1. 下列各组数是勾股数的是（）

A.$3,4,5$
B.$\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}$
C.$1,1,\sqrt{2}$
D.$2,12,14$

A

根据勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件：1. 三个数都是正整数；2. 两个较小数的平方和等于最大数的平方。逐一判断：
A选项：3、4、5均为正整数，$3^2+4^2=25=5^2$，符合勾股数要求。
B选项：$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$不是正整数，不符合要求。
C选项：$\sqrt{2}$不是正整数，不符合要求。
D选项：$2^2+12^2=148 ≠ 14^2=196$，不满足平方和关系，不符合要求。
因此只有A组是勾股数。

2.如表所示,当$a=90$时,$c$的值为()


A.2 023
B.2 024
C.2 025
D.2 026

D

先观察表格中a和对应c的数值关系：
当a=6时，c=10=(6÷2)²+1=3²+1；
当a=8时，c=17=(8÷2)²+1=4²+1；
当a=10时，c=26=(10÷2)²+1=5²+1；
……
可总结规律：$c=(\frac{a}{2})^2 +1$。
将a=90代入规律式：$c=(\frac{90}{2})^2 +1=45^2 +1=2025+1=2026$。

3. 如图,有两棵树,一棵高8 m,另一棵高2 m,两树相距8 m.若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行()

A.7 m
B.8 m
C.9 m
D.10 m

D

过点D作DE⊥AB，垂足为E。由题意可知AB=8m，CD=2m，两树水平距离AC=8m，四边形ACDE为矩形，因此BE=AB-CD=8-2=6m，DE=AC=8m。在Rt△BDE中，根据勾股定理可得BD=√(BE²+DE²)=√(6²+8²)=10m，即小鸟飞行的最短距离为10m。

4.已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?设门高$x$尺,根据题意,可列方程为$\underline{\hspace{8cm}}$.(1丈$=10$尺,1尺$=10$寸)

$x^2 + (x - 6.8)^2 = 100$

先统一单位：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。已知门高设为x尺，门的高比宽多6.8尺，因此门的宽为$(x-6.8)$尺。长方形的高、宽与对角线构成直角三角形，根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），即可列出对应方程。

5.如图,一台笔记本电脑的屏幕宽 BC 为 25 cm,当电脑张角为∠ABC时,顶部边缘 C 处离桌面的距离 CE 为 20 cm;当张角为∠ABD(点 C 与点 D 为笔记本电脑顶部边缘的同一点)时,顶部边缘点 D 处到桌面的距离 DF 为 15 cm. EF 的长为$\underline{\hspace{2em}}$cm.

$\boldsymbol{5}$

1. 在$Rt△ BCE$中，$CE⊥ AB$，已知$BC=25\ \mathrm{cm}$，$CE=20\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理可得：
$BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$
2. 由题意可知$BD=BC=25\ \mathrm{cm}$，在$Rt△ BDF$中，$DF⊥ AB$，$DF=15\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理可得：
$BF=\sqrt{BD^2-DF^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$
3. 结合线段上点的位置关系$F-E-B$，可得$EF=BF-BE=20-15=5\ \mathrm{cm}$

6. 如图，给高5 m、长13 m、宽2 m的楼道铺上地毯，地毯每平方米10元，铺完这个楼道至少需要元。

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1. 利用勾股定理计算楼道的水平总长度：由图可知楼道的斜面长13m，竖直总高5m，根据勾股定理，水平方向总长度为$\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$。
2. 利用线段平移求地毯总长度：将所有台阶的水平边向下平移，总长度等于楼道水平总长度12m；将所有台阶的竖直边向左平移，总长度等于楼道竖直总高度5m，因此地毯的总长度为$12+5=17\ \mathrm{m}$。
3. 计算地毯总面积：已知楼道宽2m，地毯面积为$17×2=34\ \mathrm{m}^2$。
4. 计算总费用：地毯每平方米10元，总费用为$34×10=340$元。

7. 图①是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成. 图②是其侧面结构示意图，面板AB固定在支撑轴端点C处，$CD ⊥ AB$，支撑轴长$CD=16\ \mathrm{cm}$，支撑轴CD与底座DE所成的角$∠ CDE=45°$.
(1) 求图②中端点C到底座DE的距离；
(2) 如图③，为了阅读舒适，将CD绕点D逆时针旋转$15°$后，点B恰好落在直线DE上，求端点C到底座DE减少的距离.

(1) 端点C到底座DE的距离为$\boldsymbol{8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}}$；
(2) 端点C到底座DE减少的距离为$\boldsymbol{(8\sqrt{2}-8)\ \mathrm{cm}}$。

(1) 过点C作$CF ⊥ DE$于点F，可得$∠ CFD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，已知$CD=16\ \mathrm{cm}$，$∠ CDF=∠ CDE=45°$，根据正弦的定义：
$\sin45°=\frac{CF}{CD}$
代入数值解得：
$CF=CD·\sin45°=16×\frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
(2) 过旋转后的点C作$CG ⊥ DE$于点G，由旋转性质可知$CD$长度仍为$16\ \mathrm{cm}$，旋转后$∠ CDG=45°-15°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，根据正弦的定义：
$\sin30°=\frac{CG}{CD}$
代入数值解得：
$CG=CD·\sin30°=16×\frac{1}{2}=8\ \mathrm{cm}$
因此端点C到底座DE减少的距离为：
$CF-CG=8\sqrt{2}-8\ \mathrm{cm}$