1. 若$\sqrt{5}+\sqrt{5}=\sqrt{N}$，则$N=$()

A.25
B.20
C.24
D.30

B

先计算等式左边：$\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，再将$2\sqrt{5}$变形为根号形式：$2\sqrt{5}=\sqrt{2^2×5}=\sqrt{20}$，和等式右侧$\sqrt{N}$对比，可得$N=20$。

2. 若$a+\sqrt{12}=\sqrt{27}$，则表示实数$a$的点会落在数轴的()


A.第①段上
B.第②段上
C.第③段上
D.第④段上

B

先对等式变形求a的值：
由$a+\sqrt{12}=\sqrt{27}$，移项得$a=\sqrt{27}-\sqrt{12}$。
化简二次根式：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此$a=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
估算$\sqrt{3}$的范围：因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，即实数a落在数轴上1到2之间的第②段。

3. 计算$\sqrt{4} - |\sqrt{3} - 2|$的值为________.

$\sqrt{3}$

1. 先化简二次根式：$\sqrt{4}=2$；
2. 化简绝对值：因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，即$\sqrt{3}-2＜0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$；
3. 代入原式计算：
原式$=2-(2-\sqrt{3})=2-2+\sqrt{3}=\sqrt{3}$

4.规定:若$a+b=-1$,则称$a$与$b$是关于$-1$的平衡数.若$4+2\sqrt{3}$与$m$是关于$-1$的平衡数,则$m=$.

$-5-2\sqrt{3}$

根据题中“关于-1的平衡数”的定义，若两个数是关于-1的平衡数，则两数之和等于-1。
已知$4+2\sqrt{3}$与$m$是关于$-1$的平衡数，代入定义可得等式：
$(4+2\sqrt{3}) + m = -1$
对等式移项求解$m$：
$\begin{aligned}m&=-1-(4+2\sqrt{3})\\&=-1-4-2\sqrt{3}\\&=-5-2\sqrt{3}\end{aligned}$

5. 计算：
(1)$2\sqrt{12} - 6\sqrt{\dfrac{1}{3}} + 3\sqrt{48}$；
(2)$(3 - 2\sqrt{2})^2$。

(1) $14\sqrt{3}$；(2) $17-12\sqrt{2}$

(1) 先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式：
化简各项：
$2\sqrt{12}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
$6\sqrt{\dfrac{1}{3}}=6×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，
$3\sqrt{48}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$，
代入原式得：原式$=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}+12\sqrt{3}=14\sqrt{3}$。
(2) 利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开计算：
代入$a=3$，$b=2\sqrt{2}$，得：
原式$=3^2 - 2×3×2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2=9-12\sqrt{2}+8=17-12\sqrt{2}$。

6.综合与实践.
【问题情境】给出一个新的数学概念:若$\frac{a+b}{2}=1$,则称$a$与$b$是关于1的平衡数.例如,3与$-1$是关于1的平衡数.
【思考尝试】
(1)4与________是关于1的平衡数,$5-\sqrt{2}$与________是关于1的平衡数;
【实践探究】
(2)$m$与$n$是关于1的平衡数,同时,$m+3$与$2n-1$也是关于1的平衡数,求$m$与$n$的值;
【拓展延伸】
(3)若$(m+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=-5+3\sqrt{3}$,试判断$m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$是不是关于1的平衡数,并说明理由.

(1) $\boldsymbol{-2}$；$\boldsymbol{\sqrt{2}-3}$
(2) $\boldsymbol{m=4}$，$\boldsymbol{n=-2}$
(3) $m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$不是关于1的平衡数。

根据题中定义：若$\frac{a+b}{2}=1$，即$a+b=2$时，$a$与$b$是关于1的平衡数，据此逐问求解：
(1) 设4的关于1的平衡数为$x$，则$4+x=2$，解得$x=-2$；设$5-\sqrt{2}$的关于1的平衡数为$y$，则$5-\sqrt{2}+y=2$，解得$y=2-(5-\sqrt{2})=\sqrt{2}-3$。
(2) 根据平衡数定义列方程组：
$\begin{cases}m + n = 2 \\ (m+3)+(2n-1)=2\end{cases}$
化简第二个方程得$m+2n=0$，用该式减去第一个方程得$n=-2$，将$n=-2$代入$m+n=2$，得$m=4$。
(3) 先展开已知等式左边：
$(m+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=m - \sqrt{3}m + \sqrt{3} - 3$
结合等式右边$-5+3\sqrt{3}$，对应有理部分和无理部分相等，可得：
$\begin{cases}m-3=-5 \\ -m+1=3\end{cases}$
解得$m=-2$。
计算$(m+\sqrt{3})+(5-\sqrt{3})=(-2+\sqrt{3})+5-\sqrt{3}=3\ne2$，不符合平衡数的定义，因此二者不是关于1的平衡数。