四、计算题
10. 一水桶内结满了冰，且冰面正好与桶口相平，此时桶与冰的总质量是23 kg，当冰全部融化为水后，需再向桶中倒入2 L水，水面才正好与桶口相平.试求：桶的容积及桶的质量（冰的密度为$0.9×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$）.

桶的容积为$0.02\ \mathrm{m}^3$（或20L），桶的质量为$5\ \mathrm{kg}$

首先进行单位换算：2L=2×10⁻³m³，已知冰的密度ρ冰=0.9×10³kg/m³，水的密度ρ水=1×10³kg/m³。
设桶的容积为V，桶的质量为m桶：
① 初始状态冰面与桶口相平，说明冰的体积等于桶的容积V，冰的质量m冰=ρ冰V，由桶和冰总质量为23kg可得关系式：
$m_{桶} + \rho_{冰}V = 23\ \mathrm{kg}$
② 冰熔化为水时质量不变，熔化得到的水的体积$V_{化水} = \frac{m_{冰}}{\rho_{水}} = \frac{\rho_{冰}V}{\rho_{水}}$；加入2L水后水面与桶口相平，说明熔化得到的水的体积加上新增水的体积等于桶的容积，可得关系式：
$V_{化水} + 2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3 = V$
将ρ冰、ρ水的数值代入第二个关系式：
$\frac{0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × V}{1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} + 2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3 = V$
化简得：$0.9V + 2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3 = V$
解得桶的容积$V=0.02\ \mathrm{m}^3$
将$V=0.02\ \mathrm{m}^3$代入第一个关系式，计算桶的质量：
$m_{桶} = 23\ \mathrm{kg} - 0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.02\ \mathrm{m}^3 = 5\ \mathrm{kg}$

11. 如图所示,一只烧杯盛满水时,称得烧杯、杯内水的总质量$ m_1 $为2.4 kg;往烧杯内放入一金属球、溢出一部分水后,称得烧杯、杯内水、金属球的总质量$ m_2 $为5.4 kg;取出金属球后,称得烧杯、杯内水的总质量$ m_3 $为1.2 kg.已知$ \rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3 $,求:
(1) 金属球的质量;
(2) 金属球的体积;
(3) 金属球的密度.

(1) 金属球的质量为$\boldsymbol{4.2\ \mathrm{kg}}$；
(2) 金属球的体积为$\boldsymbol{1.2×10^{-3}\ \mathrm{m^3}}$；
(3) 金属球的密度为$\boldsymbol{3.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}$。

(1) 计算金属球的质量：
放入金属球后，烧杯、剩余水、金属球的总质量为$m_2$，取出金属球后烧杯和剩余水的总质量为$m_3$，因此金属球的质量为二者之差：
$m = m_2 - m_3 = 5.4\ \mathrm{kg} - 1.2\ \mathrm{kg} = 4.2\ \mathrm{kg}$
(2) 计算金属球的体积：
盛满水时烧杯和水的总质量为$m_1$，取出金属球后烧杯和剩余水的总质量为$m_3$，因此溢出水的质量为：
$m_{\mathrm{溢}} = m_1 - m_3 = 2.4\ \mathrm{kg} - 1.2\ \mathrm{kg} = 1.2\ \mathrm{kg}$
金属球完全浸没在水中，溢出水的体积等于金属球的体积，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得金属球的体积：
$V = V_{\mathrm{溢}} = \frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{1.2\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}} = 1.2×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$
(3) 计算金属球的密度：
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，代入金属球的质量和体积：
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{4.2\ \mathrm{kg}}{1.2×10^{-3}\ \mathrm{m^3}} = 3.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$