1. 已知$a+b=4,ab=2$，则$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$的值为（）

A.$2\sqrt{2}$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$1$

A

∵a+b=4＞0，ab=2＞0，∴a＞0，b＞0
对原式化简：
$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{a}+\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=\sqrt{ab}·\dfrac{a+b}{ab}$
将$a+b=4$，$ab=2$代入得：
原式$=\sqrt{2}×\dfrac{4}{2}=2\sqrt{2}$

2. 已知$ x=\sqrt{7}+\sqrt{5} $，$ y=\sqrt{7}-\sqrt{5} $，则代数式$ x^2 - 2xy + y^2 $的值为（）

A.28
B.20
C.$ 4\sqrt{7} $
D.$ 4\sqrt{5} $

B

先对代数式变形，利用完全平方差公式可得$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$。代入$x=\sqrt{7}+\sqrt{5}$，$y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，计算得$x-y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$，因此原式$=(2\sqrt{5})^2=20$。

3.如图,若矩形内三个相邻的正方形的面积分别为2,3和4,则图中阴影部分的面积为()

A.2
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}-3$
D.$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$

D

1. 由正方形面积公式，得面积为2、3、4的正方形的边长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{4}=2$。
2. 观察图形可知，大矩形的竖直边长等于面积为4的正方形的边长，即2；大矩形的水平边长为三个正方形边长之和，即$\sqrt{2}+\sqrt{3}+2$。
3. 计算大矩形面积：$2×(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2)=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+4$。
4. 三个正方形的面积之和为$2+3+4=9$。
5. 阴影部分面积 = 大矩形面积 - 三个正方形面积和 = $(2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+4)-9=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$。

4.若代数式$\sqrt{(1-a)^2}+\sqrt{(3-a)^2}$的值是常数2,则$a$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$.

$1≤ a≤3$

根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先将原式化简为：
$|1-a| + |3-a| = |a-1| + |a-3|$，接下来分三种情况讨论：
1. 当$a＜1$时，原式$=(1-a)+(3-a)=4-2a$，此时结果大于2，不符合题意；
2. 当$1≤ a≤3$时，原式$=(a-1)+(3-a)=2$，结果恒为2，符合题意；
3. 当$a＞3$时，原式$=(a-1)+(a-3)=2a-4$，此时结果大于2，不符合题意。
综上可得满足代数式的值为常数2的$a$的取值范围。

5.若$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=2$，则$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}+14}$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$.

$4\sqrt{3}$

1. 对已知等式两边同时平方，利用完全平方公式展开：
已知$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=2$，两边平方得：
$(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 = 2^2$
展开完全平方：$x - 2·\sqrt{x}·\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} = 4$
化简得：$x - 2 + \frac{1}{x} = 4$，因此$x+\frac{1}{x}=6$。
2. 对$x+\frac{1}{x}=6$两边再次平方，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值：
$(x+\frac{1}{x})^2 = 6^2$
展开得：$x^2 + 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 36$
化简得：$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 36$，因此$x^2+\frac{1}{x^2}=34$。
3. 代入所求二次根式计算：
将$x^2+\frac{1}{x^2}=34$代入$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}+14}$，得：
$\sqrt{34 + 14} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

6.【阅读材料】
若$a＞0,b＞0$，则$a=(\sqrt{a})^{2},b=(\sqrt{b})^{2}$.$\therefore (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}=a+b-2\sqrt{ab}(\sqrt{a}· \sqrt{b}=\sqrt{ab})$.
$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}≥ 0$，$\therefore a+b-2\sqrt{ab}≥ 0$.$\therefore a+b≥ 2\sqrt{ab}$.“$a+b≥ 2\sqrt{ab}$”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题.（$a,b$为正数；积定和最小；和定积最大；当$a=b$时，取等号）
例：若$a＞0,b＞0,ab=16$，求$a+b$的最小值.
解：$\because a＞0,b＞0,ab=16$，$\therefore a+b-2\sqrt{ab}≥ 0$，$\therefore a+b≥ 2\sqrt{ab}=8$.
$\therefore$当$a=b=4$时，$a+b$的最小值为$8$.
【解决问题】
（1）用篱笆围成一个面积为$100\ \mathrm{m}^2$的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长）.当这个长方形的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少？
（2）如图，四边形$ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$，$△ AOD,△ BOC$的面积分别为$2$和$3$，求四边形$ABCD$面积的最小值.

（1）当平行于墙的长为$ 10\sqrt{2}\ \mathrm{m} $，垂直于墙的宽为$ 5\sqrt{2}\ \mathrm{m} $时，所用篱笆最短，最短篱笆的长为$ 20\sqrt{2}\ \mathrm{m} $；
（2）四边形$ ABCD $面积的最小值为$ 5+2\sqrt{6} $。

（1）设垂直于墙的一边长为$ x\ \mathrm{m} $（$ x＞0 $），平行于墙的一边长为$ y\ \mathrm{m} $（$ y＞0 $）。
由菜园面积为$ 100\ \mathrm{m}^2 $，可得$ xy=100 $，所用篱笆总长度$ L=2x+y $。
根据题中给出的基本不等式：对正数$ a,b $，有$ a+b≥2\sqrt{ab} $，令$ a=2x $，$ b=y $，代入得：
$ L=2x+y≥2\sqrt{2x· y}=2\sqrt{2xy} $
将$ xy=100 $代入，得$ L≥2\sqrt{2×100}=20\sqrt{2} $。
当且仅当$ 2x=y $时取等号，将$ y=2x $代入$ xy=100 $，得$ 2x^2=100 $，解得$ x=5\sqrt{2} $（$ x＞0 $），此时$ y=10\sqrt{2} $。
（2）设$ S_{△ AOB}=x $（$ x＞0 $），$ S_{△ COD}=y $（$ y＞0 $）。
因为$ △ AOB $和$ △ AOD $同高，面积比等于对应底之比，即$ \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}=\frac{OB}{OD}=\frac{x}{2} $；
同理$ △ BOC $和$ △ COD $同高，可得$ \frac{S_{△ BOC}}{S_{△ COD}}=\frac{OB}{OD}=\frac{3}{y} $。
因此$ \frac{x}{2}=\frac{3}{y} $，整理得$ xy=6 $。
四边形$ ABCD $的总面积$ S=2+3+x+y=5+x+y $，根据基本不等式：
$ x+y≥2\sqrt{xy}=2\sqrt{6} $，因此$ S≥5+2\sqrt{6} $，当且仅当$ x=y=\sqrt{6} $时取等号。