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1.若直角三角形的两边长为3和4,则其第三边长为()
A.5 或$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{7}$
C.7
D.5
A.5 或$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{7}$
C.7
D.5
答案
A
解析
分两种情况用勾股定理计算：①当3和4均为直角边长时，第三边（斜边）长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$；②当长为4的边为斜边时，第三边长为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，因此第三边长为5或$\sqrt{7}$。
2.我国古代称直角三角形为“勾股形”.如图,将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.若$a=10,b=2$,则此勾股形的面积为()
A.28
B.30
C.32
D.36
A.28
B.30
C.32
D.36
答案
B
解析
设图中正方形的边长为$ x $。
由两对全等直角三角形的性质可知，该大勾股形（直角三角形）的两条直角边长度分别为$ a+x $、$ b+x $，斜边长度为$ a+b $。
根据勾股定理列方程：
$(x+a)^2 + (x+b)^2 = (a+b)^2$
代入$ a=10 $，$ b=2 $展开整理：
$(x+10)^2 + (x+2)^2 = 12^2 \x^2 + 20x + 100 + x^2 + 4x + 4 = 144 \\2x^2 + 24x = 40 \x^2 + 12x = 20$
大勾股形的面积为：
$S = \frac{1}{2}(x+a)(x+b) = \frac{1}{2}(x^2 + 12x + 20)$
将$ x^2+12x=20 $代入得：
$S = \frac{1}{2}(20 + 40) = 30$
由两对全等直角三角形的性质可知，该大勾股形（直角三角形）的两条直角边长度分别为$ a+x $、$ b+x $，斜边长度为$ a+b $。
根据勾股定理列方程：
$(x+a)^2 + (x+b)^2 = (a+b)^2$
代入$ a=10 $，$ b=2 $展开整理：
$(x+10)^2 + (x+2)^2 = 12^2 \x^2 + 20x + 100 + x^2 + 4x + 4 = 144 \\2x^2 + 24x = 40 \x^2 + 12x = 20$
大勾股形的面积为：
$S = \frac{1}{2}(x+a)(x+b) = \frac{1}{2}(x^2 + 12x + 20)$
将$ x^2+12x=20 $代入得：
$S = \frac{1}{2}(20 + 40) = 30$
3.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,交$BC$于点$D$,$DE// AB$,交$AC$于点$E$.
已知$CE=1$,$CD=\sqrt{3}$,则$AE$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
已知$CE=1$,$CD=\sqrt{3}$,则$AE$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
1. 在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ C=90°$，已知$CE=1$，$CD=\sqrt{3}$，由勾股定理计算得：
$DE=\sqrt{CE^2 + CD^2}=\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}=2$。
2. 由$DE// AB$，根据平行线内错角相等的性质，可得$∠ BAD = ∠ ADE$。
3. 因为$AD$平分$∠ BAC$，所以$∠ BAD = ∠ DAE$，通过等量代换得到$∠ DAE = ∠ ADE$。
4. 根据等腰三角形等角对等边的性质，可得$AE=DE=2$。
$DE=\sqrt{CE^2 + CD^2}=\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}=2$。
2. 由$DE// AB$，根据平行线内错角相等的性质，可得$∠ BAD = ∠ ADE$。
3. 因为$AD$平分$∠ BAC$，所以$∠ BAD = ∠ DAE$，通过等量代换得到$∠ DAE = ∠ ADE$。
4. 根据等腰三角形等角对等边的性质，可得$AE=DE=2$。
4.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC=5$,$AB=6$,$CD⊥ AB$,$∠ ABC$的平分线交$CD$于点$E$,则$DE=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$（或$1.5$）
解析
1. 利用等腰三角形三线合一性质：
已知$AC=BC$，$CD⊥ AB$，因此$D$是$AB$中点，可得$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，且$∠ CDB=90°$。
2. 勾股定理求$CD$长度：
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$BC=5$，$BD=3$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
3. 利用角平分线性质：
过点$E$作$EF⊥ BC$于点$F$，因为$BE$是$∠ ABC$的平分线，$ED⊥ AB$，$EF⊥ BC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=EF$。
4. 设未知数列方程求解：
设$DE=x$，则$EF=x$，$CE=CD-DE=4-x$。
由$\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ BFE(\mathrm{HL})$，得$BF=BD=3$，因此$FC=BC-BF=5-3=2$。
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得：
$EF^2+FC^2=CE^2$，代入得$x^2+2^2=(4-x)^2$，
展开化简：$x^2+4=16-8x+x^2$，解得$x=\frac{3}{2}$。
已知$AC=BC$，$CD⊥ AB$，因此$D$是$AB$中点，可得$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，且$∠ CDB=90°$。
2. 勾股定理求$CD$长度：
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$BC=5$，$BD=3$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
3. 利用角平分线性质：
过点$E$作$EF⊥ BC$于点$F$，因为$BE$是$∠ ABC$的平分线，$ED⊥ AB$，$EF⊥ BC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=EF$。
4. 设未知数列方程求解：
设$DE=x$，则$EF=x$，$CE=CD-DE=4-x$。
由$\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ BFE(\mathrm{HL})$，得$BF=BD=3$，因此$FC=BC-BF=5-3=2$。
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得：
$EF^2+FC^2=CE^2$，代入得$x^2+2^2=(4-x)^2$，
展开化简：$x^2+4=16-8x+x^2$，解得$x=\frac{3}{2}$。
5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.在边$BC$上有一点$P$,连接$AP$,且$PA=PB$.若$AC=2$,$CB=5$,求$PA$的长.
答案
$PA$的长为$\frac{29}{10}$（或2.9）
解析
设PA的长为x，
1. 由PA=PB，CB=5，可得PB=x，因此$CP = CB - PB = 5 - x$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ACP$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AC^2 + CP^2 = AP^2$
3. 代入已知条件$AC=2$，$CP=5-x$，$AP=x$，得到方程：
$2^2 + (5-x)^2 = x^2$
展开并化简方程：
$4 + 25 -10x + x^2 = x^2$
消去$x^2$后得$29 -10x = 0$，解得$x=\frac{29}{10}$。
1. 由PA=PB，CB=5，可得PB=x，因此$CP = CB - PB = 5 - x$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ACP$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AC^2 + CP^2 = AP^2$
3. 代入已知条件$AC=2$，$CP=5-x$，$AP=x$，得到方程：
$2^2 + (5-x)^2 = x^2$
展开并化简方程：
$4 + 25 -10x + x^2 = x^2$
消去$x^2$后得$29 -10x = 0$，解得$x=\frac{29}{10}$。
6.用四个全等的直角三角形拼成图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个全等直角三角形的直角边长分别为$a,b(a＜b)$，斜边长为$c$.
(1)请利用图①证明：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形$ABCDEFGH$.若该图形的周长为$80$，$OB=5$，求该图形的面积.
(1)请利用图①证明：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形$ABCDEFGH$.若该图形的周长为$80$，$OB=5$，求该图形的面积.
答案
(1) 证明如上；(2) 该图形的面积为$\boldsymbol{225}$。
解析
(1) 利用面积法证明：
图①中，大正方形的边长为直角三角形的斜边$c$，因此大正方形的面积可表示为$S = c^2$。
同时大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和：
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$。
因此大正方形面积也可表示为：
$S = 2ab + (b-a)^2$
展开化简：
$S=2ab + b^2 - 2ab +a^2 = a^2 + b^2$
联立两种面积表达式可得$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
(2) 计算图形面积：
由题意可知，图形$ABCDEFGH$的外围共8条边，其中4条为直角三角形的斜边$c$，剩余4条边的长度均为$b-a$，因此总周长满足：
$4c + 4(b-a) = 80$
化简得：$c + (b-a) = 20$
由图可知$OB$的长度即为直角边的差$b-a$，已知$OB=5$，即$b-a=5$，代入上式得：
$c +5 =20 \implies c=15$
根据勾股定理，$a^2 +b^2 =c^2=15^2=225$。
将$b-a=5$两边平方得：$(b-a)^2=25$，展开得$a^2 -2ab +b^2=25$。
把$a^2 +b^2=225$代入上式：
$225 -2ab =25 \implies 2ab=200$
图形$ABCDEFGH$的面积等于4个全等直角三角形的面积与中心边长为$5$的小正方形的面积之和：
$S = 4×\frac{1}{2}ab + 5^2 = 2ab +25 = 200 +25 =225$
图①中，大正方形的边长为直角三角形的斜边$c$，因此大正方形的面积可表示为$S = c^2$。
同时大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和：
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$。
因此大正方形面积也可表示为：
$S = 2ab + (b-a)^2$
展开化简：
$S=2ab + b^2 - 2ab +a^2 = a^2 + b^2$
联立两种面积表达式可得$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
(2) 计算图形面积：
由题意可知，图形$ABCDEFGH$的外围共8条边，其中4条为直角三角形的斜边$c$，剩余4条边的长度均为$b-a$，因此总周长满足：
$4c + 4(b-a) = 80$
化简得：$c + (b-a) = 20$
由图可知$OB$的长度即为直角边的差$b-a$，已知$OB=5$，即$b-a=5$，代入上式得：
$c +5 =20 \implies c=15$
根据勾股定理，$a^2 +b^2 =c^2=15^2=225$。
将$b-a=5$两边平方得：$(b-a)^2=25$，展开得$a^2 -2ab +b^2=25$。
把$a^2 +b^2=225$代入上式：
$225 -2ab =25 \implies 2ab=200$
图形$ABCDEFGH$的面积等于4个全等直角三角形的面积与中心边长为$5$的小正方形的面积之和：
$S = 4×\frac{1}{2}ab + 5^2 = 2ab +25 = 200 +25 =225$
