})^2=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=4 - 4\sqrt{3} + 3=7-4\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$是无理数，故$7-4\sqrt{3}$是无理数。
2. 计算乙的算式：
根据乘法分配律和二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得
$\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{8})=\sqrt{2}×\sqrt{2} - \sqrt{2}×\sqrt{8}=2 - \sqrt{16}=2-4=-2$
$-2$是整数，属于有理数。
3. 计算丙的算式：
先化简根号内的部分：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，再计算除法：
$\sqrt{24}÷\sqrt{(-3)^2}=2\sqrt{6}÷3=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
$\sqrt{6}$是无理数，故$\frac{2\sqrt{6}}{3}$是无理数。
综上，只有乙的算式结果是有理数，共1张。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式，有理数的定义
【点评】
本题考查二次根式的混合运算及有理数的判定，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算法则，准确计算各算式的结果，再结合有理数的定义判断，计算时需注意先将二次根式化为最简形式，再进行运算。
【难度系数】
0.7
4. 已知 $ k = \sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) · (\sqrt{5} - \sqrt{3}) $，则与 $ k $ 最接近的整数为 （
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
【分析】
解题时先观察算式结构，发现$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$符合平方差公式的形式，因此优先用平方差公式计算这部分乘积简化运算，再和前面的$\sqrt{2}$相乘得到k的最简形式，最后通过估算$\sqrt{2}$的近似值，即可找到和k最接近的整数。
【解析】
解：首先利用平方差公式计算$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{3}$，可得：
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$
将结果代入k的表达式：
$k=\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$
已知$\sqrt{2}≈1.414$，因此$2\sqrt{2}≈2×1.414=2.828$，和2.828最接近的整数是3。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、二次根式运算、无理数估算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是利用平方差公式简化二次根式的计算，避免直接展开计算带来的麻烦，再结合常见无理数的近似值即可快速得到结果，考查学生对基础公式的运用能力和估算能力。
【难度系数】
0.8
解题时先观察算式结构，发现$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$符合平方差公式的形式，因此优先用平方差公式计算这部分乘积简化运算，再和前面的$\sqrt{2}$相乘得到k的最简形式，最后通过估算$\sqrt{2}$的近似值，即可找到和k最接近的整数。
【解析】
解：首先利用平方差公式计算$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{3}$，可得：
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$
将结果代入k的表达式：
$k=\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$
已知$\sqrt{2}≈1.414$，因此$2\sqrt{2}≈2×1.414=2.828$，和2.828最接近的整数是3。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、二次根式运算、无理数估算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是利用平方差公式简化二次根式的计算，避免直接展开计算带来的麻烦，再结合常见无理数的近似值即可快速得到结果，考查学生对基础公式的运用能力和估算能力。
【难度系数】
0.8
5. 能说明命题“如果 $ a $ 是任意实数，那么 $ \sqrt{a^2} = a $”是假命题的反例是 （
A.$ a = -1 $
B.$ a = 0 $
C.$ a = \sqrt{2} $
D.$ a = 2 $
A
）A.$ a = -1 $
B.$ a = 0 $
C.$ a = \sqrt{2} $
D.$ a = 2 $
答案
A
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，需要举出反例，反例需要满足命题的条件（本题中为a是实数），但不满足命题的结论（本题中为$\sqrt{a^2}=a$）。结合二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，当$a≥0$时$|a|=a$，当$a＜0$时$|a|=-a≠ a$，因此只需找选项中为负数的a值，即可得到符合要求的反例。
【解析】
反例需满足：a是实数，且$\sqrt{a^2}≠ a$，逐一分析选项：
A选项：当$a=-1$时，左边$\sqrt{a^2}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$，右边$a=-1$，$1≠-1$，即$\sqrt{a^2}≠ a$，符合反例要求；
B选项：当$a=0$时，左边$\sqrt{0^2}=0$，右边$a=0$，$\sqrt{a^2}=a$成立，不是反例；
C选项：当$a=\sqrt{2}$时，$\sqrt{2}＞0$，左边$\sqrt{(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}$，右边$a=\sqrt{2}$，$\sqrt{a^2}=a$成立，不是反例；
D选项：当$a=2$时，$2＞0$，左边$\sqrt{2^2}=2$，右边$a=2$，$\sqrt{a^2}=a$成立，不是反例。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，真假命题判断
【点评】
本题考查二次根式的化简性质与假命题反例的选取，解题核心是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，明确反例需要符合命题条件但不符合结论，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
要说明一个命题是假命题，需要举出反例，反例需要满足命题的条件（本题中为a是实数），但不满足命题的结论（本题中为$\sqrt{a^2}=a$）。结合二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，当$a≥0$时$|a|=a$，当$a＜0$时$|a|=-a≠ a$，因此只需找选项中为负数的a值，即可得到符合要求的反例。
【解析】
反例需满足：a是实数，且$\sqrt{a^2}≠ a$，逐一分析选项：
A选项：当$a=-1$时，左边$\sqrt{a^2}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$，右边$a=-1$，$1≠-1$，即$\sqrt{a^2}≠ a$，符合反例要求；
B选项：当$a=0$时，左边$\sqrt{0^2}=0$，右边$a=0$，$\sqrt{a^2}=a$成立，不是反例；
C选项：当$a=\sqrt{2}$时，$\sqrt{2}＞0$，左边$\sqrt{(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}$，右边$a=\sqrt{2}$，$\sqrt{a^2}=a$成立，不是反例；
D选项：当$a=2$时，$2＞0$，左边$\sqrt{2^2}=2$，右边$a=2$，$\sqrt{a^2}=a$成立，不是反例。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，真假命题判断
【点评】
本题考查二次根式的化简性质与假命题反例的选取，解题核心是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，明确反例需要符合命题条件但不符合结论，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
6. 若$7＜m＜9$，则化简$\sqrt{(5-m)^2}+\sqrt{(m-10)^2}$的结果是(
A.$15-2m$
B.$2m-15$
C.$5$
D.$-5$
C
)A.$15-2m$
B.$2m-15$
C.$5$
D.$-5$
答案
C
解析
【分析】
要化简该含二次根式的式子，首先需利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为两个绝对值相加的形式。接下来去绝对值的关键是判断绝对值内代数式的正负，结合题目给出的$7＜m＜9$的取值范围，分别判断$5-m$和$m-10$的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|5-m|+|m-10|$
$\because7＜m＜9$
$\therefore5-m＜5-7=-2＜0$，$m-10＜9-10=-1＜0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，得：
$|5-m|=m-5$，$|m-10|=10-m$
代入原式得：
原式$=(m-5)+(10-m)=m-5+10-m=5$
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简 3.不等式的应用
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题核心是熟练掌握二次根式与绝对值的对应关系，结合参数的取值范围准确判断绝对值内表达式的正负，进而正确去绝对值计算。
【难度系数】
0.8
要化简该含二次根式的式子，首先需利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为两个绝对值相加的形式。接下来去绝对值的关键是判断绝对值内代数式的正负，结合题目给出的$7＜m＜9$的取值范围，分别判断$5-m$和$m-10$的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|5-m|+|m-10|$
$\because7＜m＜9$
$\therefore5-m＜5-7=-2＜0$，$m-10＜9-10=-1＜0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，得：
$|5-m|=m-5$，$|m-10|=10-m$
代入原式得：
原式$=(m-5)+(10-m)=m-5+10-m=5$
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简 3.不等式的应用
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题核心是熟练掌握二次根式与绝对值的对应关系，结合参数的取值范围准确判断绝对值内表达式的正负，进而正确去绝对值计算。
【难度系数】
0.8
7. 使式子$\sqrt{-(x-5)^2}$有意义的未知数x有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
B
）A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须大于等于0。其次，我们已知任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$恒成立。解题时先根据二次根式的要求列出被开方数的不等式，再结合平方的非负性推导被开方数的取值范围，最终就能确定符合条件的x的个数。
【解析】
要使式子$\sqrt{-(x-5)^2}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$-(x-5)^2 ≥ 0$
根据平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$(x-5)^2 ≥ 0$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：
$-(x-5)^2 ≤ 0$
结合两个结论，$-(x-5)^2$需同时满足大于等于0和小于等于0，因此只能有：
$-(x-5)^2 = 0$
即$(x-5)^2 = 0$，解得$x=5$。
因此满足条件的未知数$x$只有1个。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.平方的非负性
【点评】
本题是二次根式与非负性结合的典型基础题，解题关键是掌握两类性质的综合应用，通过两个取值范围的叠加判断出被开方数只能为0，属于常考基础考点。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须大于等于0。其次，我们已知任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$恒成立。解题时先根据二次根式的要求列出被开方数的不等式，再结合平方的非负性推导被开方数的取值范围，最终就能确定符合条件的x的个数。
【解析】
要使式子$\sqrt{-(x-5)^2}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$-(x-5)^2 ≥ 0$
根据平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$(x-5)^2 ≥ 0$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：
$-(x-5)^2 ≤ 0$
结合两个结论，$-(x-5)^2$需同时满足大于等于0和小于等于0，因此只能有：
$-(x-5)^2 = 0$
即$(x-5)^2 = 0$，解得$x=5$。
因此满足条件的未知数$x$只有1个。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.平方的非负性
【点评】
本题是二次根式与非负性结合的典型基础题，解题关键是掌握两类性质的综合应用，通过两个取值范围的叠加判断出被开方数只能为0，属于常考基础考点。
【难度系数】
0.7
8. 如图,矩形内有两个相邻的白色正方形,其面积分别为2和18,则图中阴影部分的面积为
（
A.$2\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.4
D.6
（
C
）A.$2\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.4
D.6
答案
C
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，可采用“整体减部分”的思路：先算大矩形的总面积，再减去两个白色正方形的面积和。首先根据正方形面积与边长的关系，求出两个白色正方形的边长，再结合图形特征得到大矩形的长和宽，计算出大矩形面积后做差即可得到阴影面积。
【解析】
1. 求两个白色正方形的边长：
根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），可得：
面积为18的白色正方形边长$a_1=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
面积为2的白色正方形边长$a_2=\sqrt{2}$。
2. 确定大矩形的长和宽：
由图形可知，大矩形的长为两个正方形边长之和，即$3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$；
大矩形的宽等于大正方形的边长，即$3\sqrt{2}$。
3. 计算各部分面积：
大矩形面积$S_{\mathrm{矩形}}=4\sqrt{2} × 3\sqrt{2}=12×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=24$，
两个白色正方形的面积和$S_{\mathrm{白}}=2+18=20$。
4. 计算阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{矩形}}-S_{\mathrm{白}}=24-20=4$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简，正方形面积计算，矩形面积计算
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题核心是根据正方形面积求出对应边长，理清图形各边的数量关系，用整体减部分的思路求解，计算过程中注意遵循二次根式的运算规则即可。
【难度系数】
0.7
要计算阴影部分的面积，可采用“整体减部分”的思路：先算大矩形的总面积，再减去两个白色正方形的面积和。首先根据正方形面积与边长的关系，求出两个白色正方形的边长，再结合图形特征得到大矩形的长和宽，计算出大矩形面积后做差即可得到阴影面积。
【解析】
1. 求两个白色正方形的边长：
根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），可得：
面积为18的白色正方形边长$a_1=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
面积为2的白色正方形边长$a_2=\sqrt{2}$。
2. 确定大矩形的长和宽：
由图形可知，大矩形的长为两个正方形边长之和，即$3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$；
大矩形的宽等于大正方形的边长，即$3\sqrt{2}$。
3. 计算各部分面积：
大矩形面积$S_{\mathrm{矩形}}=4\sqrt{2} × 3\sqrt{2}=12×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=24$，
两个白色正方形的面积和$S_{\mathrm{白}}=2+18=20$。
4. 计算阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{矩形}}-S_{\mathrm{白}}=24-20=4$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简，正方形面积计算，矩形面积计算
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题核心是根据正方形面积求出对应边长，理清图形各边的数量关系，用整体减部分的思路求解，计算过程中注意遵循二次根式的运算规则即可。
【难度系数】
0.7
9. 若$ a=\sqrt{2},b=\sqrt{7} $，则$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=$（
A.2
B.4
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
A
）A.2
B.4
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时可先观察所求式子的结构，式子中含有$a^2$和$b^2$，我们可以先算出$a$、$b$的平方值，再直接代入所求式子计算，能简化根式运算步骤。先计算平方值后代入被开方数，最后求算术平方根即可得到结果。
【解析】
已知$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$，先计算平方得：
$a^2=(\sqrt{2})^2=2$，$b^2=(\sqrt{7})^2=7$
将$a^2$、$b^2$代入$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}$得：
$\sqrt{\dfrac{14×2}{7}}=\sqrt{\dfrac{28}{7}}=\sqrt{4}=2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简求值
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，既可以先化简所求代数式再代入数值计算，也可以先计算$a^2$、$b^2$的值直接代入，后者计算更快捷。解题时要注意二次根式的开方结果为非负数，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
解题时可先观察所求式子的结构，式子中含有$a^2$和$b^2$，我们可以先算出$a$、$b$的平方值，再直接代入所求式子计算，能简化根式运算步骤。先计算平方值后代入被开方数，最后求算术平方根即可得到结果。
【解析】
已知$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$，先计算平方得：
$a^2=(\sqrt{2})^2=2$，$b^2=(\sqrt{7})^2=7$
将$a^2$、$b^2$代入$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}$得：
$\sqrt{\dfrac{14×2}{7}}=\sqrt{\dfrac{28}{7}}=\sqrt{4}=2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简求值
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，既可以先化简所求代数式再代入数值计算，也可以先计算$a^2$、$b^2$的值直接代入，后者计算更快捷。解题时要注意二次根式的开方结果为非负数，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
10. 点$A(\sqrt{a^2+1},a^2+1)$在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第一象限或$y$轴的正半轴
D.第一象限或第二象限
A
）A.第一象限
B.第二象限
C.第一象限或$y$轴的正半轴
D.第一象限或第二象限
答案
A
解析
【分析】
要判断点所在的位置，首先需要明确平面直角坐标系中各象限、坐标轴上点的坐标符号特征，再结合平方的非负性、二次根式的性质分别判断点A横、纵坐标的正负，最后对应特征确定位置。思路步骤：1.回忆坐标符号规则：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、y轴正半轴横坐标为0；2.利用a²≥0推导a²+1的取值范围；3.分别判断横、纵坐标的正负，对应得出结论。
【解析】
解：
∵ 对任意实数a，都有$a^2 ≥ 0$
∴ $a^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$
由此可得：
点A的横坐标$\sqrt{a^2+1} ≥ \sqrt{1} = 1 ＞ 0$，
点A的纵坐标$a^2+1 ≥ 1 ＞ 0$。
根据象限坐标特征：横、纵坐标均为正数的点在第一象限，因此点A在第一象限。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征；平方的非负性；二次根式的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是借助非负数的性质确定点横纵坐标的符号，熟练掌握各象限点的坐标特点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断点所在的位置，首先需要明确平面直角坐标系中各象限、坐标轴上点的坐标符号特征，再结合平方的非负性、二次根式的性质分别判断点A横、纵坐标的正负，最后对应特征确定位置。思路步骤：1.回忆坐标符号规则：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、y轴正半轴横坐标为0；2.利用a²≥0推导a²+1的取值范围；3.分别判断横、纵坐标的正负，对应得出结论。
【解析】
解：
∵ 对任意实数a，都有$a^2 ≥ 0$
∴ $a^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$
由此可得：
点A的横坐标$\sqrt{a^2+1} ≥ \sqrt{1} = 1 ＞ 0$，
点A的纵坐标$a^2+1 ≥ 1 ＞ 0$。
根据象限坐标特征：横、纵坐标均为正数的点在第一象限，因此点A在第一象限。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征；平方的非负性；二次根式的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是借助非负数的性质确定点横纵坐标的符号，熟练掌握各象限点的坐标特点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
