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三、解答题。
1. 计算：
(1) $\sqrt{2} × \sqrt{3} - \sqrt{24}$；
(2) $12\sqrt{16a} ÷ (2\sqrt{ab}) × \frac{1}{6}\sqrt{4b} (a＞0,b＞0)$；
(3) $\sqrt{27} ÷ \frac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$；
(4) $(6\sqrt{\frac{x}{4}} - $
$\sqrt{\frac{1}{x}}) ÷ 3\sqrt{x}$；
(5) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 × (5 - 2\sqrt{6})$；
(6) $(\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{3} - \sqrt{2})$。
1. 计算：
(1) $\sqrt{2} × \sqrt{3} - \sqrt{24}$；
(2) $12\sqrt{16a} ÷ (2\sqrt{ab}) × \frac{1}{6}\sqrt{4b} (a＞0,b＞0)$；
(3) $\sqrt{27} ÷ \frac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$；
(4) $(6\sqrt{\frac{x}{4}} - $
$\sqrt{\frac{1}{x}}) ÷ 3\sqrt{x}$；(5) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 × (5 - 2\sqrt{6})$；
(6) $(\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{3} - \sqrt{2})$。
答案
(1) $-\sqrt{6}$
(2) $8$
(3) $6\sqrt{2}$
(4) $\dfrac{1}{3}$
(5) $1$
(6) $6-2\sqrt{15}$
(2) $8$
(3) $6\sqrt{2}$
(4) $\dfrac{1}{3}$
(5) $1$
(6) $6-2\sqrt{15}$
解析
【分析】
这组题目均为二次根式的混合运算，解题思路如下：①先明确二次根式有意义的条件，确保被开方数非负；②先将算式中的所有二次根式化为最简二次根式；③遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算；④计算过程中可灵活运用乘法公式（平方差公式、完全平方公式）简化运算，最后结果需化为最简形式。
【解析】
(1) 先计算二次根式乘法，再化简合并：
原式$=\sqrt{2×3}-\sqrt{4×6}=\sqrt{6}-2\sqrt{6}=-\sqrt{6}$
(2) 已知$a＞0,b＞0$，将系数与二次根式分开运算：
系数部分：$12÷2×\frac{1}{6}=1$
二次根式部分：$\sqrt{16a}÷\sqrt{ab}×\sqrt{4b}=\sqrt{\frac{16a}{ab}×4b}=\sqrt{64}=8$
原式$=1×8=8$
(3) 先化简根式，再按从左到右顺序计算乘除，最后算加减：
原式$=3\sqrt{3}×\frac{2}{\sqrt{3}}×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=6×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=12\sqrt{2}-6\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
(4) 隐含$x＞0$，先化简括号内的二次根式，再计算除法：
括号内化简：$6\sqrt{\frac{x}{4}}=6×\frac{\sqrt{x}}{2}=3\sqrt{x}$，$2x\sqrt{\frac{1}{x}}=2x×\frac{\sqrt{x}}{x}=2\sqrt{x}$
原式$=(3\sqrt{x}-2\sqrt{x})÷3\sqrt{x}=\sqrt{x}÷3\sqrt{x}=\frac{1}{3}$
(5) 先利用完全平方公式计算乘方，再用平方差公式计算乘法：
原式$=(3+2\sqrt{6}+2)×(5-2\sqrt{6})=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})=5^2-(2\sqrt{6})^2=25-24=1$
(6) 将$\sqrt{5}-\sqrt{3}$看作整体，先用平方差公式计算，再展开完全平方：
原式$=[(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\sqrt{2}][(\sqrt{5}-\sqrt{3})-\sqrt{2}]=(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2$
$=(5-2\sqrt{15}+3)-2=8-2\sqrt{15}-2=6-2\sqrt{15}$
【答案】
(1) $\boxed{-\sqrt{6}}$；(2) $\boxed{8}$；(3) $\boxed{6\sqrt{2}}$；(4) $\boxed{\dfrac{1}{3}}$；(5) $\boxed{1}$；(6) $\boxed{6-2\sqrt{15}}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考查二次根式的运算法则、运算顺序的掌握，以及灵活运用乘法公式简化运算的能力，解题时注意先化简再计算，可有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.7
这组题目均为二次根式的混合运算，解题思路如下：①先明确二次根式有意义的条件，确保被开方数非负；②先将算式中的所有二次根式化为最简二次根式；③遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算；④计算过程中可灵活运用乘法公式（平方差公式、完全平方公式）简化运算，最后结果需化为最简形式。
【解析】
(1) 先计算二次根式乘法，再化简合并：
原式$=\sqrt{2×3}-\sqrt{4×6}=\sqrt{6}-2\sqrt{6}=-\sqrt{6}$
(2) 已知$a＞0,b＞0$，将系数与二次根式分开运算：
系数部分：$12÷2×\frac{1}{6}=1$
二次根式部分：$\sqrt{16a}÷\sqrt{ab}×\sqrt{4b}=\sqrt{\frac{16a}{ab}×4b}=\sqrt{64}=8$
原式$=1×8=8$
(3) 先化简根式，再按从左到右顺序计算乘除，最后算加减：
原式$=3\sqrt{3}×\frac{2}{\sqrt{3}}×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=6×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=12\sqrt{2}-6\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
(4) 隐含$x＞0$，先化简括号内的二次根式，再计算除法：
括号内化简：$6\sqrt{\frac{x}{4}}=6×\frac{\sqrt{x}}{2}=3\sqrt{x}$，$2x\sqrt{\frac{1}{x}}=2x×\frac{\sqrt{x}}{x}=2\sqrt{x}$
原式$=(3\sqrt{x}-2\sqrt{x})÷3\sqrt{x}=\sqrt{x}÷3\sqrt{x}=\frac{1}{3}$
(5) 先利用完全平方公式计算乘方，再用平方差公式计算乘法：
原式$=(3+2\sqrt{6}+2)×(5-2\sqrt{6})=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})=5^2-(2\sqrt{6})^2=25-24=1$
(6) 将$\sqrt{5}-\sqrt{3}$看作整体，先用平方差公式计算，再展开完全平方：
原式$=[(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\sqrt{2}][(\sqrt{5}-\sqrt{3})-\sqrt{2}]=(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2$
$=(5-2\sqrt{15}+3)-2=8-2\sqrt{15}-2=6-2\sqrt{15}$
【答案】
(1) $\boxed{-\sqrt{6}}$；(2) $\boxed{8}$；(3) $\boxed{6\sqrt{2}}$；(4) $\boxed{\dfrac{1}{3}}$；(5) $\boxed{1}$；(6) $\boxed{6-2\sqrt{15}}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考查二次根式的运算法则、运算顺序的掌握，以及灵活运用乘法公式简化运算的能力，解题时注意先化简再计算，可有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.7
2. 当$a=3+2\sqrt{2},b=3-2\sqrt{2}$，求代数式$a^2 - 3ab + b^2$的值.
答案
$31$
解析
【分析】
本题若直接将a、b的值代入代数式计算，过程会非常繁琐。观察可知a与b是共轭二次根式，二者的和与积均为有理数，因此可先利用完全平方公式对所求代数式进行变形，转化为含(a+b)和ab的形式，再分别计算a+b、ab的值代入求解即可，能大幅简化计算量。
【解析】
首先对代数式变形：
$a^2 - 3ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 5ab = (a+b)^2 - 5ab$
分别计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$
根据平方差公式计算$ab$：
$ab = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$
将$a+b=6$，$ab=1$代入变形后的式子：
原式$= 6^2 - 5×1 = 36 - 5 = 31$
【答案】
$31$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，解题核心是根据已知条件和代数式的结构特征，灵活运用乘法公式对代数式变形，规避直接代入的复杂运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
本题若直接将a、b的值代入代数式计算，过程会非常繁琐。观察可知a与b是共轭二次根式，二者的和与积均为有理数，因此可先利用完全平方公式对所求代数式进行变形，转化为含(a+b)和ab的形式，再分别计算a+b、ab的值代入求解即可，能大幅简化计算量。
【解析】
首先对代数式变形：
$a^2 - 3ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 5ab = (a+b)^2 - 5ab$
分别计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$
根据平方差公式计算$ab$：
$ab = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$
将$a+b=6$，$ab=1$代入变形后的式子：
原式$= 6^2 - 5×1 = 36 - 5 = 31$
【答案】
$31$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，解题核心是根据已知条件和代数式的结构特征，灵活运用乘法公式对代数式变形，规避直接代入的复杂运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
3. (1) 已知$a＞b＞0$,用两种不同的方法比较$\frac{1}{a},\frac{1}{b}$的大小；
(2) 若$\frac{b}{a}＜\frac{b+1}{a+1}$,则$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$(写出一组符合题意的值即可).
(2) 若$\frac{b}{a}＜\frac{b+1}{a+1}$,则$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$(写出一组符合题意的值即可).
答案
(1) 略
(2) $2$；$1$
(2) $2$；$1$
解析
【分析】
(1) 比较两个分式的大小，可采用两种常规思路：①作差法：将两个分式作差，通分后根据已知条件判断差的正负，若差小于0，则被减数小于减数；②不等式性质法：利用“不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变”的性质，在已知的$a＞b＞0$两边同时除以正数$ab$，即可推导结果。
(2) 先对给定不等式移项、通分化简，分析不等式成立的条件：通分后可得$\frac{b-a}{a(a+1)}＜0$，只要满足分子分母异号即可，选取满足条件的正整数$a、b$（$a＞b$）即可得到符合题意的解。
【解析】
(1) 方法1：作差法
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b - a}{ab}$
已知$a＞b＞0$，因此$b-a＜0$，$ab＞0$，可得$\frac{b-a}{ab}＜0$，即$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}＜0$，因此$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$。
方法2：利用不等式性质
因为$a＞b＞0$，所以$ab＞0$，将不等式$a＞b$两边同时除以$ab$（正数），不等号方向不变，可得$\frac{a}{ab}＞\frac{b}{ab}$，化简后得$\frac{1}{b}＞\frac{1}{a}$，即$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$。
(2) 对$\frac{b}{a}＜\frac{b+1}{a+1}$化简：
移项得$\frac{b}{a}-\frac{b+1}{a+1}＜0$，通分计算得：
$\frac{b(a+1)-a(b+1)}{a(a+1)}=\frac{ab+b-ab-a}{a(a+1)}=\frac{b - a}{a(a+1)}＜0$
取$a=2$，$b=1$，代入验证：左边$\frac{1}{2}=0.5$，右边$\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$，$0.5＜\frac{2}{3}$，符合要求。
【答案】
(1) $\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，方法见解析；
(2) $2$；$1$（答案不唯一）
【知识点】
分式大小比较、不等式的基本性质、分式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算应用题，第一问考查代数式大小比较的常用方法，需要灵活掌握作差法和不等式性质两种常用手段；第二问是开放性题目，先推导不等式成立的条件再取值，能快速得到正确结果，避免盲目试值。
【难度系数】
0.7
(1) 比较两个分式的大小，可采用两种常规思路：①作差法：将两个分式作差，通分后根据已知条件判断差的正负，若差小于0，则被减数小于减数；②不等式性质法：利用“不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变”的性质，在已知的$a＞b＞0$两边同时除以正数$ab$，即可推导结果。
(2) 先对给定不等式移项、通分化简，分析不等式成立的条件：通分后可得$\frac{b-a}{a(a+1)}＜0$，只要满足分子分母异号即可，选取满足条件的正整数$a、b$（$a＞b$）即可得到符合题意的解。
【解析】
(1) 方法1：作差法
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b - a}{ab}$
已知$a＞b＞0$，因此$b-a＜0$，$ab＞0$，可得$\frac{b-a}{ab}＜0$，即$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}＜0$，因此$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$。
方法2：利用不等式性质
因为$a＞b＞0$，所以$ab＞0$，将不等式$a＞b$两边同时除以$ab$（正数），不等号方向不变，可得$\frac{a}{ab}＞\frac{b}{ab}$，化简后得$\frac{1}{b}＞\frac{1}{a}$，即$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$。
(2) 对$\frac{b}{a}＜\frac{b+1}{a+1}$化简：
移项得$\frac{b}{a}-\frac{b+1}{a+1}＜0$，通分计算得：
$\frac{b(a+1)-a(b+1)}{a(a+1)}=\frac{ab+b-ab-a}{a(a+1)}=\frac{b - a}{a(a+1)}＜0$
取$a=2$，$b=1$，代入验证：左边$\frac{1}{2}=0.5$，右边$\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$，$0.5＜\frac{2}{3}$，符合要求。
【答案】
(1) $\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，方法见解析；
(2) $2$；$1$（答案不唯一）
【知识点】
分式大小比较、不等式的基本性质、分式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算应用题，第一问考查代数式大小比较的常用方法，需要灵活掌握作差法和不等式性质两种常用手段；第二问是开放性题目，先推导不等式成立的条件再取值，能快速得到正确结果，避免盲目试值。
【难度系数】
0.7
4. 阅读下面材料：
将边长分别为$a,a+\sqrt{b},a+2\sqrt{b},a+3\sqrt{b}$的正方形面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4$. 则$S_2 - S_1 = (a+\sqrt{b})^2 - a^2 = [(a+\sqrt{b})+a] · [(a+\sqrt{b})-a] = (2a+\sqrt{b}) · \sqrt{b} = b + 2a\sqrt{b}$.
根据以上材料解答下列问题：
(1) $S_3 - S_2 = \_\_\_\_\_\_, S_4 - S_3 = \_\_\_\_\_\_$；
(2) 把边长为$a+n\sqrt{b}$的正方形面积记作$S_{n+1}$，其中$n$是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出$S_{n+1} - S_n$等于多少吗？并证明你的猜想；
(3) 令$t_1 = S_2 - S_1, t_2 = S_3 - S_2, t_3 = S_4 - S_3, \dots, t_n = S_{n+1} - S_n$且$T = t_1 + t_2 + t_3 + \dots + t_{50}$，求$T$的值.
将边长分别为$a,a+\sqrt{b},a+2\sqrt{b},a+3\sqrt{b}$的正方形面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4$. 则$S_2 - S_1 = (a+\sqrt{b})^2 - a^2 = [(a+\sqrt{b})+a] · [(a+\sqrt{b})-a] = (2a+\sqrt{b}) · \sqrt{b} = b + 2a\sqrt{b}$.
根据以上材料解答下列问题：
(1) $S_3 - S_2 = \_\_\_\_\_\_, S_4 - S_3 = \_\_\_\_\_\_$；
(2) 把边长为$a+n\sqrt{b}$的正方形面积记作$S_{n+1}$，其中$n$是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出$S_{n+1} - S_n$等于多少吗？并证明你的猜想；
(3) 令$t_1 = S_2 - S_1, t_2 = S_3 - S_2, t_3 = S_4 - S_3, \dots, t_n = S_{n+1} - S_n$且$T = t_1 + t_2 + t_3 + \dots + t_{50}$，求$T$的值.
答案
(1) $3b+2a\sqrt{b}$；$5b+2a\sqrt{b}$
(2) $S_{n+1}-S_n=(2n-1)b+2a\sqrt{b}$，理由略
(3) $2500b+100a\sqrt{b}$
(2) $S_{n+1}-S_n=(2n-1)b+2a\sqrt{b}$，理由略
(3) $2500b+100a\sqrt{b}$
解析
【分析】
本题可根据材料给出的平方差公式计算面积差的方法逐步求解：
1. 第(1)问直接类比材料中计算$S_2-S_1$的方法，将对应边长代入平方差公式计算即可；
2. 第(2)问先观察第(1)问的计算结果，找到b的系数的规律，写出猜想，再用平方差公式展开$S_{n+1}-S_n$验证猜想即可；
3. 第(3)问观察$t_n$的表达式，发现求和时相邻项可以抵消，化简后得到$T=S_{51}-S_1$，再用平方差公式计算即可。
【解析】
(1) 计算$S_3-S_2$：
$S_3=(a+2\sqrt{b})^2$，$S_2=(a+\sqrt{b})^2$，根据平方差公式：
$S_3 - S_2=(a+2\sqrt{b})^2-(a+\sqrt{b})^2$
$=[(a+2\sqrt{b})+(a+\sqrt{b})]·[(a+2\sqrt{b})-(a+\sqrt{b})]$
$=(2a+3\sqrt{b})·\sqrt{b}=3b+2a\sqrt{b}$
计算$S_4-S_3$：
$S_4=(a+3\sqrt{b})^2$，$S_3=(a+2\sqrt{b})^2$，同理：
$S_4 - S_3=(a+3\sqrt{b})^2-(a+2\sqrt{b})^2$
$=[(a+3\sqrt{b})+(a+2\sqrt{b})]·[(a+3\sqrt{b})-(a+2\sqrt{b})]$
$=(2a+5\sqrt{b})·\sqrt{b}=5b+2a\sqrt{b}$
(2) 猜想：$S_{n+1}-S_n=(2n-1)b+2a\sqrt{b}$，证明如下：
由题意得$S_{n+1}=(a+n\sqrt{b})^2$，$S_n=[a+(n-1)\sqrt{b}]^2$
$S_{n+1}-S_n=(a+n\sqrt{b})^2-[a+(n-1)\sqrt{b}]^2$
$=[(a+n\sqrt{b})+a+(n-1)\sqrt{b}]·[(a+n\sqrt{b})-a-(n-1)\sqrt{b}]$
$=(2a+(2n-1)\sqrt{b})·\sqrt{b}$
$=2a\sqrt{b}+(2n-1)b=(2n-1)b+2a\sqrt{b}$，猜想成立。
(3) 由题意得：
$T=t_1+t_2+\dots+t_{50}=(S_2-S_1)+(S_3-S_2)+\dots+(S_{51}-S_{50})$
相邻项抵消后得$T=S_{51}-S_1$
$S_{51}=(a+50\sqrt{b})^2$，$S_1=a^2$，代入得：
$T=(a+50\sqrt{b})^2-a^2$
$=(a+50\sqrt{b}+a)·(a+50\sqrt{b}-a)$
$=(2a+50\sqrt{b})·50\sqrt{b}$
$=100a\sqrt{b}+2500b=2500b+100a\sqrt{b}$
【答案】
(1) $3b+2a\sqrt{b}$；$5b+2a\sqrt{b}$
(2) $S_{n+1}-S_n=(2n-1)b+2a\sqrt{b}$，证明见解析
(3) $2500b+100a\sqrt{b}$
【知识点】
平方差公式；整式的运算；规律探究
【点评】
本题以正方形面积为载体，考查平方差公式的灵活应用，同时锻炼学生的归纳推理能力和化简求和能力，熟练掌握平方差公式的结构特征是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题可根据材料给出的平方差公式计算面积差的方法逐步求解：
1. 第(1)问直接类比材料中计算$S_2-S_1$的方法，将对应边长代入平方差公式计算即可；
2. 第(2)问先观察第(1)问的计算结果，找到b的系数的规律，写出猜想，再用平方差公式展开$S_{n+1}-S_n$验证猜想即可；
3. 第(3)问观察$t_n$的表达式，发现求和时相邻项可以抵消，化简后得到$T=S_{51}-S_1$，再用平方差公式计算即可。
【解析】
(1) 计算$S_3-S_2$：
$S_3=(a+2\sqrt{b})^2$，$S_2=(a+\sqrt{b})^2$，根据平方差公式：
$S_3 - S_2=(a+2\sqrt{b})^2-(a+\sqrt{b})^2$
$=[(a+2\sqrt{b})+(a+\sqrt{b})]·[(a+2\sqrt{b})-(a+\sqrt{b})]$
$=(2a+3\sqrt{b})·\sqrt{b}=3b+2a\sqrt{b}$
计算$S_4-S_3$：
$S_4=(a+3\sqrt{b})^2$，$S_3=(a+2\sqrt{b})^2$，同理：
$S_4 - S_3=(a+3\sqrt{b})^2-(a+2\sqrt{b})^2$
$=[(a+3\sqrt{b})+(a+2\sqrt{b})]·[(a+3\sqrt{b})-(a+2\sqrt{b})]$
$=(2a+5\sqrt{b})·\sqrt{b}=5b+2a\sqrt{b}$
(2) 猜想：$S_{n+1}-S_n=(2n-1)b+2a\sqrt{b}$，证明如下：
由题意得$S_{n+1}=(a+n\sqrt{b})^2$，$S_n=[a+(n-1)\sqrt{b}]^2$
$S_{n+1}-S_n=(a+n\sqrt{b})^2-[a+(n-1)\sqrt{b}]^2$
$=[(a+n\sqrt{b})+a+(n-1)\sqrt{b}]·[(a+n\sqrt{b})-a-(n-1)\sqrt{b}]$
$=(2a+(2n-1)\sqrt{b})·\sqrt{b}$
$=2a\sqrt{b}+(2n-1)b=(2n-1)b+2a\sqrt{b}$，猜想成立。
(3) 由题意得：
$T=t_1+t_2+\dots+t_{50}=(S_2-S_1)+(S_3-S_2)+\dots+(S_{51}-S_{50})$
相邻项抵消后得$T=S_{51}-S_1$
$S_{51}=(a+50\sqrt{b})^2$，$S_1=a^2$，代入得：
$T=(a+50\sqrt{b})^2-a^2$
$=(a+50\sqrt{b}+a)·(a+50\sqrt{b}-a)$
$=(2a+50\sqrt{b})·50\sqrt{b}$
$=100a\sqrt{b}+2500b=2500b+100a\sqrt{b}$
【答案】
(1) $3b+2a\sqrt{b}$；$5b+2a\sqrt{b}$
(2) $S_{n+1}-S_n=(2n-1)b+2a\sqrt{b}$，证明见解析
(3) $2500b+100a\sqrt{b}$
【知识点】
平方差公式；整式的运算；规律探究
【点评】
本题以正方形面积为载体，考查平方差公式的灵活应用，同时锻炼学生的归纳推理能力和化简求和能力，熟练掌握平方差公式的结构特征是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
