1. 下列二次根式的运算:①$\sqrt{2} × \sqrt{6} = 2\sqrt{3}$;②$\sqrt{16} = \pm 4$;③$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$;④$\sqrt{(-2)^2} = -2$;
⑤$\sqrt{4\frac{1}{9}} = 2\frac{1}{3}$;⑥$(-2\sqrt{7})^2 = 14$;⑦$\sqrt{4.9} = 0.7$.其中运算正确的有()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

A

逐个判断各二次根式运算：
①$\sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{2×6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，运算正确；
②$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4，不等于$\pm4$，运算错误；
③$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，分母有理化运算正确；
④$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$，运算错误；
⑤$\sqrt{4\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{37}{9}} = \frac{\sqrt{37}}{3} ≠ 2\frac{1}{3}$，运算错误；
⑥$(-2\sqrt{7})^2 = (-2)^2 × (\sqrt{7})^2 = 4×7 = 28 ≠14$，运算错误；
⑦$0.7^2=0.49$，因此$\sqrt{4.9}≠0.7$，运算错误。
综上，正确的运算共2个。

2. 化简$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2025}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2026}$的结果为（）

A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
C.1
D.－1

A

先对原式变形，将指数2026拆分为2025+1：
原式$=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2025} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2025} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})$
根据积的乘方法则$a^n b^n=(ab)^n$，合并前两项：
$=[(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})]^{2025} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})$
由平方差公式计算括号内部分：$(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$
代入得：原式$=1^{2025} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

3.计算：$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}-\sqrt{40}=$.

7

本题可根据完全平方公式展开式子，再化简二次根式，最后合并同类项计算：
1. 利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$：
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=5+2\sqrt{10}+2=7+2\sqrt{10}$
2. 化简二次根式$\sqrt{40}$：$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=2\sqrt{10}$
3. 代入原式合并计算：
原式$=7+2\sqrt{10}-2\sqrt{10}=7$

4. 对于任意不相等的两个数$a,b$，定义一种运算※：$a※b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，如$5※4=\frac{\sqrt{5+4}}{5-4}=3$。计算$(2-\sqrt{3})※(7※5)=\_\_\_\_\_\_$。

$-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

根据题目定义的新运算，先计算括号内的$7※5$：
1. 将$a=7$，$b=5$代入运算公式$a※b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$：
$7※5=\frac{\sqrt{7+5}}{7-5}=\frac{\sqrt{12}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
2. 再计算$(2-\sqrt{3})※\sqrt{3}$，此时$a=2-\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}$，代入运算公式：
分子部分：$\sqrt{(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}}=\sqrt{2}$
分母部分：$(2-\sqrt{3})-\sqrt{3}=2-2\sqrt{3}$
对结果做分母有理化，分子分母同乘$2+2\sqrt{3}$：
原式$=\frac{\sqrt{2}}{2-2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}×(2+2\sqrt{3})}{(2-2\sqrt{3})(2+2\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4-12}=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

5. 计算:
(1)$(\sqrt{2} - π)^0 - |1 - 2\sqrt{3}| + \sqrt{12} - (\dfrac{1}{2})^2$；(2)$\sqrt{48} - \sqrt{27} ÷ 2 + (3 - \sqrt{3})(1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}})$.

(1) $\boldsymbol{\frac{7}{4}}$；(2) $\boldsymbol{2+\frac{5\sqrt{3}}{2}}$

我们结合八年级实数运算的相关法则，分步骤计算两个式子：
(1) 计算$(\sqrt{2} - π)^0 - |1 - 2\sqrt{3}| + \sqrt{12} - (\dfrac{1}{2})^2$
1. 分别计算各分项：
零指数幂：非零数的0次幂为1，因此$(\sqrt{2}-π)^0=1$
绝对值：因为$2\sqrt{3}＞1$，所以$|1-2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}-1$
二次根式化简：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
平方运算：$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
2. 代入原式合并化简：
$\begin{aligned}原式&=1-(2\sqrt{3}-1)+2\sqrt{3}-\frac{1}{4}\\&=1-2\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}-\frac{1}{4}\\&=2-\frac{1}{4}\\&=\frac{7}{4}\end{aligned}$
---
(2) 计算$\sqrt{48} - \sqrt{27} ÷ 2 + (3 - \sqrt{3})(1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}})$
1. 分别计算各分项：
二次根式化简：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，因此$\sqrt{27}÷2=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
乘法部分展开计算：
$\begin{aligned}(3-\sqrt{3})(1+\frac{1}{\sqrt{3}})&=3×1 + 3×\frac{1}{\sqrt{3}} -\sqrt{3}×1 -\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}\\&=3+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1\\&=2\end{aligned}$
2. 代入原式合并化简：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}+2\\&=\frac{5\sqrt{3}}{2}+2\end{aligned}$

6. 设三角形的三边长分别为$a,b,c$，$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$. 有下列三角形面积公式：
①$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（海伦公式）；
②$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$（秦九韶公式）.
(1)一个三角形的三边长分别为$5,6,7$，在上述两个公式中选择一个合适的公式，求这个三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为$\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7}$，在上述两个公式中选择一个合适的公式，求这个三角形的面积.

(1) 面积为$6\sqrt{6}$；(2) 面积为$\frac{\sqrt{26}}{2}$

(1) 选择海伦公式计算更简便：
先计算半周长$p$：
$p=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}×(5+6+7)=9$
将数值代入海伦公式：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}=\sqrt{9×4×3×2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$
(2) 由于三边长为带根号的形式，选择秦九韶公式计算更简便：
令$a=\sqrt{5},b=\sqrt{6},c=\sqrt{7}$，则$a^2=5,b^2=6,c^2=7$，代入秦九韶公式：
先计算中间项：
$a^2b^2=5×6=30$，$\frac{a^2+b^2-c^2}{2}=\frac{5+6-7}{2}=2$
代入公式得：
$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}=\sqrt{\frac{1}{4}×(30-2^2)}=\sqrt{\frac{26}{4}}=\frac{\sqrt{26}}{2}$
注：题目给出的秦九韶公式存在排版漏写减号的笔误，已按标准秦九韶面积公式修正计算。