1.如图,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,$△ ABC$的顶点都在格点上.下列结论错误的是()

A.$BC^{2}=5$
B.$AB=5$
C.$AC=4\sqrt{5}$
D.$∠ACB=90°$

C

根据勾股定理，结合网格中每个小正方形边长为1，计算△ABC各边：
1. $BC^2=1^2+2^2=5$，A选项正确；
2. $AB^2=3^2+4^2=25$，得$AB=5$，B选项正确；
3. $AC^2=2^2+4^2=20$，得$AC=2\sqrt{5}≠4\sqrt{5}$，C选项错误；
4. 由$BC^2+AC^2=5+20=25=AB^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ ACB=90°$，D选项正确。
因此错误的是C。

2. 在$△ ABC$中，$a,b,c$分别是三边的长，下列说法：①$∠ B=∠ C-∠ A$；②$a^2=(b+c)(b-c)$；③$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；④$a:b:c=5:4:3$；⑤$a^2:b^2:c^2=1:2:3$。其中，能判断$△ ABC$为直角三角形的条件有()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

C

逐个分析条件：
1. 对①：由∠B=∠C-∠A，移项得∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和180°，得2∠C=180°，∠C=90°，可判定为直角三角形。
2. 对②：展开等式右边得a²=b²-c²，移项得a²+c²=b²，满足勾股定理逆定理，可判定为直角三角形。
3. 对③：设三个角为3k、4k、5k，内角和12k=180°，最大角∠C=75°，不是直角，不能判定为直角三角形。
4. 对④：设三边为5k、4k、3k，由(3k)²+(4k)²=(5k)²，满足勾股定理逆定理，可判定为直角三角形。
5. 对⑤：设三边平方为k、2k、3k，由k+2k=3k，即a²+b²=c²，满足勾股定理逆定理，可判定为直角三角形。
综上，符合条件的共4个。

3.如图,在$4×4$的正方形网格中,$∠1+∠2=$.

$45°$

设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理：
1. 得到∠1所在直角三角形的两直角边为1、3，斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
2. 得到∠2所在直角三角形的两直角边为1、2，斜边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
通过网格平移拼接两个角，结合勾股定理逆定理可证得，以∠1+∠2为内角的三角形是等腰直角三角形，且∠1、∠2均为小于45°的锐角，因此∠1+∠2=45°。

4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$CD=\dfrac{1}{3}BC$. 动点$E$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$A$出发，沿着$A\to B\to A$的方向运动. 设点$E$的运动时间为$t(0＜t＜10)\ \mathrm{s}$，连接$DE$. 当$△ BDE$是直角三角形时，$t$的值为________.

$2\ \mathrm{s}$或$5\ \mathrm{s}$或$7\ \mathrm{s}$

首先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中计算基础边长：
$\because ∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ A=30°$，由直角三角形30°角的性质得$AB=2BC=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
由$CD=\dfrac{1}{3}BC$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，得$CD=1\ \mathrm{cm}$，$BD=BC-CD=2\ \mathrm{cm}$。
分两类讨论$△ BDE$为直角三角形的情况（$∠ B=60°$不可能为直角）：
1. 当$∠ BDE=90°$时：
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ B=60°$，得$BE=2BD=4\ \mathrm{cm}$。
若点$E$从$A$向$B$运动：$AE=AB-BE=6-4=2\ \mathrm{cm}$，运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，得$t=2\ \mathrm{s}$，符合$0＜t＜10$。
若点$E$从$B$向$A$运动：总运动路程为$AB+BE=6+4=10\ \mathrm{cm}$，得$t=10\ \mathrm{s}$，不符合$0＜t＜10$，舍去。
2. 当$∠ BED=90°$时：
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ B=60°$，得$BE=BD·\cos60°=2×\dfrac{1}{2}=1\ \mathrm{cm}$。
若点$E$从$A$向$B$运动：$AE=AB-BE=6-1=5\ \mathrm{cm}$，得$t=5\ \mathrm{s}$，符合$0＜t＜10$。
若点$E$从$B$向$A$运动：总运动路程为$AB+BE=6+1=7\ \mathrm{cm}$，得$t=7\ \mathrm{s}$，符合$0＜t＜10$。
综上符合条件的$t$的值为$2\ \mathrm{s}$、$5\ \mathrm{s}$、$7\ \mathrm{s}$。

5. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降.实验初始状态如图①所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6 dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8 dm.（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图②，若物体C升高7 dm，求滑块B向左滑动的距离.

(1) 绳子的总长度为$\boldsymbol{18\ \mathrm{dm}}$；
(2) 滑块B向左滑动的距离为$\boldsymbol{9\ \mathrm{dm}}$。

(1) 初始状态下，△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知BC=6 dm，AC=8 dm，根据勾股定理计算AB的长度：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{dm}$
绳子总长度为AB段与AC段长度之和，因此总绳长为：
$10+8=18\ \mathrm{dm}$
(2) 定滑轮A距离地面的高度始终为8 dm，当物体C升高7 dm后，右侧竖直段绳子的长度为：
$8-7=1\ \mathrm{dm}$
此时左侧连接滑块的绳子长度为总绳长减去右侧绳长：
$18-1=17\ \mathrm{dm}$
设此时滑块位置为B'，在Rt△AB'C中，AC=8 dm，AB'=17 dm，再次根据勾股定理计算B'C的长度：
$B'C=\sqrt{AB'^2-AC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15\ \mathrm{dm}$
因此滑块B向左滑动的距离为：
$B'C-BC=15-6=9\ \mathrm{dm}$